Revisión del 17:32 26 may 2024

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación de Laplace y de Poisson. Grupo ABMR
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Arturo Barrena y Mario Ríos
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Contenido

1 Planteamiento del problema
2 Modelización de los desplazamientos transversales de la cuerda
3 Particularización del sistema de ecuación de ondas a unos datos iniciales dados
4 Condiciones iniciales de una onda que viaja en un único sentido
- 4.1 Código
5 Condiciones de frontera de Neumann
- 5.1 Código
6 Representación solución fundamental de dimensión 3 y regularización para la solución fundamental de dimensión 2
- 6.1 Código
7 Solución fundamental de dimensión 2 mediante el producto de convolución
- 7.1 Código

1 Planteamiento del problema

El problema que se está describiendo corresponde a la ecuación de ondas, la cual modela la vibración de una cuerda fija en los extremos. Vamos a plantear el sistema de ecuaciones correspondiente, describiendo cada término.

1.1 Ecuación de ondas

La ecuación de ondas en una dimensión, con una cuerda de densidad \(d\) y tensión \(\tau_0\), donde la velocidad de propagación es \(c = \sqrt{\tau_0/d}\), se escribe como:

[math] \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} [/math]

Dado que en este caso \(c = 1\), la ecuación se simplifica a:

[math] \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} [/math]

1.2 Condiciones de frontera

Dado que la cuerda está fija en los extremos, tenemos:

[math] u(0, t) = 0 [/math]

[math] u(1, t) = 0 [/math]

Estas condiciones indican que la posición de la cuerda en los puntos \(x = 0\) y \(x = 1\) siempre es cero, es decir, la cuerda no se mueve en los extremos.

1.3 Condiciones iniciales

Las condiciones iniciales especifican la posición y la velocidad inicial de la cuerda:

Posición inicial:

[math] u(x, 0) = u_0(x) [/math]

Esto describe la forma inicial de la cuerda en \(t = 0\).

Velocidad inicial:

[math] \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = u_1(x) [/math]

Esto describe la velocidad inicial de cada punto de la cuerda en \(t = 0\).

1.4 Descripción de cada término

\(u(x,t)\): Desplazamiento de la cuerda en la posición \(x\) y tiempo \(t\).
\(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\): Aceleración de la cuerda en la posición \(x\) y tiempo \(t\).
\(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\): Curvatura de la cuerda en la posición \(x\) y tiempo \(t\).
\(u_0(x)\): Desplazamiento inicial de la cuerda en la posición \(x\).
\(u_1(x)\): Velocidad inicial de la cuerda en la posición \(x\).

De esta forma se puede escribir el siguiente sistema que recoge toda la información mencionada anteriormente:

[math] \left\{ \begin{aligned} &u_{tt}(x,t) = u_{xx}(x,t) & 0 \lt x \lt 1, t \gt 0, \\ &u(0, t) = u(1, t)=0, & t \gt 0, \\ &u(x, 0) =u_0(x) \\ &u_t(x, 0) = u_1(x), \end{aligned} \right. [/math]

2 Modelización de los desplazamientos transversales de la cuerda

Para resolver la ecuación de ondas utilizando el método de separación de variables y expresar la solución en términos de los coeficientes de Fourier de los datos iniciales, se siguen los siguientes pasos:

1. Plantear la solución mediante separación de variables:

Asumimos una solución de la forma \( u(x,t) = X(x)T(t) \). Sustituyendo en la ecuación de ondas \( \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \) y dividiendo por \( X(x)T(t) \), obtenemos:

[math] \frac{T''(t)}{T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda [/math]

Esto nos lleva a dos ecuaciones ordinarias:

[math] X''(x) + \lambda X(x) = 0 [/math]

[math] T''(t) + \lambda T(t) = 0 [/math]

2. Resolver las ecuaciones ordinarias:

La solución de \( X(x) \) depende del valor de \( \lambda \). Considerando las condiciones de frontera \( X(0) = 0 \) y \( X(1) = 0 \), obtenemos que:

[math] X_n(x) = \sin(n\pi x) [/math]

con \( \lambda_n = (n\pi)^2 \) y \( n = 1, 2, 3, \ldots \).

