Diferencia entre revisiones de «Coordenadas cilindricas elipticas Grupo 22»
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Entonces, la curvatura 𝜅(𝑡) se calcula como: | Entonces, la curvatura 𝜅(𝑡) se calcula como: | ||
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| − | κ(t) = \frac{| | + | κ(t) = \frac{|x_ψ'(t)y_ψ''(t)-y_ψ'(t)x_ψ''(t)|}{(x_ψ'(t)^2+y_ψ'(t)^2)^3/2} |
</math> | </math> | ||
Revisión del 17:09 30 nov 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 22) |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Marta Sanz Alejandro Hart Marcos Fernández Juan Gimeno Pau Vives |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Coordenadas Cilíndricas Elipticas
Introducción
En este trabajo estudiaremos las coordenadas cilíndricas elipticas un sistema que relaciona las coordenadas cilindricas y elipticas, es útil en problemas que involucran geometrías elípticas, como el estudio de campos de fuerza o potencial en elipses como tambien en la resolución de ecuaciones en espacios donde hay una simetría elíptica.
Estas se denotan por (q, ψ, z). Surelacion con las coordenadas cartesianas (x1, x2, x3) es:
[math]x_1 = aq cos ψ[/math]
[math]x_2 = bq sin ψ [/math]
[math]x_3 = z [/math]
Contenido
1 Parametrización de las líneas coordenadas
1.1 Gráfica
1.2 Forma
2 Expresión de la velocidad
2.1 Módulo
2.2 Vector tangente
2.3 Comprobación
2.4 Gráfica
3 Expresión en coordenadas elípticas en un punto
Consideramos el punto P=(x1, x2, x3) = (2, 0, 0) y lo pasamos a cordenadas elipticas mediante el siguiente proceso:
[math]
q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} = \sqrt{\frac{2^2}{2^2} + \frac{0^2}{3^2}} = 1
[/math]
[math]
ψ= arctan(\frac{bx_2}{ax_1}) = arctan(\frac{0}{4}) = 0
[/math]
[math]
z = x_3 = 0
[/math]
P = (q,ψ,z) = (1,0,0)
4 Parametrización de la curva
Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas y las coordenadas cartesianas (x1,x2,x3) podemos parametrizar la a curva γ:
La curva γ está parametrizada por ψ lo cual significa que necesitamos expresar las coordenadas x,y de cartesianas en función de ψ, teniendo en cuenta que el valor de la componente z=0, tendríamos la siguiente parametrización:
[math] x_ψ(t)=2qcost\\ y_ψ(t)=3qsint [/math]
Teniendo en cuenta que q = 1 y que definimos que ψ varia en el intervalo [0,2π] para cubrir toda la elipse.
4.1 Grafico y codigo Matlab
% Definir el rango del ángulo psi
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % 100 puntos entre 0 y 2pi
% Parametrizar las coordenadas cartesianas
q = 1; % Suposición de que q es constante y igual a 1
x1 = 2 * q * cos(psi); % Coordenada x1
x2 = 3 * q * sin(psi); % Coordenada x2
% Graficar la curva
figure;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);
xlabel('x1');
ylabel('x2');
axis equal; % Para asegurar que la escala de ambos ejes es igual
title('Curva en coordenadas cartesianas');
grid on;
5 Curvatura
Tenemos la sigueinte funcion k(t)
[math] k(t) = \frac{||\vec{r(t)}'\×\vec{r(t)}''||}{||\vec{r(t)'||^3} [/math]
siendo \( \vec{r(t)} \)
[math] \vec{r(t)} = \begin{bmatrix} x_ψ \\ y_ψ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2qcost \\ 3qsent \end{bmatrix}, [/math]
Entonces, la curvatura 𝜅(𝑡) se calcula como: [math] κ(t) = \frac{|x_ψ'(t)y_ψ''(t)-y_ψ'(t)x_ψ''(t)|}{(x_ψ'(t)^2+y_ψ'(t)^2)^3/2} [/math]
Utilizando la parametrizacion del apartado anterior vemos como quedaria la funcion k(t) dibujada en Matlab.
5.1 Gráfica y codigo Matlab
% Parámetros
a = 2; b = 3; % Constantes elípticas
q_fixed = 1; % Valor fijo de q
t_vals = linspace(0, 2pi, 100); % Valores de t
% Parametrización de la curva
x1_gamma = a q_fixed * cos(t_vals);
x2_gamma = b * q_fixed * sin(t_vals);
% Derivadas numéricas
dx1_dt = gradient(x1_gamma, t_vals); % Derivada de x1 respecto a t
dx2_dt = gradient(x2_gamma, t_vals); % Derivada de x2 respecto a t
d2x1_dt2 = gradient(dx1_dt, t_vals); % Segunda derivada de x1 respecto a t
d2x2_dt2 = gradient(dx2_dt, t_vals); % Segunda derivada de x2 respecto a t
% Cálculo de la curvatura
kappa_vals = abs(dx1_dt .* d2x2_dt2 - dx2_dt .* d2x1_dt2) ./ ...
((dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2).^(3/2));
% Graficar la curvatura
figure;
plot(t_vals, kappa_vals, 'k', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('t'); ylabel('\kappa(t)');
title('Curvatura \kappa(t)');
grid on;
5.2 Máximos y mínimos
Añadiendo el siguiente comando conseguimos los maximos y minimos de la funcion dibujada:
[max_kappa, idx_max] = max(kappa_vals);
[min_kappa, idx_min] = min(kappa_vals);
disp(['Máx: ', num2str(max_kappa), ' en t = ', num2str(t_vals(idx_max))]);
disp(['Mín: ', num2str(min_kappa), ' en t = ', num2str(t_vals(idx_min))]);obteniendo como resultado:
Max = 0.74965
Min = 0.11115
6 Vector tangente y normal
Mediante el siguiente codigo obtenemos el vector normal y tangente respecto a la curva dada:
% Parámetros
a = 2; b = 3; % Constantes elípticas
q_fixed = 1; % Valor fijo de q
t_vals = linspace(0, 2pi, 100); % Valores de t
% Parametrización de la curva
x1_gamma = a q_fixed * cos(t_vals);
x2_gamma = b * q_fixed * sin(t_vals);
% Derivadas numéricas
dx1_dt = gradient(x1_gamma, t_vals); % Derivada de x1 respecto a t
dx2_dt = gradient(x2_gamma, t_vals); % Derivada de x2 respecto a t
% Vectores tangente y normal en un punto específico
t_point = pi/4; % Punto elegido para t
idx = find(abs(t_vals - t_point) == min(abs(t_vals - t_point))); % Índice más cercano
% Tangente en el punto
tangent = [dx1_dt(idx); dx2_dt(idx)];
tangent = tangent / norm(tangent); % Normalizamos
% Normal en el punto (perpendicular al tangente)
normal = [-tangent(2); tangent(1)];
% Coordenadas del punto en la curva
point = [x1_gamma(idx); x2_gamma(idx)];
% Graficar
figure;
plot(x1_gamma, x2_gamma, 'm', 'LineWidth', 1.5); hold on;
quiver(point(1), point(2), tangent(1), tangent(2), 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Tangente
quiver(point(1), point(2), normal(1), normal(2), 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Normal
scatter(point(1), point(2), 50, 'k', 'filled'); % Punto específico
% Etiquetas y configuraciones
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Vectores Tangente y Normal en la curva \gamma');
legend('Curva \gamma', 'Tangente \vec{t}', 'Normal \vec{n}', 'Punto de interés');
grid on;
axis equal;
7 Circunferencia osculatriz
Supongamos una curva con [math] q [/math] constante, por ejemplo, [math] q [/math]=1. Entonces la curva parametrizada será:
Esta describe una elipse en el plano [math] x_3=0 [/math].
La máxima curvatura es [math]kmáx=\frac{2}{9}[/math], donde el punto correspondientes en la elipse es [math] (x_1,x_2)=(2,0) [/math].
La circunferencia osculatriz tiene el radio inversamente proporcional a la curvatura:
El centro de la circunferencia osculatriz se encuentra en la dirección normal a la curva en el punto, que para [math](2,0) es (2,R)[/math]. La ecuación de la circunferencia es:
7.1 Código
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 9 / 2; % Radio de la circunferencia osculatriz
x = 2; % Coordenada x del centro
y = R; % Coordenada y del centro
% Puntos para la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
elipse_x = a * cos(theta);
elipse_y = b * sin(theta);
% Puntos para la circunferencia osculatriz
circulo_theta = linspace(0, 2*pi, 500);
circulo_x = x + R * cos(circulo_theta);
circulo_y = y + R * sin(circulo_theta);
% Graficar la elipse
figure;
plot(elipse_x, elipse_y, 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on;
% Graficar la circunferencia osculatriz
plot(circulo_x, circulo_y, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
% Marcar el punto de máxima curvatura
plot(2, 0, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g');
text(2.1, 0.2, 'Punto de máxima curvatura (2, 0)', 'Color', 'green', 'FontSize', 10);
% Configuración del gráfico
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Elipse y Circunferencia Osculatriz');
legend('Elipse (q=1)', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de máxima curvatura', 'Location', 'Best');
hold off;
