Diferencia entre revisiones de «El vórtice de Rankine (Grupo 4)»

Revisión del 14:20 27 nov 2024

1 Introducción

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes. En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

2 Campo de velocidades

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas:
1.)Claridad y simplicidad: Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice.
2.)Consistencia con la geometría: Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos.
3.)Facilidad de análisis: En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del vórtice y la región exterior. Para un vórtice con ojo de radio [math]\text{R}[/math] y circulación máxima [math]\Gamma[/math], el campo de velocidad se define en coordenadas cilíndricas [math] \left ( \rho ,\theta ,z \right )[/math] como [math]\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}[/math], donde:

[math]v_{\rho}=0 [/math] [math]v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r\gt R \\\end{Bmatrix} \\ [/math] [math]v_{z}=0 [/math]
[math]0\leq z\leq z_{0}[/math]

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por:
[math]p(r,z)= \begin{Bmatrix} P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\ P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r\gt R \\ \end{Bmatrix}[/math]

% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');

Mallado

3 Divergencia y rotacional del campo de velocidades

3.1 Divergencia del campo de velocidades

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades [math] \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}[/math]

donde:
[math]v_{r}=0[/math] [math][/math] [math]v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r\gt R \\ \end{Bmatrix} \\[/math] [math][/math] [math]v_{z}=0[/math]

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

[math]\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix} \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\ \end{Bmatrix}[/math]

3.2 Rotacional de un campo vectorial

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

• [math]\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\ \frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z} \end{vmatrix}[/math]

4 Visualización práctica del comportamiento de una barca dentro de un vórtice de Rankine

Estudiamos el comportamiento de una pequeña barca en los siguientes casos:
1.En el ojo del vértice
2.En la región exterior del vórtice
¿La barca rotará sobre si misma o se mantendrá paralela a una dirección fija?
El vórtice de Rankine es un modelo matemático que describe el comportamiento de un vórtice en un fluido viscoso. En este modelo, el vórtice tiene dos regiones: un núcleo central donde el flujo es rotacional (vórtice forzado) y una región exterior donde el flujo es irrotacional (vórtice libre). Si una barca se encuentra en el ojo del vórtice (el núcleo central), es probable que gire sobre sí misma debido a las fuerzas rotacionales presentes en esa región. Sin embargo, si la barca está en la región exterior del vórtice, podría mantenerse más estable y seguir una dirección fija, ya que en esta área el flujo es más ordenado y menos turbulento

5 Campo de presión

6 Campo del gradiente de presión