Revisión del 19:30 8 dic 2024

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas.

1.1 Líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)

Para dar las parametrizaciones de \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\), partimos de la relación de las coordenadas cilíndricas parabólicas con las coordenadas cartesianas:

\begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases}

El proceso es bastante sencillo, para cada línea coordenada, se mantienen constantes las otras dos variables. La línea coordenada con su variable en cuestión, será calculada en función de \(t\).

• \(\gamma_u (t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}, tv, z \right)[/math], con v, z constantes.

[math]x = \frac{t^2-\frac{y^2}{t^2}}{2} \Rightarrow [/math] Despejando \(y\) obtenemos la ecuación \(v\) curva: [math]y = \sqrt{t^4 - 2t^2x} [/math]

• \(\gamma_v(t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}, ut, z \right)[/math], con u, z constantes.

[math]x = \frac{\frac{y^2}{t^2}-t^2}{2} \Rightarrow [/math] Despejando \(y\) obtenemos la ecuación \(u\) curva: [math]y = \sqrt{t^4 + 2t^2x} [/math]

• \(\gamma_z(t)\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, t \right)[/math], con u, v constantes.

Código MATLAB y representación gráfica:

clear; clc;

%DEFINICIÓN DE RANGOS
u_vals = linspace(0.1, 2, 5); % Valores discretos de u para las curvas gamma_v
v_vals = linspace(0.1, 2, 5); % Valores discretos de v para las curvas gamma_u

figure;
hold on;

%CURVAS GAMMA_U
% Variando u con valores fijos de v (v_fixed)
for idx = 1:length(v_vals)
    v_fixed = v_vals(idx);
    u = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución para valores de u
    x_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2; % Coordenada x para gamma_u
    y_u = u .* v_fixed;          % Coordenada y para gamma_u
    plot(x_u, y_u, 'Color', [1-idx/length(v_vals), 0, idx/length(v_vals)], 'LineWidth', 1.5); 
end

% CURVAS GAMMA_V
% Variando v con valores fijos de u (u_fixed)
for idx = 1:length(u_vals)
    u_fixed = u_vals(idx);
    v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución para valores de v
    x_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2; % Coordenada x para gamma_v
    y_v = u_fixed .* v;           % Coordenada y para gamma_v
    plot(x_v, y_v, 'Color', [0, idx/length(u_vals), 1-idx/length(u_vals)], 'LineWidth', 1.5); 
end

% GRÁFICO
title('Líneas coordenadas \gamma_u y \gamma_v en función del valor de "t"');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;
axis equal;
legend({'Curvas \gamma_u (u varía)', 'Curvas \gamma_v (v varía)'}, 'Location', 'BestOutside');

hold off;

2 Cálculos teóricos

Para este apartado se hacen diversos cálculos alrededor de las lineas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\):

[math]r'=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} = x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}[/math].

Campos velocidad de las líneas coordenadas \(\gamma'_u\), \(\gamma'_v\), \(\gamma'_z\):

Código MATLAB y representación gráfica:

% Configuración inicial y parámetros
% Rango de valores para u y v
u = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de u
v = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de v

% Punto de interés para los vectores unitarios
u_point = 1; % Valor fijo de u
v_point = 1; % Valor fijo de v
h = sqrt(u_point^2 + v_point^2); % Factor de escala

% Vectores unitarios en el punto (u_point, v_point)
eu = [u_point/h, v_point/h, 0]; % Vector e_u
ev = [-v_point/h, u_point/h, 0]; % Vector e_v

%  Gráfico de las líneas coordenadas
figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u, con v fijo)
v_fixed = 1; % Valor fijo de v para gamma_u
x_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2; % Coordenada x para gamma_u
y_u = u .* v_fixed;          % Coordenada y para gamma_u
plot(x_u, y_u, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Dibujo de gamma_u

% Curvas gamma_v (variando v, con u fijo)
u_fixed = 1; % Valor fijo de u para gamma_v
x_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2; % Coordenada x para gamma_v
y_v = u_fixed .* v;           % Coordenada y para gamma_v
plot(x_v, y_v, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujo de gamma_v

% Vectores unitarios
% Coordenadas cartesianas del punto donde se grafican los vectores
x_point = (u_point^2 - v_point^2) / 2;
y_point = u_point * v_point;

