Diferencia entre revisiones de «La catenaria. Grupo 9»
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| + | Una circunferencia osculatriz a una curva es aquella que, en un punto específico, tiene la misma curvatura que la curva y cuyo centro se sitúa en la recta normal a esta en el punto dado. En este punto y sus proximidades, la circunferencia nos proporciona una gran aproximación de la curva. | ||
| + | ===Cálculo radio y centro circunferencia osculatriz === | ||
| + | En el caso de la catenaria <math> γ(t) </math> siendo t=0.5 se obtiene el siguiente centro: | ||
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| + | <math>\vec{C}(t) = \vec{\gamma}(t) + \frac{1}{\kappa(t)} \cdot \vec{n}(t)</math> | ||
| + | <math>=\begin{pmatrix} t \\ 2\cosh\left(\frac{t}{2}\right) \end{pmatrix} + 2\cosh^2\left(\frac{t}{2}\right) \cdot \frac{1}{\cosh\left(\frac{t}{2}\right)} \begin{pmatrix} -\sinh\left(\frac{t}{2}\right) \\ 1 \end{pmatrix}</math> | ||
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| + | % Parametrización catenaria | ||
| + | t = linspace(-1, 1, 100); | ||
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| + | % Obtención radio y centro de curvatura | ||
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| + | C = [t_circ, 2 * cosh(t_circ / 2)] + (1 / K) * norm; % Centro de curvatura | ||
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| + | % Parametrización circunferencia | ||
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| + | % Dibujo circunferencia y catenaria | ||
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Revisión del 23:25 4 dic 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La catenaria. Grupo 9 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2024-25 |
| Autores |
|
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Circunferencia osculatriz
1.1 Propiedades circunferencia osculatriz
Una circunferencia osculatriz a una curva es aquella que, en un punto específico, tiene la misma curvatura que la curva y cuyo centro se sitúa en la recta normal a esta en el punto dado. En este punto y sus proximidades, la circunferencia nos proporciona una gran aproximación de la curva.
1.2 Cálculo radio y centro circunferencia osculatriz
En el caso de la catenaria [math] γ(t) [/math] siendo t=0.5 se obtiene el siguiente centro:
[math]\vec{C}(t) = \vec{\gamma}(t) + \frac{1}{\kappa(t)} \cdot \vec{n}(t)[/math] [math]=\begin{pmatrix} t \\ 2\cosh\left(\frac{t}{2}\right) \end{pmatrix} + 2\cosh^2\left(\frac{t}{2}\right) \cdot \frac{1}{\cosh\left(\frac{t}{2}\right)} \begin{pmatrix} -\sinh\left(\frac{t}{2}\right) \\ 1 \end{pmatrix}[/math]
Obteniendo:
[math]\vec{C}(0.5) = \begin{pmatrix} -0.0211 \\ 4.1256 \end{pmatrix}[/math]
Para obtener el radio de la circunferencia osculatriz, se necesita la curvatura de la catenaria calculada en el apartado anterior. Así, el radio, será la inversa de esta.
Como: [math]\kappa(t) = \frac{1}{2 \cosh^2\left(\frac{t}{2}\right)}[/math]
El radio obtenido es el siguiente:
[math]r(0.5) = \frac{1}{\kappa(0.5)} = \frac{1}{0.4700} = 2.1276[/math]
1.3 Representación gráfica circunferencia osculatriz
% Parametrización catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
xcat = t;
ycat = 2 * cosh(t / 2);
% Obtención radio y centro de curvatura
t_circ = 0.5;
K = 1 / (2 * (cosh(t_circ / 2))^2);
r = 1 / K; % radio
norm = (1 / (cosh(t_circ / 2))) * [-sinh(t_circ / 2), 1];
C = [t_circ, 2 * cosh(t_circ / 2)] + (1 / K) * norm; % Centro de curvatura
% Parametrización circunferencia
theta = linspace(0, 2 * pi, 100);
xcirc = C(1) + r * cos(theta);
ycirc = C(2) + r * sin(theta);
% Dibujo circunferencia y catenaria
figure;
hold on;
plot(xcirc, ycirc);
plot(xcat, ycat);
axis equal;
grid on;
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
title('Circunferencia osculatriz y catenaria');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off;
legend(["Circunferencia", "Catenaria"]);
