Diferencia entre revisiones de «La clotoide (Grupo 40)»
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| − | <math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{ | + | <math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{-5}^{5}1dt= 4-0= 4 </math> |
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Revisión del 18:40 27 nov 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La clotoide. Grupo 40 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Rodrigo Avellaneda Ciruelos Carlos de la Casa Gámez Alejandro Casasola Mora Pedro Sánchez Perez-Nievas |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
En este trabajo vamos a exponer la curva conocida como clotoide y sus numerosas propiedades en el ámbito civil. Un clotoide es una curva cuya característica principal es que la tasa de cambio de la curvatura es constante a lo largo de su longitud, es decir, aumenta o disminuye de manera progresiva y suave, sin cambios bruscos.
Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
Contenido
1 La Clotoide
1.1 Dibujo de la curva
Comenzaremos el trabajo dibujando la curva dada. Para ello utilizaremos Octave. (L=5)
% Parámetros
t = linspace(-5, 5, 2000);
%La función
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Gráfica de la clotoide
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;
1.2 Cálculo de vectores velocidad y aceleración
Calcularemos los vectores velocidad y aceleración a partir de la siguiente parametrización:
Para ello usaremos las siguientes fórmulas:
- Para el vector velocidad:
[math] {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]
- Para el vector aceleración:
[math] {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]
% Definimos los Parámetros
t = linspace(-5, 5, 50);
% Definimos la función
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Vectores velocidad y aceleración
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
% Gráfica
figure
hold on
plot (x ,y ,'r') ;
% Vector velocidad representado con el color rojo
quiver(x,y,V1,V2,"color","r") ;
% Vector aceleración representado con el color verde
quiver(x,y,A1,A2,"color","g") ;
axis equal
hold off
% Etiqueta de ejes
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("Eje x");
ylabel("Eje y");
1.3 Cálculo longitud de la curva
Utilizando la siguiente fórmula calcularemos la longitud de la curva:
[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{-5}^{5}1dt= 4-0= 4 [/math]
