Diferencia entre revisiones de «Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 21)»

Revisión del 12:51 8 dic 2024

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

Introducción

En este trabajo vamos a estudiar las coordenadas cilíndricas parabólicas que son un sistema de coordenadas que resulta útil para estudiar campos físicos en situaciones donde las formas parabólicas estas presentes.
Este sistema permite describir de manera sencilla ciertos problemas relacionados con distintos campos (como por ejemplo los potenciales). Exploramos cómo funcionan estas coordenadas y su utilidad, tanto en contextos físicos, como en su aplicación a nuestra rama de la ingeniería.
La relación que vamos a utilizar es la siguiente:

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas

1.1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

• Línea coordenada \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):

[math] \gamma_u(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = wv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

• Línea coordenada \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):

[math] \gamma_v(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\ x_2 = uw \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

• Línea coordenada \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):

[math] \gamma_z(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = w \end{cases} [/math]
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

1.2 Gráficas y códigos MATLAB

Líneas coordenadas asociadas en 2 dimensiones

Líneas coordenadas asociadas en 3 dimensiones

1.2.1 Código de las líneas coordenadas en 2 dimensiones

%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u) 
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v) 
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;

1.2.2 Código de las lineas coordenadas en 3 dimensiones

%Líneas coordenadas de u y v en 3D
% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas 
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Linea coorenada de u
u_const=1; %fijamos u 
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('línea coordenada de u');
axis equal;

% Línea coordenada de v
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = 0;

subplot(1, 3, 2);
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Línea coordenada de v');
axis equal;

2 CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)

2.1 Campos de Velocidad Lineas Coordenadas

Los campos de velocidad son los vectores tangentes obtenidos derivando las lineas coordenadas:

1. Derivada respecto a \(u\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial u} = v, \\ \frac{\partial x_2}{\partial u} = u, \\ \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_u = v \vec{i} + u \vec{j}. \end{aligned} [/math]

2. Derivada respecto a \(v\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial v} = u, \\ \frac{\partial x_2}{\partial v} = -v, \\ \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_v = u \vec{i} - v \vec{j}. \end{aligned} [/math]

3. Derivada respecto a \(z\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1, \end{array} \right. \quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}. \end{aligned} [/math]

2.2 Factores de Escala

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad:

1. Para \(\gamma'_u\)→ [math] h_u = |\gamma'_u| = \sqrt{v^2 + u^2} [/math]

2. Para \(\gamma'_v\)→ [math] h_v = |\gamma'_v| = \sqrt{u^2 + (-v)^2} = \sqrt{u^2 + v^2} [/math]

3. Para \(\gamma'_z\)→ [math] h_z = |\gamma'_z| =1 [/math]

2.3 Vectores Tangentes

Los vectores tangentes unitarios se obtienen normalizando los vectores de velocidad calculados anteriormente:

1. [math]\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( v, u, 0 \right)[/math]

2. [math]\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, -v, 0 \right)[/math]

3. [math]\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)[/math]

2.4 Comprobación de Ortonormalidad

Para comprobar que estos vectores forman una base ortonormal:

1. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = [math]\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( v, u, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, -v, 0 \right)=0[/math]

2. Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= [math]\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

3. Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=[math] \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, -v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores unitarios.

Conclusión
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal.

2.5 Representación Gráfica

Vectores tangentes a las líneas

clear;clc

%Lineas Coordenadas

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u) 
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v) 
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
axis equal;


%Vectores Tangentes

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas Zconst; x3=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores tangentes en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; %Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; %Vector e_v

%EditGráfico
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'m','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'b','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
legend('Líneas γ_u','Líneas γ_v','e_u','e_v');
title('Vectores Tangentes Lineas Coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');

axis equal;
hold off;

3 Matrices de cambio de base

Transforman entre bases cilíndricas parabólicas y cartesianas. La matriz \( Q\) transforma las coordenadas de base \( (e_u, e_v, e_z) \) al sistema cartesiano \( (i, j, k) \).

