Diferencia entre revisiones de «Ecuación de Ondas (CGomJRod)»
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Una vez hemos visto muy por encima algunos resultados y conceptos teóricos previos, podemos pasar a resolver algunos ejercicios a modo de ejemplo. Supongamos una cuerda vibrante como la anterior con los extremos fijos y donde <math>L=1</math>. Además, como condición inicial vamos a imponer <math>u_0(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math> y <math>u_1(x)=0</math>. Es decir, queremos resolver el siguiente problema: | Una vez hemos visto muy por encima algunos resultados y conceptos teóricos previos, podemos pasar a resolver algunos ejercicios a modo de ejemplo. Supongamos una cuerda vibrante como la anterior con los extremos fijos y donde <math>L=1</math>. Además, como condición inicial vamos a imponer <math>u_0(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}</math> y <math>u_1(x)=0</math>. Es decir, queremos resolver el siguiente problema: | ||
| + | <center><math>\left \{ \begin{array}{ll} | ||
| + | u_{tt} – u_{xx} =0 | ||
| + | \\ | ||
| − | + | u(0,t)=u(1,t)=0 | |
| + | \\ | ||
| + | u(x,0)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2} | ||
| + | \\ | ||
| − | A continuación | + | u_t(x,0)=0 |
| + | |||
| + | \end{array} \right. | ||
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| + | </math></center> | ||
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| + | Aplicando el teorema de existencia de la sección anterior, obtenemos la siguiente solución: | ||
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| + | <math>\textbf{METER FORMULONCIO JAVI}</math> | ||
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| + | A continuación se muestra la gráfica de la solución para <math>t \in [0,2]</math> tomando los 50 primeros términos de la serie. | ||
Revisión del 20:05 26 may 2024
1 Introducción
En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión en el compacto [math][0,1][/math]. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann [math]\textbf{INTERPRETACIÓN?}[/math]. En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando dejamos de resolverla en un conjunto acotado y tratamos de hallarla para todo [math]\mathbb{R}^n[/math]. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.
2 Conocimientos Previos
Como se ha comentado en la sección anterior, en este documento estudiaremos la ecuación de ondas, por lo que será necesario conocer ciertos resultados en relación con esta famosa ecuación. En primer lugar, aunque su nombre ya es muy representativo, veamos que modeliza para tener algo de intuición sobre esta. Imaginemos una cuerda vibrante que ocupa el intervalo [math][0, L][/math]. Consideremos que tiene una densidad [math]d[/math] y tensión [math]\tau[/math] constantes tales que la velocidad de propagación [math]c = \tau/d[/math]. Se puede demostrar que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:
Esta se trata de una ecuación en derivadas parciales de segundo orden por lo que necesitaremos alguna información extra para poder resolver el problema que tenemos entre manos. Supongamos que tiene los extremos fijos, por lo que hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet [math]u(0,t)=u(L,t)=0[/math]. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos [math]u_0(x)[/math] y [math]u_1(x)[/math] su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:
Este problema se puede resolver por separación de variables, y apoyándonos en el principio de superposición y en la teoría de series de Fourier [math]\textbf{LINK TRABAJO SERIES DE FOURIER}[/math] se puede demostrar el siguiente resultado:
[math]\textbf{Teorema (Existencia de soluciones):}[/math] Sea un problema como el anterior, entonces existe una solución de la forma:
donde [math]u_{0,k}[/math] y [math]u_{1,k}[/math] son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:
[math]\textbf{Principio de Huygens:}[/math] El principio de Huygens fue formulado originalmente por el físico y matemático holandés Christiaan Huygens en 1678. Nos dice que todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que se extienden en todas las direcciones con la misma velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de onda del que proceden.
3 Ejemplos de resolución
Una vez hemos visto muy por encima algunos resultados y conceptos teóricos previos, podemos pasar a resolver algunos ejercicios a modo de ejemplo. Supongamos una cuerda vibrante como la anterior con los extremos fijos y donde [math]L=1[/math]. Además, como condición inicial vamos a imponer [math]u_0(x)=e^{-100(x-\frac{1}{2})^2}[/math] y [math]u_1(x)=0[/math]. Es decir, queremos resolver el siguiente problema:
Aplicando el teorema de existencia de la sección anterior, obtenemos la siguiente solución:
[math]\textbf{METER FORMULONCIO JAVI}[/math]
A continuación se muestra la gráfica de la solución para [math]t \in [0,2][/math] tomando los 50 primeros términos de la serie.
