Diferencia entre revisiones de «Ecuación de Ondas (CGomJRod)»

De MateWiki
Saltar a: navegación, buscar
(→‎Conocimientos Previos)
(→‎Ejercicio 6)
Línea 11: Línea 11:
 
<center><math>u_{tt} – u_{xx} =0 </math></center>
 
<center><math>u_{tt} – u_{xx} =0 </math></center>
  
−
Como estamos suponiendo los extremos fijos, hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(1,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:
+
Supongamos que tiene los extremos fijos, entonces hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet <math>u(0,t)=u(1,t)=0</math>. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos <math>u_0(x)</math> y <math>u_1(x)</math> su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:
  
 
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}   
 
<center><math>\left \{ \begin{array}{ll}   

Revisión del 17:53 26 may 2024

1 Introducción

2 Conocimientos Previos

Ppio de Huygens ¿Solución ecuacion de ondas serie Fourier? ¿link trabajo Fourier?

3 Ejercicio 6

Imaginemos una cuerda que ocupa el intervalo [math][0, 1][/math] vibrante y está fija en los extremos. Consideremos que tiene una densidad [math]d[/math] y tensión [math]\tau[/math] constantes tales que la velocidad de propagación [math]c = \tau/d = 1[/math]. Es conocido que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:


[math]u_{tt} – u_{xx} =0 [/math]

Supongamos que tiene los extremos fijos, entonces hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet [math]u(0,t)=u(1,t)=0[/math]. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos [math]u_0(x)[/math] y [math]u_1(x)[/math] su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} u_{tt} – u_{xx} =0 \\ u(0,t)=u(1,t)=0 \\ u(x,0)=u_0(x) \\ u_t(x,0)=u_1(x) \end{array} \right. [/math]

Si resolvemos por separación de variables y escribimos la solución en términos de los coeficientes de Fourier obtenemos la siguiente expresión:

[math] u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) sin (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) cos(k \pi t) [/math]

donde [math]c_k[/math] y [math]d_k[/math] son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:

[math] c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}[/math]


[math] d_k=\frac{1}{k\pi} \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}[/math]
Obtenido de «https://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuación_de_Ondas_(CGomJRod)&oldid=72717»