Diferencia entre revisiones de «La cicloide (grupo 8)»

Revisión actual del 22:39 8 dic 2024

Se considera una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π)[/math]

En la cual se considera R=2 como dato fijo

1 Representación de la curva

Figura 1. Representación del cicloide

A partir de su parametrización y con matlab obtenemos la imagen de la curva, la cual corresponde al siguiente código.

% Parámetros
R = 2;               % Radio del círculo generador
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Rango de t, con 2 ciclos completos

% Ecuaciones paramétricas del cicloide
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Dibujo del cicloide
figure;
plot(x, y, 'green', 'LineWidth', 1);
axis equal;
grid on;
title('Cicloide generado por un círculo rodante');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');

2 Vector velocidad y aceleración

2.1 Definición vector posición, velocidad y aceleración

El vector posición es el que une el origen con la posición particular de la curva, describiendo así su localización en el espacio.
[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (2(t-sint),2(1-cost))[/math]

El vector velocidad se define como la derivada del vector posición con respecto al tiempo, el cual es siempre tangente a la trayectoria de la partícula en cada punto.
[math] γ'(t) = (x'(t)\vec i + y'(t)\vec j) = (2 (1-cost)\vec i + 2 (sint)\vec j)[/math]

El vector aceleración se define como la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo, el cual puede medir cambios de rapidez o cambios de dirección. [math] γ''(t) = (x''(t)\vec i + y''(t)\vec j) = (2 (sint)\vec i + 2 (cost)\vec j)[/math]

2.2 Representación de los vectores

Figura 2. vectores velocidad y aceleración

Con el siguiente código de matlab se pueden ver representados los vectores correspondientes.

% Parámetros
t = linspace(0, 2*pi, 100);  % Rango de t
x = 2 * (t - sin(t));        % Ecuación del cicloide (x)
y = 2 * (1 - cos(t));        % Ecuación del cicloide (y)

% Vectores velocidad (derivada de la posición)
Vx = 2 * (1 - cos(t));      % Componente x del vector velocidad
Vy = 2 * sin(t);            % Componente y del vector velocidad

% Vectores aceleración (derivada de la velocidad)
Ax = 2 * sin(t);            % Componente x del vector aceleración
Ay = 2 * cos(t);            % Componente y del vector aceleración

% Dibujo del cicloide
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2); % Curva cicloide en azul
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Cicloide con Vectores de Velocidad y Aceleración');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');

% Configuraciones para los vectores
step = 3;     % Intervalo para dibujar vectores
escala = 1;  % Escala de los vectores

% Dibujar vectores de velocidad en naranja
for i = 1:step:length(t)
    quiver(x(i), y(i), Vx(i), Vy(i), escala, 'color', 'green', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.3); % verde
end

% Dibujar vectores de aceleración en verde
for i = 1:step:length(t)
    quiver(x(i), y(i), Ax(i), Ay(i), escala, 'color', 'yellow', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % amarillo
end

% Agregar leyenda
legend('Cicloide', 'Vectores de Velocidad', 'Vectores de Aceleración', 'Location', 'best');

hold off;

3 Longitud de la curva

La longitud de la curva se define como la integral del módulo de la velocidad en un rango de 0 a 2π de la siguiente forma: [math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(2-2cost)^2 +(2sent)^2}dt [/math]

La integral no se ha podido resolver teóricamente por lo que se ha seguido el "Método del rectángulo" con el objetivo de aproximar la integral. Esto se ha realizado a través de Matlab con el siguiente código obteniendo así el siguiente resultado: [math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)| = 16 [/math]

%Definición parámetros
t=linspace(0,2*pi,n);
a = 0;
b = 2 * pi;
n = 10000;

f = @(t) sqrt((2 - 2 * cos(t))^2 + (2 * sin(t))^2);

% Llamada a la función integral
resultado = integral(a, b, f, n);

disp(['Resultado de la integral: ', num2str(resultado)])

function S = integral(a, b, f, n)
    % Método del rectángulo usando el punto medio
    h = (b - a) / n;  % Ancho de cada subintervalo
    S = 0;  % Inicialización de la suma
    for i = 1:n
        xmed = a + (i - 0.5) * h;  % Punto medio del subintervalo
        S = S + f(xmed) * h;  % Suma de áreas de cada rectángulo
    end
end

