Diferencia entre revisiones de «El vórtice de Rankine (Grupo 4)»

Revisión del 12:30 29 nov 2024

1 Introducción

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes. En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

2 Campo de velocidades

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas:
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice.
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos.
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del vórtice y la región exterior. Para un vórtice con ojo de radio [math]\text{R}[/math] y circulación máxima [math]\Gamma[/math], el campo de velocidad se define en coordenadas cilíndricas [math] \left ( \rho ,\theta ,z \right )[/math] como [math]\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}[/math], donde:

[math]\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r\gt R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 [/math]
[math]0\leq z\leq z_{0}[/math]

% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');

Campo de Velocidades del Huracán Camille

3 Divergencia y rotacional del campo de velocidades

3.1 Divergencia del campo de velocidades

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades [math] \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}[/math]

donde:
[math]v_{r}=0[/math] [math][/math] [math]v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r\gt R \\ \end{Bmatrix} \\[/math] [math][/math] [math]v_{z}=0[/math]

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

[math]\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix} \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\ \end{Bmatrix}[/math]

Sustituyendo las componentes:
[math]\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix} \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\ \end{Bmatrix}[/math]

Ya que [math]v_{r}=0[/math] [math]v_{z}=0[/math]
Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente [math]\upsilon _{\theta}(\rho )[/math]

[math]\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0[/math]

dado que [math]\upsilon _{\theta}(\rho )[/math] no depende de [math]\theta[/math], el término de derivada con respecto a [math]\theta[/math] es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es [math]\triangledown .V=0[/math]

Significado físico de la soluión

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

3.2 Rotacional del campo de velocidades

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

• [math]\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\ \frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z} \end{vmatrix}[/math]

Sustituyendo [math]v_{r}[/math] , [math]v_{\theta}[/math], [math]v_{z}[/math] ;

[math]\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\ 0& si & r\gt R \\ \end{Bmatrix}[/math]

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección [math]\vec{e_{z}}[/math] cuando [math] r \leq R [/math] y nula para todos los puntos [math] r\gt R[/math]

Rotacional Campo de Velocidades

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice [math] r \leq R [/math] las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo [math] r\gt R[/math] disminuyen.

4 Visualización práctica del comportamiento de una barca dentro de un vórtice de Rankine

Estudiamos el comportamiento de una pequeña barca en los siguientes casos:
1.En el ojo del vértice
2.En la región exterior del vórtice
¿La barca rotará sobre si misma o se mantendrá paralela a una dirección fija?
El vórtice de Rankine es un modelo matemático que describe el comportamiento de un vórtice en un fluido viscoso. En este modelo, el vórtice tiene dos regiones: un núcleo central donde el flujo es rotacional (vórtice forzado) y una región exterior donde el flujo es irrotacional (vórtice libre). Si una barca se encuentra en el ojo del vórtice (el núcleo central), es probable que gire sobre sí misma debido a las fuerzas rotacionales presentes en esa región. Sin embargo, si la barca está en la región exterior del vórtice, podría mantenerse más estable y seguir una dirección fija, ya que en esta área el flujo es más ordenado y menos turbulento

5 Campo de presión

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por:
[math]p(r,z)= \begin{Bmatrix} P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\ P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r\gt R \\ \end{Bmatrix}[/math]
Donde [math]P_{0}[/math] es la presión del centro del ojo, [math]P_{\infty}[/math] es la presión atmosférica estándar, [math] \rho [/math] es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y [math]\upsilon_{\theta }[/math] es la velocidad tangencial del vórtice.
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentara en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire. Se define la velocidad tangencial del vórtice como:
[math] v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})[/math]
Donde la velocidad tangencial disminuirá a medida que r sea mayor o este más alejado del centro y r varía entre r=0 y r=R

R = 46300; % Radio del ojo del vórtice en metros (46.3 km)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima en m/s (320 km/h)
P0 = 990 * 100; % Presión inicial en Pa (990 mbar)
rho = 1.225; % Densidad del aire en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración gravitacional en m/s^2
z0 = 15000; % Altura máxima en metros (15 km)

% Calcular la circulación máxima (Gamma)
Gamma = 2 * pi * R * v_max;

% Crear mallas en coordenadas (r, z)
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial (0 a 2 veces el radio del ojo)
z = linspace(0, z0, 100); % Altura (0 a z0)
[R_mesh, Z_mesh] = meshgrid(r, z); % Crear la malla

% Inicializar el campo de presión
P = zeros(size(R_mesh));

% Calcular la presión en cada región
for i = 1:size(R_mesh, 1)
    for j = 1:size(R_mesh, 2)
        r_val = R_mesh(i, j);
        z_val = Z_mesh(i, j);
        if r_val <= R
            % Región interior (r <= R)
            v_theta = (v_max / R) * r_val; % Velocidad tangencial
            P(i, j) = P0 + (rho/2) * v_theta^2 - rho * g * z_val;
        else
            % Región exterior (r > R)
            P(i, j) = P0 - (rho/2) * (Gamma^2) / (4 * pi^2 * r_val^2) - rho * g * z_val;
        end
    end
end

% Representar el campo de presión en un plano vertical
figure;
contourf(R_mesh / 1000, Z_mesh / 1000, P, 50, 'LineColor', 'none');
colorbar;
title('Campo de presión en un plano vertical (P vs r, z)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colormap(jet);

% Representar el campo de presión en planos paralelos al suelo
z_levels = linspace(0, z0, 10); % Seleccionar 10 alturas distintas
for k = 1:length(z_levels)
    z_slice = z_levels(k);
    [~, z_idx] = min(abs(z - z_slice)); % Encontrar el índice más cercano a la altura deseada
    
    figure;
    plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000; % Radios en km
    plot_P = P(z_idx, :) / 100; % Presión en mbar
    plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
    title(['Presión en plano paralelo al suelo (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
    xlabel('Distancia radial r (km)');
    ylabel('Presión (mbar)');
    grid on;
end

% Crear una animación de la presión con la altura
figure;
for k = 1:length(z_levels)
    z_slice = z_levels(k);
    [~, z_idx] = min(abs(z - z_slice));
    
    plot_r = R_mesh(z_idx, :) / 1000;
    plot_P = P(z_idx, :) / 100;
    plot(plot_r, plot_P, 'LineWidth', 2);
    title(['Animación de presión (z = ', num2str(z_slice / 1000), ' km)']);
    xlabel('Distancia radial r (km)');
    ylabel('Presión (mbar)');
    grid on;
    pause(0.5);
end

6 Campo del gradiente de presión

7 Flujo de masa

8 Aplicaciones en huracanes

9 Vórtices

Tipo de Vórtice Descripción Ejemplo Vórtice Incompresible Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal. Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible. Vórtice Físico Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.

Remolino en un río. Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río. Vórtice Ideal Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación). Vórtice en un fluido ideal. Vórtice de Carga Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen. Flujo de vórtice idealizado. Vórtice de Fuga (Tornado) Estructuras de vórtices con una fuerte rotación. Tornados, ciclones. Vórtice de Rankine Vórtice con una zona central de rotación constante. Vórtices en canales. Vórtice de Faraday Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto. Flujo de aire alrededor de un cilindro. Vórtice en Fluidos Superfluidos Vórtices en fluidos sin disipación de energía. Helio superfluido. Vórtices en Átomos Fríos Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas. Gases ultrafríos.