Diferencia entre revisiones de «La cicloide G-23»

A la derecha nos encontramos con la cicloide, una de muchas, en cuestión esta es la curva tautócrona.

Cicloide realizada con el programa matlab

clear,clc
R=2; 
%Definición del vector t 
t=linspace(0,2*pi,1000); 
%Trayectoria de la cicloide 
x=R*(t-sin(t));           
y=R*(1-cos(t));
%Dibujo de la curva 
plot(x,y,'b');
%Etiquetas 
xlabel('X'); 
ylabel('Y',"Rotation",0);
axis equal
axis([0,max(x),0,max(y)+0.5])
title('Cicloide');

2 Vector velocidad y aceleración de la cicloide

2.1 Vector velocidad

El vector velocidad es la derivada del vector posición con respecto del parámetro t. Nos indica la dirección y rapidez de movimiento sobre la curva en cada instante.

• [math] γ'(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = R(1-cos(t))\vec i +Rsen(t)\vec j [/math]

2.2 Vector aceleración

El vector aceleración es la derivada del vector velocidad con respecto al parátro t. Nos indica cómo cambia la velocidad, tanto en magnitud como en dirección.

• [math] γ''(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = Rsen(t)\vec i + Rcos(t)\vec j[/math]

2.3 Representación gráfica de los vectores

Mediante un código en MATLAB

realizado con el programa matlab

R=2; 
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad 
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t)); 
%vector aceleración 
a1=R*(sin(t)); 
a2=R*(cos(t)); 
figure 
hold on 
%Gráficos 
plot(x,y,'k')
quiver(x,y,v1,v2,'b');  
quiver(x,y,a1,a2,'r'); 
%Etiquetas 
axis equal 
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración');
hold off 
title('Curva, velocidad y aceleración');

3 Longitud de la cicloide

La longitud se obtiene al realizar la integral del módulo del vector velocidad a lo largo de un intervalo. Para la resolución numérica se ha utilizado los conocimientos adquiridos en la asignatura de informática.
[math] Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |=\int_{a}^{b} \sqrt{x(t)^2+y(t)^2} dt= \int_{0}^{2π} \sqrt{R^2((1-cos(t))^2+sin(t)^2)}dt = \int_{0}^{2π} R\sqrt{((1-cos(t))^2+sin(t)^2)} dt= \int_{0}^{2π} R\sqrt{1-2cos(t)+cos(t)^2+sin(t)^2} dt= [/math]
[math] = \int_{0}^{2π}R\sqrt{2(1-cos(t)}dt = \int_{0}^{2π} R2sin(\frac{t}{2})dt =R2 \int_{0}^{2π} sin(\frac{t}{2})dt =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = 4R(2)=[R=2]= 16 m [/math]

Visualización de la solución.

clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000);
X=2*(t-sin(t));Y=2*(1-cos(t));
Vx=2*(1-cos(t));Vy=2*sin(t);

n=length(t);
 Sum =0;
 for i =1:n-1
 b = t(i+1)-t(i);
 a = sqrt ((2*(1-cos(t(i))))^2+(2*sin(t(i)))^2) ;
    super = b *a ;
    Sum = Sum + super;
 end
 Longitud=round(Sum);                       
 fprintf (['La longitud es %f, que redondeando es %d.\nDato que concuerda ' ...
          'con el resultado optenido de\nforma analítica '],Sum,Longitud )

Aquí se indica el codigo que se a utilizado en representación gráfica.

clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000); tt=linspace(0,2*pi,20);
   X=2*(t-sin(t));    Y=2*(1-cos(t));            % Parametrización cicloide
   Xt=2*(tt-sin(tt)); Yt=2*(1-cos(tt));          % "" aproximación

G=[-0.25,max(X)+0.25,0,4+0.25];                  % Delimitacón de los ejes

figure
  hold on
  title('Visualización de la resolución numérica')
   xlabel('X'); ylabel('Y',Rotation=0)
    axis equal ;axis(G);

for i=2:length(tt);
   plot(X,Y,"g",'LineWidth',2)                    % Generación cicloide i 
  v=linspace(0,2*pi,i);                           % veces
    plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'b')           % "" aproximación en azul
      pause(0.5)                                  % Se muestra un 0.5s
    plot(2*(v-sin(v)),2*(1-cos(v)),'w')           % Se suprime la aproxima
                                                  % ción pintandola de
                                                  % blanco
  if i==20;                                       
   plot(Xt,Yt,'b')   
  end
  
end
hold off

4 Vector tangente y vector normal

4.1 Vector tangente

El vector tangente es un vector unitario en dirección del vector velocidad. Indica la dirección del movimiento en la curva.

