Diferencia entre revisiones de «La Clotoide (Grupo 25)»
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| − | L | + | L{{gamma}')=\int_{0}^{t}|{gamma}'{t}|dt |
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Revisión del 14:13 28 nov 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La Clotoide (Grupo 25) |
| Asignatura | Teoría de campos |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Silvia Tortuero Montero, Claro Franco Reigada, Javier Nievas Molina, Rafael Eguiagaray González, Juan Rubiato Pérez. |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción.
De forma matemática, los clotoides son curvas que, en el origen, son tangentes al eje de abscisas y tienen un radio de curvatura cuya disminución es inversamente proporcional a la distancia recorrida a lo largo de la curva.
Con el objetivo de analizar sus propiedades, nos vamos a enfocar en el estudio de los vectores velocidad y aceleración, así como los tres vectores del Triedro de Frenet, para posteriormente, aplicarlo en la ingeniería civil.
En los dos últimos apartados, calcularemos una helicoide cónico, así como la masa de la superficie reglada.
2 Dibujo de la curva.
Dada una función
[math] \gamma (t)=(x(t),y(t))=\left ( \int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds \right ), t\in (-5,5) [/math]
La representación gráfica de la curva se ha obtenido mediante el siguiente código:
% Definimos los parámetros
L = 5;
n = 500;
t = linspace(-L, L, n);
% Definimos los vectores para las coordenadas x y y
x = zeros(1, n);
y = zeros(1, n);
% Aproximamos la integral usando el método del rectángulo
for i = 2:n
% Para x(t), sumamos la función cos(s^2 / 2) de t = 0 hasta t = t(i)
x(i) = x(i-1) + cos((t(i-1)^2) / 2) * (t(i) - t(i-1));
% Para y(t), repetimos el método usando sin(s^2 / 2)
y(i) = y(i-1) + sin((t(i-1)^2) / 2) * (t(i) - t(i-1));
end
% Representamos gráficamente la curva
figure;
plot(x, y);
axis equal;
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('Curva de la clotoide');
grid on;
3 Velocidad y aceleración.
Para calcular ambos vectores, se han aplicado las siguientes fórmulas de velocidad [math] \dot{\gamma } [/math] y aceleración [math] \ddot{\gamma } [/math]
[math]
\vec{{\gamma }'}=cos(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +sin(\frac{t^2}{2})\vec{j}
[/math]
[math]
\vec{{\gamma }''}= -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec{i} +t\cdot cos(\frac{t^2}{2})\vec{j}
[/math]
Para representarlo, partiremos del código y gráfica del apartado anterior, añadiendo el siguiente código, y obteniendo:
% Dibujamos los vectores de velocidad (negro) y aceleración (azul)
for i = 1:5:n
% Vectores de velocidad
quiver(x(i), y(i), dx(i), dy(i), 0.3, 'k', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',1);
% Vectores de aceleración
quiver(x(i), y(i), ddx(i), ddy(i), 0.05, 'b', 'LineWidth', 0.5, 'MaxHeadSize',0.5);
end
% Etiquetas y configuración de la gráfica
title('Curva, Vectores de Velocidad y Aceleración');
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración','Location','Best');
hold off;4 Longitud de la curva.
La longitud de la curva viene dada por la siguiente expresión:
Como se ha plasmado en el apartado anterior:
Cuyo módulo es:
Por tanto la longitud es:
