Diferencia entre revisiones de «Grupo 38 Cicloide»
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==Cálculo de la longitud de la curva L== | ==Cálculo de la longitud de la curva L== | ||
Revisión del 13:39 4 dic 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La cicloide. Grupo 38 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Esteban Espinoza Villanueva Alejandro Trejo Meseguer Antonio García del Pozo García Liam O'Hea Kith |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Dibujo de la curva
% Parámetros
R = 2; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi
% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));
% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2);
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal;2 Cálculo de vectores velocidad y aceleración
La parametrización de la curva cicloide es (teniendo en cuenta que el radio es R=2): [math] \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(2(1-sin(t)), 2(1-cos(t)) ) [/math]
Podemos obtener los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas:
[math]\overrightarrow{v(t)}=\frac{\frac{d \gamma(t)}{dt}}{\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|}=(2-2cos(t),2sen(t))[/math]
[math]\overrightarrow{a(t)}=\frac{\frac{d \overrightarrow{v}(t)}{dt}}{\left| \frac{d \overrightarrow{v}(t)}{dt} \right|}=(2sen(t),2cos(t))[/math]
Y lo representaremos usando el programa:
% Parámetros dados
R = 2; % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t
% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));
% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t); % Componente y de la velocidad
% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t); % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t); % Componente y de la aceleración
% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5);
hold on;
% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde
% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal;
hold off;3 Cálculo de la longitud de la curva L
Para calcular la longitud de la curva usaremos:
[math]L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt[/math]
Y para calcular la longitud deberemos resolver la siguiente integral:
[math]\(2\sqrt{2}\int_0^{\pi/2} \sqrt{1-\cos(t)} \, dt\)[/math]
Para lo cual usaremos Matlab a través del siguiente programa:
Así, resulta que la longitud de la curva es: L=