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{-v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

La matriz inversa \( Q^{-1} \) transforma vectores en el sistema cartesiano \( (i, j, k) \) al sistema cilíndrico parabólico \( (e_u, e_v, e_z) \). La inversa de \( Q\) es igual a su traspuesta, por lo que:

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ \frac{-v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{-v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}. [/math]

4 Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que extiende las coordenadas polares del plano a tres dimensiones usando una parábola. Estas coordenadas se denotan como \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) es la siguiente:

[math] x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z. [/math]

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1. [/math]

Derivadas parciales

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

[math] \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1. [/math]

Matriz de cambio de base

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

[math] Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. [/math]

Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \)

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), expresado a continuación, produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \)

[math] \vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}, [/math]

La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

[math] r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Conclusión

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se calculan aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación resulta útil cuando las coordenadas cartesianas no facilitan la resolución de un problema, permitiendo simplificar los cálculos en contextos donde las geometrías parabólicas son mas relevantes.

5 Gradiente de un campo escalar

Se nos pide calcular el gradiante del campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3)=x_2\) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) \) = \( (0, 1, 1) \).

Transformamos coordenadas

[math] x_2 = uv [/math]

Por lo que en terminos \( (u, v, z) \) obtenemos que \(f(u,v,z)=uv\).

Derivadas parciales

[math] \frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0 [/math]

Cálculo del gradiante

el gradiante de f en coordenadas\( (u, v, z) \) es : [math]\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}e_u + \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}e_v + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}e_z [/math]

Sustituyendo obtenemos: [math]\nabla f= \frac{v}{u^2+v^2}e_u + \frac{u}{u^2+v^2}e_v [/math]

Cálculo de coordenadas \( (u, v, z) \)

se obtienen de las ecuaciones de transformación. [math]x_1= \frac{u^2-v^2}{2} ; x_1= uv ; x_3=z [/math]

Para el punto \( (0,1,1) \): [math] uv=1 [/math] ; [math] \frac{u^2-v^2}{2}=0 [/math]. Por lo que [math] u^2=v^2 [/math]

Entonces: [math] u=1, v=1, z=1 [/math]

Sustitución en el gradiante en el punto \( (u, v, z) \)=\( (0, 1, 1) \).

Sabiendo que : [math] h_u=h_v= \frac{1}{\sqrt{2}} ;e_u= (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0) ;e_v=(\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0) [/math]

Sustituyendo en el gradiante: [math] \nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0) + \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{-1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0) [/math]

Sumando las componentes [math] \nabla f= (0, 1, 0) .[/math] Siendo esto el resultado (el gradiante de f en cartesianas \( (0, 1, 1) \)).

6 Divergencia del campo posición \(\vec{r}\)

Apoyándonos en la expresión anterior, deducimos la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas

[math]\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] [/math]

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

[math] r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Derivada parcial respecto u

[math]\frac{\partial}{\partial{u}}(\sqrt{u^2+v^2}r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}[/math]

Derivada parcial respecto v

[math]\frac{\partial}{\partial{v}}(\sqrt{u^2+v^2}r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}[/math]

Derivada parcial respecto z

[math]\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1[/math]

Sustituyendo cada una de las derivadas parciales en la expresión de la divergencia:

[math]\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3[/math]

Resultado final

[math]\nabla\cdot\vec r = 3[/math]

7 Rotacional de un campo vectorial

El rotacional es un operador vectorial que, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional en coordenadas cilíndricas parabólicas viene definida por la siguiente expresión:

[math]\nabla×\vec F = \frac{1}{h_uh_vh_z}\left|\begin{matrix} h_u\vec e_u & h_v\vec e_v & h_z\vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u\vec F_u & h_v\vec F_v & h_z\vec F_z \end{matrix}\right| [/math]

teniendo en cuenta los factores de escala:

[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1. [/math]

y por tanto:

[math]h_uh_vh_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 · 1 = u^2+v^2[/math]

Sustituyendo los factores de escala, obtenemos la siguiente expresión:

