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| Línea 9: |
Línea 9: |
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| | =Ejercicio 6= | | =Ejercicio 6= |
| − | Imaginemos una cuerda que ocupa el intervalo <math>[0, 1]</math> vibrante y está fija en los extremos. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d = 1</math>. Es conocido que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:
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| − |
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| − | <center><math>u_{tt} – u_{xx} =0 </math></center>
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| − |
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| − | Supongamos que tiene los extremos fijos, entonces hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(1,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:
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| − | <center><math>\left \{ \begin{array}{ll}
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| − |
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| − | u_{tt} – u_{xx} =0
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| − |
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| − | \\
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| − |
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| − | u(0,t)=u(1,t)=0
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| − | \\
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| − |
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| − | u(x,0)=u_0(x)
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| − | \\
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| − |
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| − | u_t(x,0)=u_1(x)
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| − |
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| − | \end{array} \right.
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| − | </math></center>
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| − | Si resolvemos por separación de variables y escribimos la solución en términos de los coeficientes de Fourier obtenemos la siguiente expresión:
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| − | <center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) sin (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) cos(k \pi t) </math></center>
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| − | donde <math>c_k</math> y <math>d_k</math> son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:
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| − | <center><math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math></center>
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| − | <center><math> d_k=\frac{1}{k\pi} \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math></center>
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Revisión del 18:10 26 may 2024
1 Introducción
En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión en el compacto [math][0,1][/math]. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann [math]\textbf{INTERPRETACIÓN?}[/math]. En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando dejamos de resolverla en un conjunto acotado y tratamos de hallarla para todo [math]\mathbb{R}^n[/math]. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.
2 Conocimientos Previos
Ppio de Huygens
¿Solución ecuacion de ondas serie Fourier?
¿link trabajo Fourier?
3 Ejercicio 6
