Revisión actual del 23:37 11 dic 2024

La clotoide es una curva que se pueden definir como varias curvas tangentes en el origen al eje de abscisas con un radio de curvatura que disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella, formando un trozo de espiral. Ésta curva, cumple una serie de propiedades matemático-físicas que iremos explicando a lo largo de la presentación, con la herramienta de MATLAB, realizaremos los cálculos con precisión y representándolos en gráficas para poder entenderlos de una forma visual .

En cada punto haremos una breve introducción con las fórmulas que hemos utilizado, desarrollándolas para que se llegue a entender los pasos y de donde vienen los cálculos. Para el estudio de sus propiedades, nos centraremos en analizar los vectores velocidad y aceleración, así como el tangente y normal para su posterior enfoque a la ingeniería civil.

Podemos definir la clotoide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)[/math].

Donde

[math]γ:t\to\mathbb{R}^2[/math]

[math]I[/math] es el intervalo de [math]a[/math] hasta [math]b[/math]

[math]a,b∈\mathbb{R}[/math]

1 Dibujo de la curva

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas, con valores: a=0; b=5; N=1000 (número de puntos). Por lo tanto, la curva se expresa con:

Realizamos el dibujo con el programa de MATLAB:

Dibujo de la curva

clear, clc
% Definimos la funcion
N = 1000; % Número de puntos
t = linspace(0, 5, N); % Rango de t
dt = t(2) - t(1); % Paso entre puntos

% Inicializamos vectores para x(t) e y(t)
x = zeros(1, N);
y = zeros(1, N);

% Usamos el método del trapecio para integrar paso a paso
for i = 2:N
    % Definimos los extremos del intervalo de integración
    s_prev = t(i-1);
    s_curr = t(i);
    
    % Calculamos las funciones en los extremos
    f_cos_prev = cos(s_prev^2 / 2);
    f_cos_curr = cos(s_curr^2 / 2);
    f_sin_prev = sin(s_prev^2 / 2);
    f_sin_curr = sin(s_curr^2 / 2);
    
    % Aproximamos integrales con el método del trapecio
    x(i) = x(i-1) + (f_cos_prev + f_cos_curr) * dt / 2;
    y(i) = y(i-1) + (f_sin_prev + f_sin_curr) * dt / 2;
end

% Dibujamos la curva
figure;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva \gamma(t)');
grid on;
axis equal;

2 Vectores velocidad y aceleración

Los vectores velocidad y aceleración se calculan a través de la derivación de la curva.

• El vector velocidad se define como:

[math] {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(0,5) [/math]

• El vector aceleración se define como:

[math] {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j = -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(0,5) [/math]

Continuando con el código anterior y cambiando el número de puntos para que queden bien representadas las flechas de velocidad y aceleración, tenemos el siguiente código:

Figura 2: Velocidad y aceleración

% Calculamos vector velocidad
vx = cos(t.^2/2); % Derivada de x respecto a t
vy = sin(t.^2/2); % Derivada de y respecto a t

% Calculamos vector aceleración
ax = -t.*sin(t.^2/2); % Derivada de vx respecto a t
ay = t.*cos(t.^2/2); % Derivada de vy respecto a t

%Dibujamos curva
figure; 
hold on

plot(x, y, 'r');

% Dibujamos velocidad
quiver(x,y,vx,vy,'g');

% Dibujamos aceleracióon
quiver(x,y,ax,ay,'b');

% Etiquetas y leyenda
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva, Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location', 'northwest', 'TextColor', 'black', 'FontSize', 10);
grid on;
axis equal;
hold off

3 Longitud de la curva

Podemos calcular la longitud de la curva indistintamente de la parametrización elegida, puesto que el concepto de longitud va asociado a la propia curva y no a la parametrización que la describe.
En nuestro caso, elegimos la parametrización:

Calculamos la longitud siguiendo dos procedimientos diferentes:

3.1 Calculo de forma teorica

3.2 Calculo mediante métodos numéricos

3.2.1 Método del rectángulo

% Parámetros
L = 5; 
a = 0;
b = L;
n = 1000; % Número de subintervalos (más grande, mayor precisión)
h = (b - a) / n; % Tamaño del subintervalo

% Función de las derivadas
dx_dt = @(t) cos(t.^2 / 2);
dy_dt = @(t) sin(t.^2 / 2);

% Elemento de longitud de arco
arc_length_element = @(t) sqrt(dx_dt(t).^2 + dy_dt(t).^2);

% Puntos para el método del rectángulo
x_vals = linspace(a, b-h, n); % Puntos de la izquierda

% Suma del rectángulo
length = sum(arc_length_element(x_vals) * h);

