Diferencia entre revisiones de «Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 21)»
(→Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)) |
(→Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)) |
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| Línea 32: | Línea 32: | ||
* '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\): | * '''Línea coordenada''' \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\): | ||
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| − | \ | + | \gamma_v(w): \begin{cases} |
x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\ | x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\ | ||
x_2 = uw \\ | x_2 = uw \\ | ||
Revisión del 19:27 27 nov 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 21) |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Alberto Fidalgo Alberto Barca Andrea Carrera Carmen Contreras Enrique Echevarría |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Trabajo F: Coordenadas Cilíndricas Parabólicas
Introducción
En este trabajo vamos a estudiar las coordenadas cilíndricas parabólicas que son un sistema de coordenadas que resulta útil para estudiar campos físicos en situaciones donde las formas parabólicas estas presentes.
Este sistema permite describir de manera sencilla ciertos problemas relacionados con distintos campos (como por ejemplo los potenciales). Exploramos cómo funcionan estas coordenadas y su utilidad, tanto en contextos físicos, como en su aplicación a nuestra rama de la ingeniería.
La relación que vamos a utilizar es la siguiente:
- [math]x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)[/math]
- [math]x_2 = \left(\ uv \right)[/math]
- [math]x_3 = \left(\ z \right)[/math]
Contenido
- 1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas
- 2 CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)
- 3 Matrices de cambio de base
- 4 Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico
- 5 Gradiente de un campo escalar
- 6 Divergencia de un campo vectorial
- 7 Rotacional de un campo vectorial
- 8 Superficies de nivel
- 9 Curvatura de una parábola
- 10 Uso de la parábola en ingeniería
1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas
1.1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\)
Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas parabólicas \((u, v, z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\), las líneas coordenadas son:
- Línea coordenada \(\gamma_u\): Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):
[math] \gamma_u(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = wv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]
- Línea coordenada \(\gamma_v\): Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):
[math] \gamma_v(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - w^2}{2}\right) \\ x_2 = uw \\ x_3 = z \end{cases} [/math]
- Línea coordenada \(\gamma_z\): Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):
[math] \gamma_z(w): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = w \end{cases} [/math]
1.2 Código MATLAB y gráfica
clear,clc
%Parametrizaciones de las lineas coordenadas
u = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de u
v = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de v
%Dibujo de las lineas coordenadas
figure;
hold on;
% Curvas γ_u (variando u, con v fijo)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'g', 'LineWidth', 1.5);
% Curvas γ_v (variando v, con u fijo)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'y', 'LineWidth', 1.5);
% Estilo del gráfico
title('Líneas coordenadas en el plano z = 0');
xlabel('EJE x_1');
ylabel('EJE x_2');
legend({'Líneas γ_u (u varía)', 'Líneas γ_v (v varía)'});
grid on;
axis equal;
hold off;
2 CÁLCULOS TEÓRICOS \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)
2.1 Campos de Velocidad Lineas Coordenadas
⇒γ_u
[math]\gamma'_u = \left( u, v, 0 \right)[/math]
⇒γ_v
[math]\gamma'_v = \left( -v, u, 0 \right)[/math]
⇒γ_z
[math]\gamma'_z = \left( 0, 0, 1 \right)[/math]
2.2 Factores de Escala
Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad:
[math] h_u = |\gamma_u'(u)| = \sqrt{u^2 + v^2} , h_v = |\gamma_v'(v)| = \sqrt{u^2 + v^2} , h_z = |\gamma_z'(z)| = 1 [/math]
2.3 Vectores Tangentes
⇒[math]\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)[/math]
⇒[math]\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)[/math]
⇒[math]\mathbf{e}_z = \left( 0, 0, 1 \right)[/math]
2.4 Comprobación de Ortonormalidad
2.5 Representación Gráfica
clear;clc
%Puntos de interes
u=1;
v=1;
%Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas en z=0
x1_u =(u.^2-v.^2)/2;
x2_u =u.*v;
%Vectores unitarios en ese punto
h=sqrt(u^2+v^2);
eu=[u/h,v/h,0]; % Vector e_u
ev=[-v/h,u/h,0]; % Vector e_v
%GráficoCoordenadas
figure;
hold on;
quiver(x1_u,x2_u,eu(1),eu(2),'g','LineWidth',1.5);
quiver(x1_u,x2_u,ev(1),ev(2),'c','LineWidth',1.5);
plot(x1_u,x2_u,'k--','LineWidth',1); % Línea coordenada
title('Vectores Unitarios en z=0');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'e_u','e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;
3 Matrices de cambio de base
4 Expresar el campo posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico
Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que extiende las coordenadas polares del plano a tres dimensiones usando una parábola. Estas coordenadas se denotan como \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) es la siguiente:
[math]
x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z.
[/math]
-Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados a las coordenadas \( u, v, z \) son:
[math]
h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1.
[/math]
Derivadas parciales
Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:
[math] \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 [/math]
[math] \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 [/math]
[math] \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1. [/math]
Matriz de cambio de base
La matriz de cambio de base se utiliza para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico. Dicha matriz \( Q^{-1} \) se expresa como:
[math]
Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}.
[/math]
Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \)
Utilizando el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), dado por:
[math]
\vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix},
[/math]
produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \). La multiplicación de la matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:
[math] r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]
Conclusión
En el sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas \( (u, v, z) \) las coordenadas se calculan aplicando la matriz inversa \( Q^{-1} \) al vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación resulta útil cuando las coordenadas cartesianas no facilitan la resolución de un problema, permitiendo simplificar los cálculos en contextos donde las geometrías parabólicas son mas relevantes.
