Diferencia entre revisiones de «Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 21)»

Revisión del 14:29 29 nov 2024

Trabajo F: Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

Introducción

En este trabajo vamos a estudiar las coordenadas cilíndricas parabólicas que son un sistema de coordenadas que resulta útil para estudiar campos físicos en situaciones donde las formas parabólicas estas presentes.
Este sistema permite describir de manera sencilla ciertos problemas relacionados con distintos campos (como por ejemplo los potenciales). Exploramos cómo funcionan estas coordenadas y su utilidad, tanto en contextos físicos, como en su aplicación a nuestra rama de la ingeniería.
La relación que vamos a utilizar es la siguiente:

• [math]x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)[/math]
• [math]x_2 = uv [/math]
• [math]x_3 = z [/math]

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas

1.1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:

• Línea coordenada \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):

[math] \gamma_u(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = wv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

• Línea coordenada \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):

[math] \gamma_v(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\ x_2 = uw \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

• Línea coordenada \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):

[math] \gamma_z(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = w \end{cases} [/math]
Las líneas coordenadas asociadas a \(u\) y a \(v\) son curvas que tienen forma de parábolas parametrizadas por (\(u\),\(v\))

1.2 Código MATLAB y gráfica

Líneas coordenadas asociadas

clear,clc
  %Parametrizaciones 
 u = linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
 v = linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v
 %Dibujo de las curvas
 figure;
 hold on;
 
% Curva γ_u: fijando v, quedando libre u 
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);

% Curva γ_v: fijando u, quedando libre v 
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);

 % Color y tamaño de la gráfica
title('Líneas coordenadas en el plano z = 0');
xlabel('EJE x_1');
ylabel('EJE x_2');
legend({'Líneas γ_u: u libre', 'Líneas γ_v: v libre'});
grid on;
axis equal;
hold off;

2 CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)

2.1 Campos de Velocidad Lineas Coordenadas

⇒γ_u
[math]\gamma'_u = \left( u, v, 0 \right)[/math]
⇒γ_v
[math]\gamma'_v = \left( -v, u, 0 \right)[/math]
⇒γ_z
[math]\gamma'_z = \left( 0, 0, 1 \right)[/math]

2.2 Factores de Escala

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad:

[math] h_u = |\gamma_u'(u)| = \sqrt{u^2 + v^2} , h_v = |\gamma_v'(v)| = \sqrt{u^2 + v^2} , h_z = |\gamma_z'(z)| = 1 [/math]

2.3 Vectores Tangentes

⇒[math]\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)[/math]
⇒[math]\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)[/math]
⇒[math]\mathbf{e}_z = \left( 0, 0, 1 \right)[/math]

2.4 Comprobación de Ortonormalidad

2.5 Representación Gráfica

right

clear;clc

%Puntos de interes
u=1;
v=1;

%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas en z=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;

%Vectores unitarios en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; % Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; % Vector e_v

%GráficoCoordenadas
figure;
hold on;
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'c','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
title('Vectores Unitarios en z=0');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'e_u','e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;

3 Matrices de cambio de base

4 Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que extiende las coordenadas polares del plano a tres dimensiones usando una parábola. Estas coordenadas se denotan como \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) es la siguiente:

[math] x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z. [/math]

-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:

[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1. [/math]

Derivadas parciales

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

[math] \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1. [/math]

Matriz de cambio de base

La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:

[math] Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. [/math]

Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \)

Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), dado por:

[math] \vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}, [/math]

produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \). La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

[math] r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Conclusión

En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se calculan aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación resulta útil cuando las coordenadas cartesianas no facilitan la resolución de un problema, permitiendo simplificar los cálculos en contextos donde las geometrías parabólicas son mas relevantes.

5 Gradiente de un campo escalar

6 Divergencia de un campo vectorial

La divergencia de un campo vectorial mide el cambio de volumen debido al desplazamiento que sufre. Para las coordenadas cilíndricas parabólicas, se utiliza:

[math]\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{h_uh_vh_z}[\frac{\partial}{\partial{u}}({h_vh_zF_u})+\frac{\partial}{\partial{v}}(h_uh_zF_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(h_uh_vF_z)] [/math]

sustituyendo los factores de escala, nos queda la siguiente expresión:

[math]\nabla\cdot\vec F=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(/sqrt(u^2+v^2)F_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(/sqrt(u^2+v^2)F_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(F_z)] [/math]

Divergencia del campo posición \(\vec{r}\)

Apoyándonos en la expresión anterior, deducimos la fórmula de la divergencia de un campo vectorial \(\vec{r}\) en coordenadas cilíndricas parabólicas