• [math] \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ 2(1-cost)\vec i +(2sent)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}[/math]

4.2 Vector normal

El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente. Indica hacia donde gira la curva.

• [math]\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-2sent)\vec i +2(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}[/math]

4.3 Representación de los vectores tangente y normal

Realizado con el programa matlab

R=2;
n=15;
t=linspace(0,2*pi,n); 
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad 
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t)); 
norma= sqrt(v1.^2+v2.^2); 
t1=v1./norma; 
t2=v2./norma;
figure
hold on
%curva
plot(x,y, 'k'); 
%tangente 
quiver(x,y,t1,t2,'r'); 
%normal 
quiver(x,y,-t2,t1,'b'); 
axis equal
legend('Curva', 'tangente', 'normal');
hold off 
title ('Curva, tangente y normal.');

5 Curvatura

5.1 Definición de la curvatura

La curvatura nos sirve para ver como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva. Mide qué tanto se desvía una curva de ser una línea recta.

Su fórmula es:

[math]\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}[/math]

Si lo desarrollamos:

[math]\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}[/math]

5.2 Representación de la curvatura

realizado con el programa matlab

Representamos la curvatura mediante un código en MATLAB:

n=100; 
t=linspace(0,2*pi,n);
k=(4*cos(t)-4)./(8-8.*cos(t)).^(3/2);
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title ('Curvatura kappa(t). ');

6 Circunferencia Osculatriz

La circunferencia osculatriz es el círculo que mejor se ajusta a una curva en un punto dado. Es tangente a la cicloide.

Para hallar esa circunferencia osculatriz, primero se halla el radio y luego hallar el punto en el que se encuentra dicha circunferencia. El radio de de la circunferencia osculatriz es el inverso de la curvatura en valor absoluto

Esta circunferencia tiene el mismo radio de curvatura que la curva en ese punto, por lo que se utiliza para entender la curvatura de una línea. Por ejemplo, en una curva con una mayor curvatura, la circunferencia osculatriz será más pequeña (radio más corto), mientras que una curva menos pronunciada, la circunferencia será más grande (radio más largo).

Centro: [math]Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-2sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(4cost-4)}{(8-8cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} =\gt Q(2)=[-1.7840 ,8.0722] ) [/math]

Radio: [math] R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}|}=\gt R(2)= 6.73 [/math]

Figura.Circunferencia osculatriz junto a la cicloide.

clear;clc
filename='Circunferencia osculactriz.gif';
n=50
t=linspace(0,2*pi,n);

X=2*(t-sin(t));Y=2*(1-cos(t)); % Cicloide
kl=1./((-8)*sin(t/2));         % Curvatura
CC=abs(kl.^(-1));                   % radio de curvatura;

XNo=-1/2*sin(t)./sin(t/2);    YNo=sin(t/2);   % Vector normal

Qx=X + CC.*XNo;           % Centro de curvatura X
Qy=Y + CC.*YNo;           % Centro de curvatura Y

figure
hold on
for i=1:n;
  plot(X,Y,'b')     % Cicloide
    v=linspace(0,2*pi,n);
   for j=1:n;
    COx(i,j)=Qx(i)+ CC(i).*cos(v(j));               
    COy(i,j)=Qy(i)+ CC(i).*sin(v(j));
   end
    plot(COx(i,:),COy(i,:),'g--')
    pause(0.5)
    plot(COx(i,:),COy(i,:),'w')
    plot(Qx,Qy,'.m')
   axis equal
   axis([-10,25,-5,20])
 g=16;   

    if i==g;
       plot(COx(i,:),COy(i,:),'-*')
        pause(1.5)
       plot(COx(i,:),COy(i,:),'w-*')
       axis equal
       axis([-10,25,-5,20])
   end

  
end
hold off

7 Información la sobre curva y relación con la ingeniería

La cicloide es una curva generada por un punto fijo en el borde de un círculo que rueda sin deslizarse sobre una recta.