4 Vectores tangente y normal

4.1 Definición vector tangente y normal

El vector tangente, vector unitario, es el cual indica la dirección de curva o superficie en un punto específico. Este se puede definir como el gradiente de una curva vectorial. [math] \vec t(t) = \frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{(x'(t)\vec i + y'(t)\vec j)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} = \frac{(1-cost)\vec i + (sin)\vec j}{\sqrt{2-2cost}} [/math]

El vector normal, también unitario, se describe como un vector perpendicular a la superficie en un punto específico, siendo así perpendicular también al vector tangente. Esto se representa como que el producto escalar de ambos vectores da 0 como resultado. En superficies cerradas existe la opción de elegir la orientación de esta eligiendo entre la normal hacia adentro o hacia afuera de la propia superficie.
[math] \vec n(t) = \frac{(-y'(t)\vec i + x'(t)\vec j)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} = \frac{(-sint)\vec i + (1-cost)\vec j}{\sqrt{2-2cost}} [/math]

4.2 Representación de los vectores

Figura 4. vectores tangentes y normal

% Parámetros
t = linspace(0, 2*pi, 100);  % Rango de t (100 puntos para suavidad)
x = 2 * (t - sin(t));        % Ecuación del cicloide (x)
y = 2 * (1 - cos(t));        % Ecuación del cicloide (y)

% Ecuaciones para el vector tangente
Tx = (1 - cos(t)) ./ sqrt(2 - 2*cos(t));
Ty = sin(t) ./ sqrt(2 - 2*cos(t));

% Ecuaciones para el vector tangente
Nx = (-sin(t)) ./ sqrt(2 - 2*cos(t));
Ny = (1 - cos(t)) ./ sqrt(2 - 2*cos(t));

%Invertir la dirección de los vectores normales
Nx=-Nx;
Ny=-Ny;

% Dibujo de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2); %curva cicliode en azul
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Cicloide con Vectores Tangentes y Normales');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');

%ajustar el número de vectores tangentes
step=5 %dibuja un vector tangente cada 10 puntos

% Dibujar los vectores tangentes
for i = 1:step:length(t)
    quiver(x(i), y(i), Tx(i), Ty(i), 3, 'color', [1, 0.5, 0], 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.3);
end

% Dibujar los vectores normales
for i = 1:step:length(t)
    quiver(x(i), y(i), Nx(i), Ny(i), 3, 'color', 'green', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.3);
end

%agregar leyenda
legend('cicloide','Vectores Tangentes','Vectores Normales','Location','best')
hold off;

5 Curvatura de la curva

5.1 Definición de la curvatura

La curvatura se define como la desviación que tiene una línea curva respecto de una recta. Es decir, la cantidad que se desvía el objeto de ser plano. En este caso denominaremos a la circunferencia de curvatura [math] κ(t)[/math] como la que mejor aproximada está a la curva [math]γ(t)[/math].
Esta se calcula a través de la siguiente fórmula:

[math]κ(t)=\frac {x´(t)y´´(t) - x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2 + y´(t)^2)^\frac{3}{2}}= \frac{((2-2cost))((2cost))-((2sent))((2sent))}{((2sin(t)^2)(2cos(t)^2))^\frac{3}{2}}=\frac{cost-1}{(2-2cost)^\frac{3}{2}} [/math] con t∈(0,2π)

5.2 Representación de la curvatura

Figura 5. curvatura de la cicloide

% Parámetros
t = linspace(0, 2*pi, 100);  % Rango de t
x = 2 * (t - sin(t));        % Ecuación del cicloide (x)
y = 2 * (1 - cos(t));        % Ecuación del cicloide (y)

% Curvatura de la cicloide
k = (cos(t) - 1) ./ ( (2 - 2*cos(t)).^(3/2) );

% Dibujo de la curvatura
subplot(2, 1, 2); % Segundo gráfico: curvatura
plot(t, k, 'r', 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura de la Cicloide');
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
hold off;

6 La circunferencia osculatriz

6.1 Definición

Se define como una circunferencia cuyo centro se encuentra sobre la recta normal a la curva en cuestión. Además, tiene la misma curvatura que la curva en el punto de interés. La circunferencia osculatriz se encuentra en el plano osculador. El centro y el radio de la circunferencia osculatriz en un punto de la curva se denominan como centro de curvatura y radio de curvatura de la curva en ese punto.