Para \( T(t) \), la solución es:

[math] T_n(t) = A_n \cos(n\pi t) + B_n \sin(n\pi t) [/math]

3. Construir la solución general:

La solución general es la suma de todas las soluciones particulares:

[math] u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ A_n \cos(n\pi t) + B_n \sin(n\pi t) \right] \sin(n\pi x) [/math]

4. Determinar los coeficientes \( A_n \) y \( B_n \) usando las condiciones iniciales:

Dado \( u(x,0) = u_0(x) \) y \( \frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = u_1(x) \), tenemos:

[math] u_0(x) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(n\pi x) [/math]

[math] u_1(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n\pi B_n \sin(n\pi x) [/math]

Los coeficientes de Fourier \( A_n \) y \( B_n \) se determinan como:

[math] A_n = 2 \int_0^1 u_0(x) \sin(n\pi x) \, dx [/math]

[math] B_n = \frac{2}{n\pi} \int_0^1 u_1(x) \sin(n\pi x) \, dx [/math]

5. Expresar la solución final:

Sustituimos los coeficientes en la solución general:

[math] u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \left( 2 \int_0^1 u_0(x) \sin(n\pi x) \, dx \right) \cos(n\pi t) + \left( \frac{2}{n\pi} \int_0^1 u_1(x) \sin(n\pi x) \, dx \right) \sin(n\pi t) \right] \sin(n\pi x) [/math]

3 Particularización del sistema de ecuación de ondas a unos datos iniciales dados

Simplemente se ha sustituido los valores iniciales en el sistema que se dio anteriormente:

[math] \left\{ \begin{aligned} &u_{tt}(x,t) = u_{xx}(x,t) & 0 \lt x \lt 1, t \gt 0, \\ &u(0, t) = u(1, t) = 0, & t \gt 0, \\ &u(x, 0) = e^{-100(x - 1/2)^2}, \\ &u_t(x, 0) = 0, \end{aligned} \right. [/math]

de forma que la serie de la cual se deben representar y mostrar sus 50 primeros términos se mostrará a continuación tras sustituir los correspondientes datos iniciales.

3.1 Determinar los coeficientes [math] A_{n} [/math] y [math] B_{n} [/math] usando las condiciones iniciales

Dado \( u_0(x) = e^{-100(x - 1/2)^2} \) y \( u_1(x) = 0 \):

[math] A_n = 2 \int_0^1 e^{-100(x - 1/2)^2} \sin(n\pi x) \, dx [/math]

[math] B_n = 0[/math]

3.2 Expresar la solución final

[math] u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( 2 \int_0^1 e^{-100(x - 1/2)^2} \sin(n\pi x) \, dx \right) \cos(n\pi t) \sin(n\pi x) [/math]

Para graficar la solución en el intervalo de tiempo \( t \in [0,2] \), tomaremos los primeros 50 términos de la serie.

En la figura superior se muestra la aproximación de la función u, dibujada para [math](x,t)\in[0,1]\times[0,1][/math]. En las dos figuras inferiores se muestra la diferencia entre la aproximación de la solución en [math]x=1/2[/math] y la solución estacionaria en [math]x=1/2[/math] a lo largo del tiempo para [math]t\in[0,1][/math]. En el caso de la figura inferior izquierda se hace esto para [math]\kappa=1[/math], mientras que en el caso de la figura inferior derecha se hace para [math]\kappa=1/2[/math]

3.3 Código

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% Limpiar el espacio de trabajo y cerrar todas las figuras previas
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% Datos
numterminos_serie = 50;                    % Número de términos para la serie de Fourier
numvalores_t = 400;                        % Número de valores de t
numvalores_x = 400;                        % Número de valores de x
numvalores_trapecio = 300;                 % Número de valores al discretizar para la fórmula del trapecio

% Generación de puntos de evaluación
t = linspace(0, 2, numvalores_t);               % Vector de valores de t
x = linspace(0, 1, numvalores_x);               % Vector de valores de x
s = linspace(0, 1, numvalores_trapecio);        % Vector de valores de s

% Cálculo de la solución con los primeros 50 términos de la serie de Fourier
U = zeros(length(x), length(t));
for n = 1:numterminos_serie
    integrando = @(s) 2*exp(-100*(s-1/2).^2).*sin(n*pi*s);
    U = U + trapz(s,integrando(s))*cos(n*pi*t)'*sin(n*pi*x);
end

