Diferencia entre revisiones de «Ecuación de Ondas (CGomJRod)»

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En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión en el compacto <math>[0,1]</math>. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann <math>\textbf{INTERPRETACIÓN?}</math>. En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando dejamos de resolverla en un conjunto acotado y tratamos de hallarla para todo <math>\mathbb{R}^n</math>. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.
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Ppio de Huygens
 
Ppio de Huygens

Revisión del 18:08 26 may 2024

1 Introducción

En el siguiente documento se tiene como objetivo estudiar las soluciones de la ecuación de ondas. En primer lugar, la estudiaremos en dimensión en el compacto [math][0,1][/math]. Además, comprobaremos las diferencias entre las soluciones al imponer diferentes condiciones frontera, concretamente Dirichlet y Neumann [math]\textbf{INTERPRETACIÓN?}[/math]. En segundo lugar, pasaremos al estudio de las soluciones fundamentales de esta ecuación en dimensiones 1, 2 y 3. Estas son soluciones de la ecuación de ondas cuando dejamos de resolverla en un conjunto acotado y tratamos de hallarla para todo [math]\mathbb{R}^n[/math]. Su importancia radica en que podemos calcular soluciones de otros problemas a partir de esta. En este trabajo nos centraremos únicamente en sacar las gráficas de estas funciones más que en su desarrollo teórico.

2 Conocimientos Previos

Ppio de Huygens ¿Solución ecuacion de ondas serie Fourier? ¿link trabajo Fourier?

3 Ejercicio 6

Imaginemos una cuerda que ocupa el intervalo [math][0, 1][/math] vibrante y está fija en los extremos. Consideremos que tiene una densidad [math]d[/math] y tensión [math]\tau[/math] constantes tales que la velocidad de propagación [math]c = \tau/d = 1[/math]. Es conocido que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:


[math]u_{tt} – u_{xx} =0 [/math]

Supongamos que tiene los extremos fijos, entonces hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet [math]u(0,t)=u(1,t)=0[/math]. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos [math]u_0(x)[/math] y [math]u_1(x)[/math] su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} u_{tt} – u_{xx} =0 \\ u(0,t)=u(1,t)=0 \\ u(x,0)=u_0(x) \\ u_t(x,0)=u_1(x) \end{array} \right. [/math]

Si resolvemos por separación de variables y escribimos la solución en términos de los coeficientes de Fourier obtenemos la siguiente expresión:

[math] u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) sin (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) cos(k \pi t) [/math]

donde [math]c_k[/math] y [math]d_k[/math] son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:

[math] c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}[/math]


[math] d_k=\frac{1}{k\pi} \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}[/math]
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