Representación de la circunferencia osculatriz

6.2 Centro y radio

Sea [math]P = γ(t)[/math] con [math] t = 2[/math] se quiere representar la circunferencia osculatriz en P. Para ello se calcula el radio y el centro con las siguientes fórmulas:

Centro: [math]Q(t)= γ(t)+\frac{1}{κ(t)}\vec n(t) =(2t-sint,2-2cost)+\frac{1}{\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}}(\frac{(-sent)\vec i+(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2-2cost)}} ) =4 \vec i [/math]

Radio: [math] R(t) = \frac {1} {|κ(t)|} = \frac {1} {|\frac{(cost-1)}{(2-2cost)^\frac{3}{2}}|}= 3,367[/math]

6.3 Representación de la circunferencia

Figura 6. Circunferencia osculatriz

% Parámetros de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 100);  % Rango de t
x = 2 * (t - sin(t));        % Ecuación del cicloide (x)
y = 2 * (1 - cos(t));        % Ecuación del cicloide (y)

% Parámetros de la circunferencia
r = 3.367;                   % Radio de la circunferencia
centro_x = 4;                % Componente fija en x del centro (4)
centro_y = 0;           % Componente variable en y (movimiento del centro a lo largo del eje y)

% Dibujo de la cicloide
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2); % Curva cicloide en azul
hold on;
axis equal;
grid on;
title('Cicloide y Circunferencia Osculatriz');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');

% Dibujo de la circunferencia con centro en movimiento
theta = linspace(0, 2*pi, 100);           % Ángulo para la circunferencia
for i = 1:length(t)
    % Calculamos las coordenadas del centro
    x_circ = centro_x + r * cos(theta);      % Coordenadas x de la circunferencia
    y_circ = 0 + r * sin(theta);   % Coordenadas y de la circunferencia
    
    % Dibujamos la circunferencia en cada punto
    plot(x_circ, y_circ, 'r--', 'LineWidth', 2); % Circunferencia en rojo
end

% Agregar leyenda
legend('Cicloide', 'Circunferencia Osculatriz', 'Location', 'best');

hold off;

7 Sobre la cicloide

La cicloide es una curva que describe la trayectoria de un punto, fijo a una circunferencia, que rueda sobre una línea recta sin deslizarse. Es una curva fundamental utilizada tanto en el campo de las matemáticas, como en la física, y tiene diversas propiedades geométricas y dinámicas muy importantes.

Para entender mejor la cicloide, debemos imaginar una circunferencia que rueda sobre una superficie. Si un punto en el borde de la rueda sigue su movimiento, la curva que describe el punto, es una cicloide.

Curva animada de la cicloide

La representamos mediante ecuaciones paramétricas, tomando el ángulo θ que describe la rotación y R que es el radio de la circunferencia.

[math] x (θ)=R(θ-sin⁡(θ)) [/math]
[math] y (θ)=R(θ-cos⁡(θ)) [/math]

Propiedades:

- Simetría: la cicloide es simétrica respecto a su eje horizontal

- Curvatura: su curvatura varía a lo largo de la curva. En los puntos de máximo ascenso y pendiente, su curvatura es más pronunciada

- Relación con el tiempo: el tiempo que toma un punto para recorrer la misma distancia a lo largo de la curva, es el mismo que si se moviese en línea recta

- Longitud del arco: la longitud del arco de la cicloide, coincide con una vuelta completa del círculo. Por tanto, es 8R

- Área: el área bajo la curva durante una vuelta completa es 3πR^2. Por tanto, es igual a tres veces el área del círculo generador.

7.1 Aplicación en ingeniería

Curva braquistócrona

La cicloide es una curva tautócrona. Las flechas azules representan la aceleración. En el gráfico, t es el tiempo y s la longitud de arco a lo largo de la curva.

- Braquistócrona: La cicloide se trata de la curva que produce el descenso más rápido bajo la acción de la gravedad. Cualquier objeto que se desplace a lo largo de la curva entre dos puntos dados lo hará en el menor tiempo posible, incluso con más velocidad que con una recta inclinada.

- Tautócrona: un cuerpo que se desliza sin fricción en una cicloide tarda el mismo tiempo en llegar al fondo desde cualquier punto. Por tanto, es muy utilizada para los relojes mecánicos.

- Ingeniería: utilizada para el diseño de engranajes para minimizar el desgaste y maximizar la eficiencia del contacto entre los diversos dientes. Los engranajes cicloidales son más silenciosos y sufren menos fricción que los normales. Asimismo, es utilizado para las cámaras de combustión. En algunos motores rotativos (motores de Wankel) se utilizan cicloides para optimizar el movimiento del pistón y mejorar la eficiencia energética.