[math]\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}[\frac{\partial}{\partial{u}}(/sqrt(u^2+v^2)r_u)+\frac{\partial}{\partial{v}}(/sqrt(u^2+v^2)r_v)+\frac{\partial}{\partial{z}}(r_z)] [/math]

Las componentes del campo vectorial \(\vec{r}\):

[math] r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Derivada parcial respecto u

[math]\frac{\partial}{\partial{u}}(/sqrt(u^2+v^2)r_u) = \frac{3u^2+v^2}{2}[/math]

Derivada parcial respecto v

[math]\frac{\partial}{\partial{v}}(/sqrt(u^2+v^2)r_v) = \frac{u^2+3v^2}{2}[/math]

Derivada parcial respecto z

[math]\frac{\partial}{\partial{z}}r_z = 1[/math]

Sustituyendo cada una de las derivadas direccionales en la expresión de la divergencia:

[math]\nabla\cdot\vec r=\frac{1}{u^2+v^2}(\frac{3u^2+v^2}{2}+\frac{u^2+3v^2}{2})+1 = \frac{1}{u^2+v^2}·2(u^2+v^2)+1 = 2+1 = 3[/math]

[math]\nabla\cdot\vec r = 3[/math]

7 Rotacional de un campo vectorial

8 Superficies de nivel

8.1 ¿Cómo son estas superficies?

Dados los siguientes campos escalares: \(f_1(u,v,z)=u\), \(f_2(u,v,z)=v\) y \(f_3(u,v,z)=z\). Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos \(S_c=\{(u,v,z):f(u,v,z)=c\}\). De manera que, para los campos escalares dados:

• \(f_1: S_c=\{(u,v,z): f_1(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):u=c\}\)
• \(f_2: S_c=\{(u,v,z): f_2(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):v=c\}\)
• \(f_3: S_c=\{(u,v,z): f_3(u,v,z)=c\}=\{(u,v,z):z=c\}\)

Las coordenadas cilíndricas parabólicas estan definidas en términos de las cartesianas por:

[math]\begin{align} x_1 &= \frac{1}{2} \left( u^2 - v^2 \right) \\ x_2 &= uv\\ x_3 &= z \end{align}[/math]

Las superficies con \(u\) constante forman cilindros parabólicos confocales de ecuaciones

[math] 2 x_2 = \frac{x^2}{u^2} - u^2 [/math] (con concavidad vuelta para la dirección positiva del eje de \(x_2\))

Las superficies con \(v\) constante forman cilindros parabólicos confocales de ecuaciones

[math] 2 x_2 = -\frac{x^2}{v^2} + v^2 [/math] (con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección negativa del eje de \(x_2\))

Las superficies con \(z\) constante forman planos paralelos al plano \(x_1Ox_2\), a "cota" \(z\)

8.2 Código MATLAB y representación gráfica

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares \(f_1, f_2\) y \(f_3\):

8.3 Superficies regladas

8.3.1 ¿Son las superficies de nivel superficies regladas?

Una superficie reglada es aquella superficie asociada a \(\gamma\) la cual esta definida mediante segmentos de longitud d y un vector director \(w\). Solo se considera reglada si existe una parametrización de ella tal que:
[math]\phi(u,v)=\gamma(u,v)+u\bar{w}(v) [/math] \(v\) perteneciente a \(a,b\)

8.3.2 Uso de las superficies regladas en la ingeniería

Estas superficies tienen gran importancia en muchos campos, pero centrándonos en su aplicación en ingeniería estas son distintas razones que hacen a estas superficies tan útiles:
1. Estabilidad estructural: gracias a su forma y a su método de construcción, son capaces de soportar grandes cargas y resistir deformaciones, lo que las hace perfectas para la construcción de estructuras muy sólidas y duraderas.
2. Eficiencia constructiva: son realmente fáciles de de construir y fabricar. Esto se debe a su naturaleza geométrica, ya que hace posible el uso de técnicas que reducen el coste y el tiempo de producción.
3. Flexibilidad de diseño: al desplazar las rectas generatrices de manera controlada, es posible crear superficies con curvaturas y formas distintas.
Algunas de las aplicaciones prácticas en la ingeniería son, la fabricación de componentes aerodinámicos, como alas de aviones, o productos con formas ergonómicas y atractivas; también tienen gran importancia en la creación de techos, fachadas y estructuras curvas.

Aplicaciones en la ingeniería de las superficies regladas

9 Curvatura de una parábola

10 Uso de la parábola en ingeniería

10.1 Puentes

10.2 Elementos arquitectónicos

10.3 Presas

10.4 Carreteras

10.5 Ventajas generales de la parábola