% Vectores unitarios
quiver(x_point, y_point, eu(1), eu(2), 'm', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Vector e_u
quiver(x_point, y_point, ev(1), ev(2), 'g', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % Vector e_v

% Gráfico
title('Líneas coordenadas y vectores unitarios en el plano z = 0');
xlabel('x');
ylabel('y');
legend({'Líneas gamma_u (u varía)', 'Líneas gamma_v (v varía)', 'Vector e_u', 'Vector e_v'}, ...
       'Location', 'Best');
grid on;
axis equal;
hold off;

3 Cálculo de las matrices de cambio de base.

4 Campo de posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico.

Utilizamos la matriz cambio de base de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas:

[math] \vec{r}cilíndricas parabólicas=Q^{-1}* \vec{r}cartesianas\ = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. [/math] [math] \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}= [/math] [math] \begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}[/math]

Expresando el campo de forma vectorial: [math]\vec{r}cilíndricas parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\[/math]

5 Gradiente del campo escalar en el sistema cilíndrico parabólico.

Los datos del enunciado son el campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) y el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0 ,1 ,1)\).

Al inicio se debe cambiar de coordenadas el campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) y el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0 ,1 ,1)\) de coordenadas cartesianas al sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas:

El campo es simplemente sustituir \(x_2=uv\) :

\(f(u, v, z)=uv\)

Para el punto se adjunta la siguiente demostracion: [math] (x_1, x_2,x_3): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases} \\[/math]

Nombramos \(p\) y \(q\) a \(u^2 \) y a \(v^2\) respectivamente y sustituimos \(p\) y \(q\) en el sistema de ecuaciones: [math] (x_1, x_2,x_3): \begin{cases} 2x_1 =p-q (1)\\ x_2^2 = pq (2) \end{cases} [/math]

Dejamos en función de \(q\) a la ecuación (1) [math]q=p-2x_1[/math]

Posteriormente sustituimos esta nueva ecuacion en la ecuacion (2)

\(p^2\)-\(2x_1p\)=\(x_2^2\)

Sacamos las raices de \(p\):

[math]p_1=x_1+\sqrt{x_1^2+x_2^2}\\ p_2=No válida por ser negativa\\[/math] [math] (0, 1, 1): \begin{cases} u = \left (\sqrt{x_1+\sqrt{x_1+x_2}}\right) \\ v = \sqrt{-x_1+\sqrt{x_1+x_2}}\\ z = z \end{cases} \\[/math] Finalmente

[math](u, v, z) = (1 ,1 ,1).\\[/math]

[math]\textbf{Calculamos el gradiente del campo escalar:}\\[/math]

[math]\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}\vec{e_u}+ \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}\vec{e_v} + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e_z}\\[/math]

donde: [math]h_u=h_v=\sqrt{x_1^2+x_2^2} ; h_z=1\\[/math]

Expresándolos en coordenadas cilíndricas parabólicas serían:

[math] h_u=h_v= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} ; h_z=1 [/math]

Las derivadas parciales correspondientes serian:

\(\Large \frac{\partial f}{\partial u} \)=\(u\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial v} \)=\(v\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial z} \)=0

Finalmente si sustitumos el punto en el gradiente se nos quedaria la siguiente expresion:

[math]\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v}) [/math]

6 Divergencia de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico.

La divergencia de un campo vectorial \(\vec{F}\) en coordenadas cilíndrico-parabólicas se calcula utilizando la siguiente fórmula:

[math]\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right].[/math]

Sustituyendo las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

[math] r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Y también los factores de escala:

[math] h_u = \sqrt{x_1^2+x_2^2} , \quad h_v = \sqrt{x_1^2+x_2^2} , \quad h_z = 1. [/math]

Se obtiene tras derivar la siguiente expresión:

[math] \nabla·\vec{r}=\frac{1}{u^2+v^2}·\left[\frac{\partial}{\partial u}·(\sqrt{u^2+v^2}·1·\frac{u^3+u·v^2}{2·\sqrt{u^2+v^2}})+\frac{\partial}{\partial v}·(\sqrt{u^2+v^2}·1·\frac{u^2·v+v^3}{2·\sqrt{u^2+v^2}})+\frac{\partial}{\partial z}·(\sqrt{u^2+v^2}·\sqrt{u^2+v^2}·z)\right] [/math]