- Arquitectura y construcción: se utiliza para el diseño de arcos y puentes, debido a su gran estabilidad y su capacidad para distribuir cargas de manera eficiente. Es capaz de soportar grandes pesos, al distribuir la carga de manera uniforme a lo largo de la curva.

- Óptica y lentes: la curva de la cicloide permite diseñar lentes que optimizan la trayectoria de la luz, mejorando la precisión de los instrumentos ópticos.

- Matemáticas puras: utilizada para la resolución de ecuaciones diferenciales, sobre todo los problemas relacionados con las curvas de evolución y optimización de trayectorias

- Transportes y trenes: la cicloide es capaz de optimizar las curvas y pendientes, reduciendo la resistencia y aumentando la eficiencia. Por tanto, es utilizado para sistemas ferroviarios.

Curva cicloidal en el Karmsund Bridge

Algunas secciones abiertas de gran diámetro utilizadas en pistas de patinaje acrobático son prácticamente cicloides

Arcos cicloidales en el Museo de Arte Kimbell en Fort Worth, por Louis Isadore Kahn

Pasarela complementaria del Puente de Biurdana en San Jorge

8 Cicloide en [math]\mathbb{R}^3[/math]

La cicloide se puede representar en [math]\mathbb{R}^3[/math] con la siguiente parametrización:
[math]γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, R(t − sin t), R(1 + cos t)), t∈(0, 2π)[/math]

Figura 9. superficie de la cicloide

% Parámetros
 R = 1;                        % Radio de la cicloide
 u = linspace(0, 2*pi, 100);   % Rango de u
 v = linspace(0, 1, 50);       % Rango de v


% Crear la malla de puntos para u y v
 [U, V] = meshgrid(u, v);

% Parametrización de la cicloide en 3D
 x = V;                                    % x(u,v) = v
 y = R * (U - sin(U));                     % y(u,v) = R(u - sin(u))
 z = R * (1 + cos(U));                     % z(u,v) = R(1 + cos(u))

% Graficar la superficie
figure;
surf(x, y, z);
colormap jet;                             % Colormap para la visualización
shading interp;                           % Suaviza la superficie
  title('Cicloide en 3D con Parametrización y(u,v)');
  xlabel('x');
  ylabel('y');
  zlabel('z');
axis equal;
grid on;

9 La densidad

Se supone que la densidad de la superficie viene dada por la siguiente función:

[math] f(x,y,z) = (1-x)^2 *z = R + R*cost[/math]

Para calcular su masa se va a seguir la siguiente integral:

[math]M= \int_{u}^{u}\int_{v}^{v}f(\vec r(u,v)) |(\vec r´_{u})\times(\vec r´_{v})|dudv= \int_{0}^{1}\int_{0}^{2π}(1-v)^2 * (2+2cosu) *\sqrt{8-8cosu} dudv = \int_{0}^{1} (1-v)^2 dv \int_{0}^{2π} (2+2cosu)*\sqrt{8-8cosu}du[/math]

[math]= \frac{1}{3} * \int_{0}^{2π} (2+2cosu)*\sqrt{8-8cosu}du[/math]

La resolución de la integral se ha aproximado a través del método del rectángulo con el siguiente código de Matlab.

a = 0;
b = 2 * pi;
n = 10000;
t=linspace(0,2*pi,n);
f = @(t) sqrt(8 - 8 * cos(t))*(2+2 * cos(t));

% Llamada a la función integral
resultado = integral(a, b, f, n);

disp(['Resultado de la integral: ', num2str(resultado)])

function S = integral(a, b, f, n)
    % Método del rectángulo usando el punto medio
    h = (b - a) / n;  % Ancho de cada subintervalo
    S = 0;  % Inicialización de la suma
    for i = 1:n
        xmed = a + (i - 0.5) * h;  % Punto medio del subintervalo
        S = S + f(xmed) * h;  % Suma de áreas de cada rectángulo
    end
end

Se obtiene como resultado final: [math]M = \frac{1}{3} * \frac{64}{3} = \frac{64}{9}[/math]

10 Blibliografía

https://es.wikipedia.org/wiki/Cicloide

https://www.economiapersonal.com.ar/la-fascinante-curva-cicloide/

https://www.diariodenavarra.es/noticias/navarra/pamplona_comarca/pamplona/2014/10/08/una_pasarela_curva_complementara_puente_biurdana_san_jorge_178352_1702.html