Diferencia entre revisiones de «T.C.V2»

A la derecha nos encontramos con la cicloide, una de muchas, en cuestión esta es la curva tautrocrona.

Cicloide realizada con el programa matlab

clear,clc
R=2; 
%Definición del vector t 
t=linspace(0,2*pi,1000); 
%Trayectoria de la cicloide 
x=R*(t-sin(t));           
y=R*(1-cos(t));
%Dibujo de la curva 
plot(x,y,'b');
%Etiquetas 
xlabel('X'); 
ylabel('Y',"Rotation",0);
axis equal
axis([0,max(x),0,max(y)+0.5])
title('Cicloide');

2 Velocidad, aceleración de la cicloide junto a los vectores normales y tangente

2.1 Vector velocidad

El vector velocidad es la derivada del vector posición con respecto del parámetro t.

• [math] γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (R(1-cos(t))\vec i +R(sen(t))\vec j [/math]

2.2 Vector aceleración

El vector aceleración es la derivada del vector velocidad con respecto al parátro t.

• [math] γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = Rsen(t)\vec i + Rcos(t)\vec j[/math]

2.3 Representación gráfica de los vectores

Mediante un código en MATLAB

realizado con el programa matlab

R=2; 
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad 
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t)); 
%vector aceleración 
a1=R*(sin(t)); 
a2=R*(cos(t)); 
figure 
hold on 
%Gráficos 
plot(x,y,'k')
quiver(x,y,v1,v2,'b');  
quiver(x,y,a1,a2,'r'); 
%Etiquetas 
axis equal 
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración');
hold off 
title('Curva, velocidad y aceleración');

3 Longitud de la cicloide

En este apartado se ha realizado la longitud de la curva propuesta siguiendo los conceptos explicados en clase para su resolución analítica y los conocimientos adquiridos en la asignatura de informática en su resolución numérica.
[math] Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |=\int_{a}^{b} \sqrt{x(t)^2+y(t)^2} dt= \int_{0}^{2pi} \sqrt{R^2((1-cos(t))^2+sin(t)^2)}dt = \int_{a}^{b} R\sqrt{((1-cos(t))^2+sin(t)^2)} = [/math]
[math] = \int_{a}^{b} R\sqrt{1-2cos(t)+cos(t)^2+sin(t)^2} = \int_{a}^{b} R\sqrt{2(1-1cos(t)}= \int_{a}^{b} R2sin(\frac{t}{2})=R2 \int_{a}^{b} sin(\frac{t}{2}) =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = [/math]
[math] = 4R(2)=[R=2]= 16 m [/math]

clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000);
X=2*(t-sin(t));Y=2*(1-cos(t));
Vx=2*(1-cos(t));Vy=2*sin(t);

n=length(t);
 Sum =0;
 for i =1:n-1
 b = t(i+1)-t(i);
 a = sqrt ((2*(1-cos(t(i))))^2+(2*sin(t(i)))^2) ;
    super = b *a ;
    Sum = Sum + super;
 end
 Longitud=round(Sum);                       
 fprintf (['La longitud es %f, que redondeando es %d.\nDato que concuerda ' ...
          'con el resultado optenido de\nforma analítica '],Sum,Longitud )

4 Vector tangente y vector normal

4.1 Vector tangente

El vector tangente es un vector unitario que indica la dirección de la curva en cada punto.

• [math] \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ 2(1-cost)\vec i +(2sent)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}[/math]

4.2 Vector normal

El vector normal es el vector ortogonal al vector tangente.

• [math]\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-2sent)\vec i +2(1-cost)\vec j}{\sqrt{(2(1-cost))^2 +(2sent)^2}}[/math]

4.3 Representación de los vectores tangente y normal

Cicloide realizada con el programa matlab

R=2;
n=15;
t=linspace(0,2*pi,n); 
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad 
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t)); 
norma= sqrt(v1.^2+v2.^2); 
t1=v1./norma; 
t2=v2./norma;
figure
hold on
%curva
plot(x,y, 'k'); 
%tangente 
quiver(x,y,t1,t2,'r'); 
%normal 
quiver(x,y,-t2,t1,'b'); 
axis equal
legend('Curva', 'tangente', 'normal');
hold off 
title ('Curva, tangente y normal.');

5 Curvatura

5.1 Definición de la curvatura

La curvatura nos sirve para ver como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva.

Su fórmula es:

[math]\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}[/math]

Si lo desarrollamos:

[math]\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}[/math]

5.2 Representación de la curvatura

realizado con el programa matlab

Representamos la curvatura mediante un código en MATLAB:

n=100; 
t=linspace(0,2*pi,n);
k=(4*cos(t)-4)./(8-8.*cos(t)).^(3/2);
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title ('Curvatura kappa(t). ');

6 Información la sobre curva y relación con la ingeniería

Cicloide generada por una circunferencia rodando sobre una recta.

7 Superficie reglada