Figura. Cicloide generada por una circunferencia rodando sobre una recta.

La cicloide tiene varias propiedad físicas en las que destacan:
1. La curva braquistócrona describe el movimiento de un cuerpo para llegar más rápido de un punto a otro, en el punto inicial se comienza con velocidad cero y se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. Es una cicloide invertida y se aplica para optimizar la velocidad.

Figura. Curva braquistócrona

2. La curva tautócrona es la trayectoria en la que un cuerpo, independientemente de su punto de inicio, llega al mismo tiempo al fondo bajo la acción de la gravedad. Es decir, si se deja caer un objeto desde diferentes alturas sobre la curva, todos llegan al mismo tiempo al mismo punto, sin importar su posición inicial.

Figura. Curva tautócrona.

En el ámbito de la ingeniería civil tiene aplicaciones en diseño de arcos y puentes debido a su capacidad de distribución de cargas de manera eficiente, optimizando la resistencia estructural y minimizando el material necesario.

Una aplicación interesante son los pavimentos, donde los perfiles cicloidales pueden inspirar diseños de superficies que mejora la fricción y el drenaje del agua.
Ejemplo de uso en la ingeniería civil: Puente de la Paz (Tiflis, Georgia).

Puente de la Paz

La estructura de sus curvas se basa en los principios del cicloide y así optimiza su resistencia.

8 Superficie reglada

Cicloide realizada con el programa matlab

Representamos la superficie reglada mediante un código en MATLAB:

R=2;%radio de la cicloide
u=linspace(0,2*pi,100);%parametro u, curva base
v=linspace(0,1,100);%parametro v, la direccion ortogonal
%crear la malla para la superficie
[U,V]=meshgrid(u,v);

%parametrizacion de la superficie reglada
X=V;
Y=R*(U-sin(U));
Z=R*(1+cos(U));

figure
surf(X,Y,Z,'EdgeColor','none');
axis equal
hold off
title('superficie reglada')

9 Masa de la superficie

[math]Aplicando \ la \ formula: \\ Masa=\int_{\varphi}^{}f d\varphi== \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\[/math] [math]\begin{align*} La \ densidad \ dada \ por \ f(x_1, x_2, x_3) &= (1 - x_1)^2 x_3 \\ \text{Parametrización: } & \begin{cases} x_1 = v \\ x_2 = R(u - \sin u) & \text{con } u \in [0, 2\pi]; v \in [0, 1] \\ x_3 = R(1+ \cos u) \end{cases} \\ g(v, u) &= (1 - v)^2 \cdot R(1+ \cos u) \\ Desarrolar \ el \ producto \ vectorial: \\ \vec{r}_u &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = (0, R(1- \cos u), -R(\sin u)) \\ \vec{r}_v &= \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = (1, 0, 0) \\ \vec{r}_u \times \vec{r}_v &= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & R(1 - \cos u) & -R(\sin u ) \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0, R(\sin u ), -R(1- \cos u)) \\ \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| &= \sqrt{(0)^2 + (R(\sin u))^2 + (-R(1 - \cos u))^2} \\ &= R\sqrt{(\sin^2 u + （1- cos u）^2 ) )} \\ &= R\sqrt{2-2\cos u} \\ \text{Masa} &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} g(v, u) \left\|\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right\| \, dv \, du \\ &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (1 - v)^2 R(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, dv \, du \\ &= 1/3*R^2\int_{0}^{2\pi}(1+ \cos u) R\sqrt{2-2\cos u} \, du \\ \end{align*} [/math]


Reolveremos con Matlab utilizando el método del rectángulo:

R=2;
uu=300; %divide el intervalo de puntos en 300 partes
vv=linspace(0,2*pi,uu+1);%crear un vector de paso lineal de 0 a 2pi
%
g=@(vv) (1/3)*R^2*(1+cos(vv)).*sqrt(2-2.*cos(vv));
%inicial de la masa
masa=0;
%metodo del rectángulo
for i=1:uu
    masa=masa+(2*pi/uu)*g(vv(i));
end
fprintf('la masa aproximada de la superficie es: %.4f\n',masa);