Revisión del 19:43 8 dic 2024

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas.

1.1 Líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)

Para dar las parametrizaciones de \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\), partimos de la relación de las coordenadas cilíndricas parabólicas con las coordenadas cartesianas:

\begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases}

El proceso es bastante sencillo, para cada línea coordenada, se mantienen constantes las otras dos variables. La línea coordenada con su variable en cuestión, será calculada en función de \(t\).

• \(\gamma_u (t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}, tv, z \right)[/math], con v, z constantes.

[math]x = \frac{t^2-\frac{y^2}{t^2}}{2} \Rightarrow [/math] Despejando \(y\) obtenemos la ecuación \(v\) curva: [math]y = \sqrt{t^4 - 2t^2x} [/math]

• \(\gamma_v(t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}, ut, z \right)[/math], con u, z constantes.

[math]x = \frac{\frac{y^2}{t^2}-t^2}{2} \Rightarrow [/math] Despejando \(y\) obtenemos la ecuación \(u\) curva: [math]y = \sqrt{t^4 + 2t^2x} [/math]

• \(\gamma_z(t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, t \right)[/math], con u, v constantes.

Código MATLAB y representación gráfica:

clear; clc;

%DEFINICIÓN DE RANGOS
u_vals = linspace(0.1, 2, 5); % Valores discretos de u para las curvas gamma_v
v_vals = linspace(0.1, 2, 5); % Valores discretos de v para las curvas gamma_u

figure;
hold on;

%CURVAS GAMMA_U
% Variando u con valores fijos de v (v_fixed)
for idx = 1:length(v_vals)
    v_fixed = v_vals(idx);
    u = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución para valores de u
    x_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2; % Coordenada x para gamma_u
    y_u = u .* v_fixed;          % Coordenada y para gamma_u
    plot(x_u, y_u, 'Color', [1-idx/length(v_vals), 0, idx/length(v_vals)], 'LineWidth', 1.5); 
end

% CURVAS GAMMA_V
% Variando v con valores fijos de u (u_fixed)
for idx = 1:length(u_vals)
    u_fixed = u_vals(idx);
    v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución para valores de v
    x_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2; % Coordenada x para gamma_v
    y_v = u_fixed .* v;           % Coordenada y para gamma_v
    plot(x_v, y_v, 'Color', [0, idx/length(u_vals), 1-idx/length(u_vals)], 'LineWidth', 1.5); 
end

% GRÁFICO
title('Líneas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en función del valor de "t"');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
axis equal;
legend({'Curvas \gamma_u (u varía)', 'Curvas \gamma_v (v varía)'}, 'Location', 'BestOutside');

hold off;

2 Cálculos teóricos

Para este apartado se hacen diversos cálculos alrededor de las lineas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\):

[math]r'=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} = (\frac{u^2 - v^2}{2})\vec{i}+uv\vec{j}+z\vec{k}[/math].

Campos velocidad de las líneas coordenadas \(\gamma'_u\), \(\gamma'_v\), \(\gamma'_z\):

Código MATLAB y representación gráfica:

% Configuración inicial y parámetros
% Rango de valores para u y v
u = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de u
v = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de v

% Punto de interés para los vectores unitarios
u_point = 1; % Valor fijo de u
v_point = 1; % Valor fijo de v
h = sqrt(u_point^2 + v_point^2); % Factor de escala

% Vectores unitarios en el punto (u_point, v_point)
eu = [u_point/h, v_point/h, 0]; % Vector e_u
ev = [-v_point/h, u_point/h, 0]; % Vector e_v

%  Gráfico de las líneas coordenadas
figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u, con v fijo)
v_fixed = 1; % Valor fijo de v para gamma_u
x_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2; % Coordenada x para gamma_u
y_u = u .* v_fixed;          % Coordenada y para gamma_u
plot(x_u, y_u, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujo de gamma_u