% Mostrar el resultado
fprintf('La longitud de la curva es aproximadamente: %.4f\n', length);

3.2.2 Método del trapecio

% Parámetros
a = 0; % Inicio del intervalo
b = 5; % Fin del intervalo
n = 1000; % Número de subintervalos
h = (b - a) / n; % Tamaño del paso
t = linspace(a, b, n+1); % Puntos de discretización

% Derivadas de x(t) y y(t)
dx_dt = @(t) cos(t.^2 / 2); % Derivada de x
dy_dt = @(t) sin(t.^2 / 2); % Derivada de y

% Elemento de longitud de arco
f = @(t) sqrt(dx_dt(t).^2 + dy_dt(t).^2);

% Valores de la función en los puntos
f_vals = f(t);

% Método del trapecio
L = h/2 * (f_vals(1) + 2 * sum(f_vals(2:end-1)) + f_vals(end));

% Resultado
fprintf('La longitud de la curva es aproximadamente: %.4f\n', L);

4 Vectores tangentes y normal

Para calcular los vectores tangente y normal aplicamos las siguientes fórmulas:

A la hora de la representación, partimos del código y gráfica del primer apartado, añadiendo el siguiente código y obteniendo:

Figura 3: Curva, Tangente y Normal

% Calculamos vector tagente y normal
   % TANGENTE
    tanx = cos(t.^2/2);
    tany= sin(t.^2/2);
   % NORMAL
    nx=-sin(t.^2/2);
    ny=cos(t.^2/2);

% Dibujamos curva
figure;
hold on

plot(x,y,'r', 'LineWidth',1.5);

% Dibujamos vector tangente
quiver(x,y,tanx,tany, 'b');

% Dibujamos vector normal
quiver(x,y,nx,ny, 'g');

% Etiquetas y leyenda
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva, Tangente y Normal');
legend('Curva', 'Tangente', 'Normal','Location', 'northwest', 'TextColor', 'black', 'FontSize', 10);
grid on;
axis equal;
hold off
shg

5 Curvatura

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización [math]\gamma(t)[/math] es

Con nuestros datos obtenemos:

Para representarla utilizamos este programa que muestra cómo aumenta linealmente la curvatura de 0 a 5 segundos.

Figura 4: Curvatura clotoide

% Parámetro t
t = linspace(0, 5, N); % Rango de t

% Calculamos la curvatura
k = t;

% Dibujo
figure;
plot(k,t);
ylabel('curvatura');
xlabel('tiempo');
title('Curvatura')
shg

6 Circunferencia osculatriz

La circuferencia osculatriz a una curva en un punto dado, es una circunferencia que representa la curvatura de dicha curva en ese punto. A su vez, esta circunferencia es tangente a la curva por la regla de Leibniz.
Enfocando esta definición a lo pedido en este apartado, sea [math]P=\gamma (2)[/math] , es decir [math]t=2s[/math], hallar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en [math]P[/math] y dibujar la circunferencia junto a la curva.
Su radio [math]R(t)[/math] es igual a

Haciendo los cálculos quedan los siguientes resultados

Llegados a este punto necesitamos la ayuda del siguiente programa de Matlab para resolver las integrales por el método del trapecio. Como necesitamos conocer en qué punto de la clotoide se encuentra el instante [math]t=2s[/math], primero definimos la curva de 0 a 2 segundos para encontrar dicho punto. A la hora de la representación también tenemos en cuenta el código y gráfica del primer apartado.

Figura 5: Circunferencia osculatriz y clotoide

% Parámetros
t_osculatriz = 2; % Tiempo de la circunferencia osculatriz

% Punto de la clotoide para t_osculatriz (t=2)
    % calcular posición de t = 2
    O = 2/(5/N);
    
    P = [x(O),y(O)]; % punto en el que t = 2

% Vector normal calculado antes para t_osculatriz (t=2)
n = [-sin(t_osculatriz.^2/2),cos(t_osculatriz.^2/2)];

% Aplicación t=2
k_osculatriz = t_osculatriz;
R = 1/2;

    % FÓRMULA CENTRO
    Q = P + R*n;

% Conversión a polares
tp = linspace(0,2*pi,100);

    % Añadimos Q(1) porque es la coordenada de las x de las abcisas del centro
    xp=R*cos(tp)+Q(1);

    % Q(2) es la coordenada en las ordenadas
    yp=R*sin(tp)+Q(2);

% Dibujamos curva
figure;
hold on

plot(x,y,'g', 'LineWidth',1.5);

% Dibujamos osculatriz
plot(P(1), P(2),'+','LineWidth',1.5);
plot(xp,yp,'--','Color','b','LineWidth',1.5);

% Etiquetas y leyenda
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Circunferencia osculatriz y clotoide');
legend('Curva', 'P(t = 2)', 'Osculatriz','Location', 'northwest', 'TextColor', 'black', 'FontSize', 10);
grid on;
axis equal;
hold off
shg

7 Información de interés

La clotoide describe el fenómeno de transición suave en trayectorias curvas, es decir entre estados con diferentes radios de curvatura.