[math]\nabla×\vec F = \frac{1}{u^2+v^2}\left|\begin{matrix} \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec e_v & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_u & \sqrt{u^2 + v^2}\vec F_v & \vec F_z \end{matrix}\right| [/math]

Rotacional del campo posición \(\vec{r}\)

Utilizando la expresión anterior y con las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\), calcularemos su rotacional

[math] r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Cálculo de la componente \( e_u \)

[math] e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) [/math]

[math] \frac{\partial}{\partial v}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0 [/math]

[math] \frac{\partial}{\partial z}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_v) = 0[/math] ;ya que la componente \( F_v \) no depende de z

[math] e_u = 0 [/math]

Cálculo de la componente \( e_v \)

[math] e_u = \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) [/math]

[math] \frac{\partial}{\partial z}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2}F_u) = 0[/math] ;ya que la componente \( F_u \) no depende de z

[math] \frac{\partial}{\partial u}(h_zF_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0 [/math]

[math] e_v = 0 [/math]

Cálculo de la componente \( e_z \)

[math] e_u = \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) [/math]

[math] (h_vF_v) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{vu^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{vu^2 + v^3}{2} [/math]

[math] \frac{\partial}{\partial u}(h_vF_v) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2 + v^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial u}(\frac{vu^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial u}(\frac{v^3}{2}) = vu [/math]

[math] (h_uF_u) = (\sqrt{u^2 + v^2}) · \frac{uv^2 + u^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{uv^2 + u^3}{2} [/math]

[math] \frac{\partial}{\partial v}(h_uF_u) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2 + u^3}{2}) = \frac{\partial}{\partial v}(\frac{uv^2}{2}) + \frac{\partial}{\partial v}(\frac{u^3}{2}) = uv [/math]

[math] e_z = vu - uv = 0 [/math]

Resultado final

[math]\nabla×\vec r = 0·e_u + 0·e_v + 0·e_z = 0[/math]

Es irrotacional, lo que significa que puede expresarse como el gradiente de un potencial escalar, es conservativo y no presenta rotación ni giros locales.

8 Superficies de nivel

8.1 ¿Cómo son estas superficies?

Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

• \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
• \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
• \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas estan definidas en términos de las cartesianas por:

[math]\begin{cases} x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\ x_2 &= uv\\ x_3 &= z \end{cases}[/math]

• Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_1\), [math]\bar{i}[/math]
  
• Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_1\),[math]\bar{(-i)}[/math]
  
• Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

8.2 Código MATLAB y representación gráfica

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):

Superficies de nivel

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50);
v = linspace(0, 2, 50);
z = linspace(0, 2, 50);

% Creación de mallas 
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Superficie de nivel para f1
u_const=1; %fijamos u 
x1_f1 = (u_const.^2-V.^2)/2;
x2_f1 = u_const.*V;
x3_f1 = z;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
v_const=1; % fijamos v

x1_f2 =(U.^2-v_const.^2)/2 ;
x2_f2 = U.*v_const;
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50); 

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % fijamos z
z_malla= z_const * ones(size(x1_malla)); 

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;

8.3 Superficies regladas

8.3.1 ¿Son las superficies de nivel superficies regladas?

Una superficie reglada es aquella superficie asociada a \(\gamma\) la cual esta definida mediante segmentos de longitud d y un vector director [math]\bar{w}[/math]. Solo se considera reglada si existe una parametrización de ella tal que:

Por lo tanto, las superficies de nivel de \(u\) y \(v\) son superficies regladas al ser cilindros parabólicos, y también lo es la asociada a \(z\) al ser un plano horizontal generado por un vector.

