Diferencia entre revisiones de «Combinatoria»
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Si en la definición de ''variación de m elementos tomandos de n en n'' tachamos la palabra ''inyectiva'', obtenemos las '''variaciones con repetición'''. Estamos hablando así de aplicaciones de un conjunto de ''n'' elementos en uno de ''m''. | Si en la definición de ''variación de m elementos tomandos de n en n'' tachamos la palabra ''inyectiva'', obtenemos las '''variaciones con repetición'''. Estamos hablando así de aplicaciones de un conjunto de ''n'' elementos en uno de ''m''. | ||
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Revisión del 21:54 29 dic 2013
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Contenido
1 Permutaciones
Permutar (del latín mutare, que significa cambiar, y el prefijo per-, que indica que algo se realiza en grado máximo) unos objetos es tanto como reordenarlos. En el lenguaje preciso de las Matemáticas, una permutación de un conjunto [math]A[/math] es una biyección de [math]A[/math] en [math]A[/math]. Si el cardinal de [math]A[/math] es [math]m[/math], hablamos de una permutación de [math]m[/math] elementos. Así, una permutación de [math]x_1, \dots, x_m[/math] es una reordenación [math]x_{\sigma 1},\dots,x_{\sigma m}[/math].
Importa contar: ¿cuántas permutaciones diferentes se pueden formar con [math]m[/math] elementos? La respuesta la da el producto [math]m\cdot(m-1)\cdots(m-2)\cdots 2\cdot 1[/math], que abreviamos como [math]m![/math] (léase factorial de m, o m factorial). Es fácil comprender la razón: para elegir qué elemento colocamos en el primer lugar tenemos [math]m[/math] posibilidades, para el segundo nos quedan [math]m-1[/math] posibilidades, [math]m-2[/math] para el tercero, y así sucesivamente.
Veamos algunos ejemplos:
- ¿De cuántas maneras se pueden repartir las tareas domésticas 7 hermanos (a razón de uno cada día)? La respuesta es [math]7! = 5040[/math].
- ¿Cuántas claves de 8 letras se pueden formar reordenando la palabra PERDIGÓN? La respuesta es [math]8! = 40320[/math], porque contiene 8 letras.
- ¿De cuántas maneras se puede ordenar un mazo de cartas de la baraja española (contiene 40 cartas)? La respuesta es [math]40! \approx 8.159\cdot 10^{47}[/math]
Dos observaciones:
- [math]0!=1[/math]. Así es válida la ley de recurrencia [math](m+1)! = (m+1)\cdot m![/math]
- Los valores de [math]m![/math] crecen muy deprisa al aumentar [math]m[/math]. En la gráfica de la derecha, se muestra cómo crece comparado con la función exponencial, de crecimiento muy rápido. El gráfico está en escala logarítmica, y muestra que al incrementar un orden de magnitud el valor de [math]m[/math], el valor de [math]m![/math] crece en varios órdenes de magnitud.
2 Variaciones
2.1 Variaciones ordinarias
Dados [math]m[/math] elementos [math]a_1,\dots,a_m[/math], si seleccionamos [math]n[/math] de ellos prestando atención al orden en que los elegimos, decimos que tenemos una variación de esos [math]m[/math] elementos tomados de [math]n[/math] en [math]n[/math]. Si queremos darle más precisión, podemos decir que una variación es una aplicación inyectiva del conjunto [math]{1,2,\dots,n}[/math] en el conjunto [math]A={a_1,\dots,a_m}[/math].
El número de tales variaciones se expresa mediante un producto de [math]n[/math] factores, empezando por [math]m[/math] y decreciendo hasta llegar a [math]m-(n-1)[/math]. Es decir, [math]V_{m,n} = m\cdot (m-1) \cdots (m-n+1)[/math], que podemos abreviar como [math]\displaystyle \frac{m!}{(m-n)!}[/math]
Nótese que si [math]m=n[/math], entonces tenemos permutaciones, y que si [math]n\gtm[/math], entonces [math]V_{m,n} = 0[/math].
Veamos algunos ejemplos:
- Elegir junta directiva (presidente, vicepresidente y secretario) entre 20 personas: como tenemos 20 personas y la junta son 3, y además, tres mismas personas pueden formar juntas directivas diferentes (con diferentes cargos cada persona), tenemos que es posible formar [math]V_{20,3} = 6840[/math] juntas directivas diferentes.
- Formar un equipo de baloncesto (5 posiciones) con 8 jugadores:[math]V_{8,5}=6720[/math]alineaciones posibles.
2.2 Variaciones con repetición
Si en la definición de variación de m elementos tomandos de n en n tachamos la palabra inyectiva, obtenemos las variaciones con repetición. Estamos hablando así de aplicaciones de un conjunto de n elementos en uno de m.
¿Cuántas hay? Claramente, el número total es un producto de n factores, que empieza en m pero ahora no va disminuyendo [math]m\cdot m\cdot m \cdots m = m^n[/math].
Veamos algunos ejemplos:
- ¿Cuántas quinielas diferentes se pueden rellenar? [math]3^15[/math]
- ¿Cuántos números hay de cinco cifras? [math]10^5-10^4[/math] (hay que descontar los que empiezan por 0)
- ¿Cuántas claves de 4 letras se pueden formar con la palabra CAMINOS? [math]7^4[/math]
- ¿Y si no se pueden repetir letras? En este caso, son variaciones: [math]V_{7,4} = 840[/math].