Diseño de Carreteras:
En el diseño de vías terrestres, las clotoides se emplean como curvas de transición entre tramos rectos y curvos. Ayudan a: reducir el riesgo de accidentes al permitir un cambio progresivo en la dirección, minimizar el desgaste del pavimento, ya que la carga sobre el camino se distribuye mejor y mejorar la experiencia del conductor, al evitar cambios bruscos que podrían ser incómodos o peligrosos.

Diseño de Vías Férreas:
En los ferrocarriles, las clotoides permiten una transición suave en las curvas, evitando descarrilamientos y distribuyendo las fuerzas de manera uniforme sobre los rieles.

Aplicaciones en Puentes y Túneles:
En la ingeniería de puentes y túneles, las clotoides garantizan transiciones suaves en las trayectorias de acceso. Facilitan el mantenimiento y reducen la fatiga estructural debido a cargas dinámicas.

Diseño de curvas en canales de navegación:
En vías navegables, como ríos y canales, las clotoides permiten una transición gradual entre secciones rectas y curvas. Esto es esencial para garantizar que las embarcaciones puedan maniobrar con seguridad, especialmente en canales estrechos. Ayudan a mantener un flujo de agua más estable, minimizando turbulencias en los cambios de dirección, lo que reduce la erosión en las paredes del canal y mejora la navegabilidad.

8 Estructura civil

La clotoide en puente confederación (Canadá)

La clotoide en autovía del cantábrico (España)

La clotoide en puerto róterdam (Paises Bajos)

La clotoide en aeropuerto kansai (Japón)

9 Parametrización en cartesianas

Ahora consideramos la curva parametrizada por:

Se define la superficie reglada asociada a dicha parametrización mediante segmentos de longitud 1 con vector director e_ρ como aquella parametrizada por :

Para llegar a la parametrización deseada, pasamos el vector director e_ρ a coordenadas cartesianas con la matriz cambio de base:

El vector [math]\vec{e_{\rho}} [/math] en coordenadas cartesianas es igual a

Si finalmente aplicamos la definición antes descrita, nuestra hélice queda parametrizada como:

y podemos representarla gráficamente con este código de matlab.

Figura 2: Superficie reglada

% Definir los rangos de u y v
v= (2.*pi:0.01:6.*pi) ; 
u= (0:0.01:1); 

% Crear una malla de valores para u y v
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Calcular las coordenadas 
X = cos(V) .* (V + U);
Y = sin(V) .* (V + U);
Z = V;

% Graficar la superficie
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('X');
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Superficie Reglada');
axis equal; % Escala uniforme

Scala Elicoidale Momo (Ciudad del Vaticano)

Engranaje

10 Masa de la superficie reglada

Supongamos que la densidad de la superficie del apartado anterior viene dada por la función

Para calcular la masa utilizamos la expresión

Como hemos hallado en el apartado anterior

La función evaluada según el vector [math]\vec{{r}}(u,v)[/math] nos da

La definición (2) resuelta mediante Matlab con el código posterior quedaría:

% Número de puntos
n=100;

% Extremos de los intervalos
h1=(1-0)/n;
h2=(6*pi-2*pi)/n;

u=0:h1:1;
v=2*pi:h2:6*pi;

% Mallado
[uu,vv]=meshgrid(u,v);

%Cálculos
%area de cada subrectangulo
area=2*2/(n^2);

vol_acumulado=0;
for i=1:n
  for j=1:n
    
    f=(100-uu.^2-vv.^2-2.*uu.*vv).*(sqrt(1+(uu+vv).^2));

    %área
    w1=ones(n+1,1);
    w1(1)=1/2;
    w1(n+1)=1/2;
    area = f*w1;

    %altura
    w2=ones(n+1,1);
    w2(1)=1/2;
    w2(n+1)=1/2;
    altura = h1*h2*w2';
 
    %volumen del prisma y suma acumulada
    vol_prisma=area*altura;
    vol_acumulado=vol_acumulado+vol_prisma;

  end  
end
int=vol_acumulado;

fprintf ('Para n=%d, el resultado de la integral es: %.4f.\n',n,int)