• La parametrización de la superficie de nivel f1 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(u=1\) constante:
  

• La parametrización de la superficie de nivel f2 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(v=1\) constante:
  

• La parametrización de la superficie de nivel f3 que corrobora que es una superficie regladas es, dejando \(z=1\) constante:
  

8.3.2 Uso de las superficies regladas en la ingeniería

Estas superficies tienen gran importancia en muchos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería estas son distintas razones que hacen a estas superficies tan útiles:
1. Estabilidad estructural: gracias a su forma y a su método de construcción, son capaces de soportar grandes cargas y resistir deformaciones, lo que las hace perfectas para la construcción de estructuras muy sólidas y duraderas.
2. Eficiencia constructiva: son realmente fáciles de de construir y fabricar. Esto se debe a su naturaleza geométrica, ya que hace posible el uso de técnicas que reducen el coste y el tiempo de producción.
3. Flexibilidad de diseño: al desplazar las rectas generatrices de manera controlada, es posible crear superficies con curvaturas y formas distintas.
Algunas de las aplicaciones prácticas en la ingeniería son, la fabricación de componentes aerodinámicos, como alas de aviones, o productos con formas ergonómicas y atractivas; también tienen gran importancia en la creación de techos, fachadas y estructuras curvas.

Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas

9 Curvatura de la parábola

9.1 Curvatura

Cálculo

Dada la parábola

[math] y=-Ax+B; x ∈ [−1, 1] [/math]

[math] A=2 [/math] [math] B=2 [/math]

es decir

[math] y=-2x+2; x ∈ [−1, 1] [/math]

La fórmula de la función curvatura para cualquier parametrización γ(t) es:

[math] \kappa(x)=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{3/2}} [/math]

por lo que particularizando para nuestra parábola:

[math] x(t)=x [/math]

[math] x(t)'=1 [/math]

[math] x(t)''=0 [/math]

[math] y(t)=-2x^2+2 [/math]

[math] y(t)'=-4x [/math]

[math] y(t)''=-4 [/math]

La curvatura es:

[math] \kappa(x)=\frac{|y''(x)|}{1+(y'(x))^2)^{3/2}} [/math]

[math] \kappa(x)=\frac{4}{1+(4x^2)^{3/2}} [/math]

Interpretación de la curvatura

La curvatura ‘‘κ(t)’’ indica que alrededor del punto ‘‘γ(t)’’ la curva que mejor aproxima a la curva ‘‘γ’’ es la circunferencia de curvatura ‘‘κ(t)’’ (y por tanto de radio ‘‘1/|κ(t)’’). Esta circunferencia se denomina circunferencia osculatriz.

9.2 Código MATLAB y representación gráfica

Este es el código de Matlab utilizado para dibujar la función de la curvatura:

% Parámetros
A = 2; 
x = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura
kappa = @(x) 4 ./ ((1 + 16*x.^2).^(3/2));

% Gráfica
figure;
plot(x, kappa(x), 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -2x^2 + 2');
xlabel('x'); ylabel('\kappa(x)');
grid on;

Y esta, por ende, es la gráfica resultante:

centro

Como bien se puede apreciar en la gráfica, la función de la curvatura alcanza su máximo valor en x=0 y su minímo en x=1 y x=-1. Luego, el punto de mayor curvatura será A(0,2) y los de menor curvatura B(1,0) y C(-1,0)

10 Uso de la parábola en ingeniería

10.1 ¿Qué es la parabola?

Podemos describir la parábola de distintas formas, según su campo de estudio:

1. En matemáticas, se define como la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto o de revolución con un plano oblicuo de ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono igual al presentado por su generatriz.

2. En dibujo técnico, se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto interior a la parábola llamado foco.

3. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas ya que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Un ejemplo de ello las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad, que son parábolas.

10.2 Aplicaciones en ingeniería civil y arquitectura

Una de las propiedades características de la parábola es su capacidad de distribuir cargas de manera uniforme y concentrar la energía en un punto, su foco, debido a su simetría y la forma en la que los vectores de fuerza interactuan con sus puntos de apoyo.

centro

Esto provoca que durante los años se hayan desarrollado infinidad de aplicaciones tanto en diseño estructural como arquitectónico, siendo las siguientes las más relevantes:

1. Puentes colgantes y arcos

1.1. Puentes colgantes. En este tipo de puentes, los cables principales tienen un trayectoria cercana a la parábolica, aunque realmente es cilíndrica, lo que permite que las cargas se distribuyan uniformemente desde el tablero hasta las torres. Un ejemplo significativo es el Puente Golden Gate.

