Diferencia entre revisiones de «El vórtice de Rankine (grupo 34)»

Revisión del 17:12 28 nov 2024

1 Introducción

El modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

2 Campo de velocidades

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del vórtice y la región exterior. Para un vórtice con ojo de radio [math]\text{R}[/math] y circulación máxima [math]\Gamma[/math], el campo de velocidad se define en coordenadas cilíndricas [math](r, θ, z)[/math] como [math]\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}=v_{\rho}\overrightarrow{e}_{\rho}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}[/math], donde:

[math]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,[/math]

%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%  
Vo = 360; %km/h%  
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
    for j=1:n
        if r(i,j)<=R
    u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
    v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
        else 
    uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
    vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
        end
    end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off

Campo de Velocidades del Tornado Bridge

3 Divergencia y rotacional del campo de velocidades

La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que [math]\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0[/math].

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen [math] r\le R[/math] y nula para todos los puntos que cumplen [math]r\gt R[/math].

[math]\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\ \frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ u_{r} & ru_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix} = \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\ 0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r \gt R \end{aligned} \right. \end{equation} [/math]

Esto se debe a que los puntos fuera del ojo rotan al rededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto al rededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación.

4 Ojo del vórtice

5 Campo de presiones con planos paralelos a la superficie

6 Representación campo del gradiente de presión

7 Flujos de masa en el vórtice de Rankine

8 Aplicaciones de este modelo en huracanes

9 Vórtices