% Curvas gamma_v (variando v, con u fijo)
u_fixed = 1; % Valor fijo de u para gamma_v
x_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2; % Coordenada x para gamma_v
y_v = u_fixed .* v;           % Coordenada y para gamma_v
plot(x_v, y_v, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujo de gamma_v

% Vectores unitarios
% Coordenadas cartesianas del punto donde se grafican los vectores
x_point = (u_point^2 - v_point^2) / 2;
y_point = u_point * v_point;

% Vectores unitarios
quiver(x_point, y_point, eu(1), eu(2), 'm', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Vector e_u
quiver(x_point, y_point, ev(1), ev(2), 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Vector e_v

% Gráfico
title('Líneas coordenadas y vectores unitarios en el plano z = 0');
xlabel('x');
ylabel('y');
legend({'Líneas gamma_u (u varía)', 'Líneas gamma_v (v varía)', 'Vector e_u', 'Vector e_v'}, ...
       'Location', 'Best');
grid on;
axis equal;
hold off;

3 Cálculo de las matrices de cambio de base.

4 Campo de posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico.

Utilizamos la matriz cambio de base de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas:

[math] \vec{r}cilíndricas parabólicas=Q^{-1}* \vec{r}cartesianas\ = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. [/math] [math] \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}= [/math] [math] \begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}[/math]

Expresando el campo de forma vectorial: [math]\vec{r}cilíndricas parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\[/math]

5 Gradiente del campo escalar en el sistema cilíndrico parabólico.

Los datos del enunciado son el campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) y el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0 ,1 ,1)\).

Al inicio se debe cambiar de coordenadas el campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) y el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0 ,1 ,1)\) de coordenadas cartesianas al sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas:

El campo es simplemente sustituir \(x_2=uv\) :

\(f(u, v, z)=uv\)

Para el punto se adjunta la siguiente demostracion: [math] (x_1, x_2,x_3): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases} \\[/math]

Nombramos \(p\) y \(q\) a \(u^2 \) y a \(v^2\) respectivamente y sustituimos \(p\) y \(q\) en el sistema de ecuaciones: [math] (x_1, x_2,x_3): \begin{cases} 2x_1 =p-q (1)\\ x_2^2 = pq (2) \end{cases} [/math]

Dejamos en función de \(q\) a la ecuación (1) [math]q=p-2x_1[/math]

Posteriormente sustituimos esta nueva ecuacion en la ecuacion (2)

\(p^2\)-\(2x_1p\)=\(x_2^2\)

Sacamos las raices de \(p\):

[math]p_1=x_1+\sqrt{x_1^2+x_2^2}\\ p_2=No válida por ser negativa\\[/math] [math] (0, 1, 1): \begin{cases} u = \left (\sqrt{x_1+\sqrt{x_1+x_2}}\right) \\ v = \sqrt{-x_1+\sqrt{x_1+x_2}}\\ z = z \end{cases} \\[/math] Finalmente

[math](u, v, z) = (1 ,1 ,1).\\[/math]

[math]\textbf{Calculamos el gradiente del campo escalar:}\\[/math]

[math]\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}\vec{e_u}+ \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}\vec{e_v} + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e_z}\\[/math]

donde: [math]h_u=h_v=\sqrt{x_1^2+x_2^2} ; h_z=1\\[/math]

Expresándolos en coordenadas cilíndricas parabólicas serían:

[math] h_u=h_v= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} ; h_z=1 [/math]

Las derivadas parciales correspondientes serian:

\(\Large \frac{\partial f}{\partial u} \)=\(u\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial v} \)=\(v\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial z} \)=0

Finalmente si sustitumos el punto en el gradiente se nos quedaria la siguiente expresion:

[math]\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v}) [/math]

6 Divergencia de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico.

La divergencia de un campo vectorial \(\vec{F}\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas se calcula utilizando la siguiente fórmula:

[math]\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right].[/math]

Sustituyendo las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

[math] r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Y también los factores de escala:

[math] h_u = \sqrt{x_1^2+x_2^2} , \quad h_v = \sqrt{x_1^2+x_2^2} , \quad h_z = 1. [/math]