Simplificando se llega a la siguiente expresión:

[math] \nabla·\vec{r}=\frac{1}{u^2+v^2}·\left[\frac{1}{2}·(3u^2+v^2+u^2+3v^2)+u^2+v^2 \right]=\frac{3·(u^2+v^2)}{u^2+v^2}=3 [/math]

Concluyendo entonces que: [math] div \vec{r}=3 [/math]

7 Rotacional de un campo vectorial en el sistema cilíndrico parabólico.

La expresión del rotacional en coordenadas cilíndricas parabólicas, es la siguiente:

[math] rot \vec{F}=\frac{1}{h_u h_v h_z} \left | \begin {matrix} h_u·\vec{e_u} & h_v·\vec{e_v} & h_z·\vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u·\vec{F_u} & h_v·\vec{F_v} & h_z·\vec{F_z} \end {matrix} \right | [/math]

Sustituyendo las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

[math] r_u = \frac{u^3 + u·v^2}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v·u^2 + v^3}{\sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Y también los factores de escala:

[math] h_u = \sqrt{x_1^2+x_2^2} , \quad h_v = \sqrt{x_1^2+x_2^2} , \quad h_z = 1. [/math]

Se obtiene la siguiente expresión tras operar:

[math] rot\vec(r)=\frac{1}{u^2+u·v^2} \left | \begin{matrix} \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_u} & \sqrt{u^2+v^2}·\vec{e_v} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{1}{2}(u^3+u·v^2) & \frac{1}{2}(v^3+u^2·v) & z \end {matrix} \right | [/math]

Por comodidad a la hora de mostrar los resultados, se calculará por componentes a continuación:

• Componente [math] e_u [/math]

[math] e_u = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial v} (z) - \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v)\right ) = 0 [/math]

• Componente [math] e_v [/math]

[math] e_u = \sqrt {u^2+v^2} · \left ( \frac {\partial}{\partial z} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)) - \frac {\partial}{\partial u} (z)\right ) = 0 [/math]

• Componente [math] e_z [/math]

[math] e_u = \left ( \frac {\partial}{\partial u} (\frac {1}{2}(v^3+u^2·v) - \frac {\partial}{\partial v} (\frac {1}{2}(u^3+u·v^2)\right ) = u·v - u·v = 0 [/math]

• Conclusión

Como el resultado del gradiente es [math] 0 [/math], podemos concluir que se trata de un campo irrotacional

[math] rot \vec {r} = \nabla × \vec{r}=0 [/math]

8 Superficies de nivel.

Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

• \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
• \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
• \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Sabemos, que las coordenadas cilíndricas parabólicas están definidas en términos de las cartesianas por:

[math]\begin{cases} x &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\ y &= uv\\ z &= z \end{cases}[/math]

Por tanto tenemos que:

• Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad negativa (ya que a<0, dónde 'a' es el coeficiente de la x en la ecuación de la curva sobre el plano z=0), es decir, sigue la dirección negativa del eje de \(x\), [math]\vec{(-i)}.[/math]
  
• Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad positiva (dónde a>0), es decir, sigue la dirección opuesta, la dirección positiva del eje de \(x\),[math]\vec{(i)}.[/math]
  
• Las superficies con \(z\) constante forman planos horizontales, es decir, paralelos al plano \(OXY\) y a la altura \(z\) correspondiente.

Código MATLAB y representación gráfica:

500px|thumb|centro|Superficie de nivel f1 500px|thumb|centro|Superficie de nivel f2 500px|thumb|centro|Superficie de nivel f3

%Superficie f1
clear; clc;
% Parámetros
c = 1; % u es la constante de nivel
v = linspace(0.1, 2, 100); % v es libre
z = linspace(-2, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla 
[V, Z] = meshgrid(v, z); % Crear mallas para v y z
X = (c^2-V.^2) / 2;    % Coordenada x
Y = c * V;               % Coordenada y (constante en u = c)

% Gráfico 
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap jet; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f2
clear; clc;
% Parámetros
c = 1; % v es la constante de nivel
u = linspace(0.1, 2, 100); % u > 0 y es libre
z = linspace(-2, 2, 50); % z es libre