Puente Golden Gate

1.2. Arcos parabólicos. En ciertos puentes, se utiliza el arco parabólico para soportar el tablero y así optmizar la estabilizad estructural a la vez que se reduce el peso y material requerido. Un ejemplo de ello es el Puente de la Barqueta.

Puente de la Barqueta

2. Techos y cúpulas

Debido a su resistencia y eficiencia estructural, las estructuras parabólicas son de gran utilidad a la hora de cubrir amplias superficies.

2.1. Estadios y auditorios. Además de distribuir uniformemnte las cargas, como ya se ha mencionado anteriormente, en este tipo de estructuras su ventaja radica en la capacidad de redirigir las ondas sonoras hacia el centro. Esto mejora enormemente la acústica, como en el Estadio de Múnich.

Estadio Olímpico de Munich

2.2. Cúpulas arquitectónicas. De nuevo, la capacidad de distribución de cargas permite transmitir el peso hacia los pilares, haciendo posible construcciones más altas y estéticas como iglesias y edificios icónicos.

3. Diseño de fachadas y estructuras ornamentales

3.1. Fachadas paramétricas. Otro uso es el la creación de efectos visuales a la vez que se controla la entrada de luz natural, como en el Museo de Arte de Milwakee.

Museo de Arte de Milwaukee

3.2. Ventilación y luz natural. Estas formas posibilitan un flujo de aire e iluminación óptimos, mejorando así la sostenibilidad.

4. Acueductos y canalizaciones

En la ingeniería hidráulica, el estudio parabólica es funadamental para canalizar fluidos.

4.1. Acueductos históricos. El ejemplo más icónico de los acueductos son los construidos por los romanos, que mediante formas parabólicas maximizaban la estabilidad y transportaban agua a largas distancias.

4.2. Diseños modernos. Actualmente, estos diseños en canales mejoran la eficiencia del flujo de agua minimizando la pérdida de energía debido a la resistencia.

5. Estructuras antisísmicas

Las formas parabólicas también son utilizadas en zonas de actividad sísimica por su capacidad de disipar energía.

5.1. Absorción de energía. Los arcos parabólicos son capaces de soportar deformaciones controladas durante movimientos telúricos, mantiendo la estructura.

5.2. Diseños innovadores. En edificios contemporáneos, se minimizan los daños tras un terremotos utilizando parábolas para reforzar componentes críticos.

10.3 Otras apliacaciones en ingeniería

Una de las propiedades fundamentales de la parábola es la capacidad de reflexión, que consiste en reflejar los rayos que incidan paralelamente a su eje hacia su foco.

centro

Esta provoca su frecuente uso en tecnologías de concentración y dirección de energía, teniendo diversas aplicaciones; entre ellas:

1. Antenas parabólicas y radiotelescopios

Con el fin de captar y concentrar ondas electrpmagnéticas en su foco, donde se encuentra su receptor, las antenas parabólicas utilizan la forma parabólica. Esta tecnología es de gran importancia para las comunicaciones satelitales y la radioastronomia, al permitir captar señales desde lasrgas distancias.

Antena parabólica

2. Faros y linternas

También encontramos aplicaciones en objetos tan comunes como faros de vehículos y linternas, en los cuales se coloca una fuente de luz en el foco del paraboloide. La luz emitida es reflejada en la superficie parabólica y se proyecta como un haz paralelo, optmizando así el alcance y la dirección.

3. Concentradores de energía solar

Los paraboloides, en sistemas solares, concentran los rayos solares en un único punto, opteniendo altas temperaturas que pueden ser usadas para generar energía térmica o eléctrica. Esta tecnología se utiliza en plantas de energía solar de gran escala.

Concentrador de energía solar

4. Micrófonos parabólicos

Utilizados en la industria del entretenimiento o la investigación, los micrófonos parabólicos reflejan las ondas hacia un micrófono en el foco del parabolide amplificando sonidos. Esto hace posible captar claramente sonidos provenientes de una dirección específica.