Se obtiene tras derivar la siguiente expresión:

[math] \nabla·\vec{r}=\frac{1}{u^2+v^2}·\left[\frac{\partial}{\partial u}·(\sqrt{u^2+v^2}·1·\frac{u^3+u·v^2}{2·\sqrt{u^2+v^2}})+\frac{\partial}{\partial v}·(\sqrt{u^2+v^2}·1·\frac{u^2·v+v^3}{2·\sqrt{u^2+v^2}})+\frac{\partial}{\partial z}·(\sqrt{u^2+v^2}·\sqrt{u^2+v^2}·z)\right] [/math]

Simplificando se llega a la siguiente expresión:

[math] \nabla·\vec{r}=\frac{1}{u^2+v^2}·\left[\frac{1}{2}·(3u^2+v^2+u^2+3v^2)+u^2+v^2 \right]=\frac{3·(u^2+v^2)}{u^2+v^2}=3 [/math]

Concluyendo entonces que: [math] div \vec{r}=3 [/math]

7 Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico.

La expresión del rotacional en coordenadas cilíndricas parabólicas, es la siguiente:

[math] rot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right | [/math]

Sustituyendo las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

[math] r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Y también los factores de escala:

[math] h_u = \sqrt{x_1^2+x_2^2} , \quad h_v = \sqrt{x_1^2+x_2^2} , \quad h_z = 1. [/math]

Se obtiene la siguiente expresión tras operar:

[math] rot\vec(r)=\frac{1}{u^2+u·v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right | [/math]

Por comodidad a la hora de mostrar los resultados, se calculará por componentes a continuación:

• Componente [math] e_u [/math]

[math] e_u = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0 [/math]

• Componente [math] e_v [/math]

[math] e_u = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)) - \frac {\partial}{\partial u} (z)\right ) = 0 [/math]

• Componente [math] e_z [/math]

[math] e_u = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0 [/math]

• Conclusión

Como el resultado del gradiente es [math] 0 [/math], podemos concluir que se trata de un campo irrotacional

[math] rot \vec {r} = \nabla × \vec{r}=0 [/math]

8 Superficies de nivel.

Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

• \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
• \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
• \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Sabemos, que las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

[math]\begin{cases} x &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\ y &= uv\\ z &= z \end{cases}[/math]

Por tanto tenemos que:

• Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad negativa (ya que a<0, dónde 'a' es el coeficiente de la x en la ecuación de la curva sobre el plano z=0), es decir, sigue la dirección negativa del eje de \(x\), [math]\vec{(-i)}.[/math]
  
• Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad positiva (dónde a>0), es decir, sigue la dirección opuesta, la dirección positiva del eje de \(x\),[math]\vec{(i)}.[/math]
  
• Las superficies con \(z\) constante forman planos horizontales, es decir, paralelos al plano \(OXY\) y a la altura \(z\) correspondiente.

Código MATLAB y representación gráfica:

500px|thumb|centro|Superficie de nivel f1 500px|thumb|centro|Superficie de nivel f2 500px|thumb|centro|Superficie de nivel f3

%Superficie f1
clear; clc;
% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0.1, 2, 100); % v es libre
z = linspace(-2, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla 
[V, Z] = meshgrid(v, z); % Crear mallas para v y z
X = (c^2-V.^2) / 2;    % Coordenada x
Y = c * V;               % Coordenada y (constante en u = c)

% Gráfico 
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap jet; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2
clear; clc;
% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0.1, 2, 100); % u > 0 y es libre
z = linspace(-2, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla 
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
X = (U.^2 - c^2) / 2;    % Coordenada x
Y = U * c;               % Coordenada y (constante en v = c)

% Gráfico 
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap jet; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3
% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 100); 
y_f3 = linspace(-5, 5, 100);  

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);  

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1; 
z_malla = z_const * ones(size(x_malla));  % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure; 
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Etiquetas y título
xlabel('x'); 
ylabel('y'); 
zlabel('z'); 
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]); 