% Construcción de la malla 
[U, Z] = meshgrid(u, z); % Crear mallas para u y z
X = (U.^2 - c^2) / 2;    % Coordenada x
Y = U * c;               % Coordenada y (constante en v = c)

% Gráfico 
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie transparente
title('Superficie de nivel para f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
colormap jet; % Mejorar los colores
colorbar; % Añadir barra de colores
axis equal;
grid on;

%Superficie f3
% Definir el rango de valores para x y y
x_f3 = linspace(-5, 5, 100); 
y_f3 = linspace(-5, 5, 100);  

% Crear malla para el plano
[x_malla, y_malla] = meshgrid(x_f3, y_f3);  

% Fijar z en una constante (como un plano paralelo al plano z=0)
z_const = 1; 
z_malla = z_const * ones(size(x_malla));  % Crear malla con valor constante de z

% Graficar la superficie
figure; 
surf(x_malla, y_malla, z_malla, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.7); % Superficie sin bordes y algo transparente

% Etiquetas y título
xlabel('x'); 
ylabel('y'); 
zlabel('z'); 
title(['Superficie de nivel para f_3(u, v, z) = z, z = ', num2str(z_const)]); 

% Ajustes para mejor visualización
axis equal;  % Mantener proporciones iguales entre los ejes
grid on;     % Añadir rejilla
colormap cool; % Mejorar esquema de colores
colorbar;    % Añadir barra de colores

Superficies regladas:

Uso de las superficies regladas en la ingeniería:

9 Curvatura de la parábola.

Dada la parábola

[math] y=-Ax^2+B; dónde A=B=2; x ∈ [−1, 1] [/math]

Resultando:

[math] y=-2x^2+2; x ∈ [−1, 1] [/math]

La fórmula de la curvatura es:

[math] \kappa(x)=\frac{|\vec{v}(x)×\vec{a}(x)|}{|\vec{v}(x)|^3} [/math]

Para nuestro caso, en el plazo z=0, tomamos y=f(x) y x=x resultando: [math] \vec{r}= x\vec{i}+f(x)\vec{j}+0\vec{k} [/math]

[math] \vec{v}(x)=\vec{r}'=\vec{i}+f'(x)\vec{j} [/math]

[math] \vec{a}(x)=\vec{r}''=f''(x)\vec{j} [/math]

Haciendo el productor escalar de la velocidad y la aceleración obtenemos el numerador de la fórmula de la curvatura: [math] \vec{v}(x)×\vec{a}(x) = \left|\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & f'(x) & 0 \\ 0 & f''(x) & 0 \end{matrix}\right|= f''(x)\vec{k} [/math]

Para obtener el denominador de la fórmula de la curvatura, se eleva al cubo el módulo de la velocidad: [math]|\vec{v}(x)|^3 = \left(\sqrt{1^2 + (f'(x))^2}\right)^3[/math]

[math] f(x)=-2x^2+2 [/math]

[math] f'(x)=-4x [/math]

[math] f''(x)=-4 [/math]

Sustituyendo, la curvatura finalmente es:

[math] \kappa(x)=\frac{|-4|}{(1+(4x)^2)^{3/2}}=\frac{4}{(1+16x^2)^{3/2}} [/math]

Código MATLAB y representación gráfica

A = 2; % Constante
x = linspace(-1, 1, 100);
kappa = 4 ./ (1 + 16 * x.^2).^(3/2);

figure;
plot(x, kappa, 'LineWidth', 2);
title('Curvatura \kappa(x) de la parábola');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;

10 Usos de la parábola en la ingeniería

La parábola es una curva matemática con unas propiedades únicas las cuales la hacen especialmente útil en diversas aplicaciones de la ingeniería. A continuación, mostraremos ejemplos en los cuales la parábola tiene una gran importancia en diferentes ámbitos, centrándonos en la ingeniería civil:

1. Puentes

• Puentes colgantes

Puente colgante Estrecho de Akashi (Japón)

• Puentes arco

Puente Dom Luis I (Portugal)

1. Elementos estructurales

• Fachadas

Fachada del Oceanográfico de Valencia (España)

• Vigas

Estadio de Wembley (Inglaterra)

1. Presas

• Presas arco de gravedad

Presa Hoover (Estados Unidos)

• Presas bóveda

Presa bóveda múltiple de Daniel-Johnson (Canadá)

1. Faros

Esquema reflejo faros