% Ajustes para mejor visualización
axis equal;  % Mantener proporciones iguales entre los ejes
grid on;     % Añadir rejilla
colormap cool; % Mejorar esquema de colores
colorbar;    % Añadir barra de colores

Superficies regladas:

Uso de las superficies regladas en la ingeniería:

9 Curvatura de la parábola.

Dada la parábola

[math] y=-Ax^2+B; dónde A=B=2; x ∈ [−1, 1] [/math]

Resultando:

[math] y=-2x^2+2; x ∈ [−1, 1] [/math]

La fórmula de la curvatura es:

[math] \kappa(x)=\frac{|\vec{v}(x)×\vec{a}(x)|}{|\vec{v}(x)|^3} [/math]

Para nuestro caso, en el plazo z=0, tomamos y=f(x) y x=x resultando: [math] \vec{r}= x\vec{i}+f(x)\vec{j}+0\vec{k} [/math]

[math] \vec{v}(x)=\vec{r}'=\vec{i}+f'(x)\vec{j} [/math]

[math] \vec{a}(x)=\vec{r}''=f''(x)\vec{j} [/math]

Haciendo el productor escalar de la velocidad y la aceleración obtenemos el numerador de la fórmula de la curvatura: [math] \vec{v}(x)×\vec{a}(x) = \left|\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & f'(x) & 0 \\ 0 & f''(x) & 0 \end{matrix}\right|= f''(x)\vec{k} [/math]

Para obtener el denominador de la fórmula de la curvatura, se eleva al cubo el módulo de la velocidad: [math]|\vec{v}(x)|^3 = \left(\sqrt{1^2 + (f'(x))^2}\right)^3[/math]

[math] f(x)=-2x^2+2 [/math]

[math] f'(x)=-4x [/math]

[math] f''(x)=-4 [/math]

Sustituyendo, la curvatura finalmente es:

[math] \kappa(x)=\frac{|-4|}{(1+(4x)^2)^{3/2}}=\frac{4}{(1+16x^2)^{3/2}} [/math]

Ahora, evaluamos los puntos críticos de la parábola, que son: x=-1, x=1, x=0.

1. Para [math]x = -1[/math]: [math] k(-1) = \frac{4}{(1 + 16)^{3/2}} = \frac{4}{17^{3/2}}= 0,057 [/math]

2. Para [math]x = 1[/math]: [math] k(1) = \frac{4}{(1 + 16)^{3/2}} = \frac{4}{17^{3/2}}= 0,057 [/math]

3. Para [math]x = 0[/math]: [math] k(0) = \frac{4}{(1)^{3/2}} = 4 [/math]

Se puede ver claramente que en los extremos la curvatura es mucho menor que en el centro de la parábola, lo que concuerda perfectamente con la forma característica de las parábolas.

Código MATLAB y representación gráfica

A = 2; % Constante
x = linspace(-1, 1, 100);
kappa = 4 ./ (1 + 16 * x.^2).^(3/2);

figure;
plot(x, kappa, 'LineWidth', 2);
title('Curvatura \kappa(x) de la parábola');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;

10 Usos de la parábola en la ingeniería

La parábola es una curva matemática con unas propiedades únicas las cuales la hacen especialmente útil en diversas aplicaciones de la ingeniería. A continuación, mostraremos ejemplos en los cuales la parábola tiene una gran importancia en diferentes ámbitos, centrándonos en la ingeniería civil:

1. Puentes

• Puentes colgantes

Puente colgante Estrecho de Akashi (Japón)

• Puentes arco

Puente Dom Luis I (Portugal)

1. Elementos estructurales

• Fachadas

Fachada del Oceanográfico de Valencia (España)

• Vigas

Estadio de Wembley (Inglaterra)

1. Presas

• Presas arco de gravedad

Presa Hoover (Estados Unidos)

• Presas bóveda

Presa bóveda múltiple de Daniel-Johnson (Canadá)

1. Faros

Esquema reflejo faros