%Gráfica
surf(x,t,U, 'EdgeColor', 'none'); % Gráfica de la solución en función de x y t
xlabel('x'); ylabel('t'); zlabel('u(x,t)'); % Etiquetas de ejes
legend('u(x,t)'); % Leyenda

4 Condiciones iniciales de una onda que viaja en un único sentido

Tomar como datos iniciales los correspondientes a una onda que viaja en un solo sentido implica que la forma de la onda en un punto dado \( x \) y tiempo \( t \) está determinada por la función \( f(x - t) \). En otras palabras, la onda se desplaza hacia la derecha a una velocidad constante \( c \), donde \( c \) es la velocidad de propagación de la onda. Esto se logra al modificar apropiadamente las condiciones iniciales \( u_0(x) \) y \( u_1(x) \) para que reflejen esta propiedad de la onda unidireccional. En este caso particular, \( u_0(x) \) representa la forma inicial de la onda y \( u_1(x) \) representa la derivada de \( u_0(x) \) con respecto a \( x \), ajustada negativamente, para reflejar la velocidad y dirección de propagación.

[math] \left\{ \begin{aligned} &u_{tt}(x,t) = u_{xx}(x,t) & 0 \lt x \lt 1, t \gt 0, \\ &u(0, t) = u(1, t) = 0, & t \gt 0, \\ &u(x, 0) = e^{-100(x - 1/2)^2}, \\ &u_t(x, 0) = 200(x - 1/2)e^{-100(x - 1/2)^2}, \end{aligned} \right. [/math]

notése que se toma \( u_0(x) = f(x) \) y \( u_1(x) = -f'(x) \), donde \( f(x) = e^{-100(x-1/2)^2} \).

Calcular los coeficientes de Fourier:

Los coeficientes de Fourier se calculan utilizando las siguientes fórmulas:

[math] A_n = 2 \int_0^1 e^{-100(x-1/2)^2} \sin(n\pi x) \, dx \\ B_n = \frac{2}{n\pi} \int_0^1 200(x - 1/2)e^{-100(x - 1/2)^2} \sin(n\pi x) \, dx [/math]

Expresar la solución final:

Una vez que tenemos los coeficientes de Fourier, la solución se expresa como una serie infinita:

[math] u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ A_n \cos(n\pi t) + B_n \sin(n\pi t) \right] \sin(n\pi x) [/math]

Esto representa una suma infinita sobre todos los términos de la serie de Fourier. A continuación se hará la representación gráfica de la serie:

En la figura superior se muestra la aproximación de la función u, dibujada para [math](x,t)\in[0,1]\times[0,1][/math]. En las dos figuras inferiores se muestra la diferencia entre la aproximación de la solución en [math]x=1/2[/math] y la solución estacionaria en [math]x=1/2[/math] a lo largo del tiempo para [math]t\in[0,1][/math]. En el caso de la figura inferior izquierda se hace esto para [math]\kappa=1[/math], mientras que en el caso de la figura inferior derecha se hace para [math]\kappa=1/2[/math]

Ahora vemos como el perfil viaja a velocidad 1:

En la figura superior se muestra la aproximación de la función u, dibujada para [math](x,t)\in[0,1]\times[0,1][/math]. En las dos figuras inferiores se muestra la diferencia entre la aproximación de la solución en [math]x=1/2[/math] y la solución estacionaria en [math]x=1/2[/math] a lo largo del tiempo para [math]t\in[0,1][/math]. En el caso de la figura inferior izquierda se hace esto para [math]\kappa=1[/math], mientras que en el caso de la figura inferior derecha se hace para [math]\kappa=1/2[/math]

4.1 Código

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% Datos
numterminos_serie = 50;                    % Número de términos para la serie de Fourier
numvalores_t = 400;                        % Número de valores de t
numvalores_x = 400;                        % Número de valores de x
numvalores_trapecio = 300;                 % Número de valores al discretizar para la fórmula del trapecio

% Generación de puntos de evaluación
t = linspace(0, 4, numvalores_t);               % Vector de valores de t
x = linspace(0, 1, numvalores_x);               % Vector de valores de x
s = linspace(0, 1, numvalores_trapecio);        % Vector de valores de s

% Cálculo de la solución con los primeros 50 términos de la serie de Fourier
U = zeros(length(x), length(t));
for n = 1:numterminos_serie
    integrando1 = @(s) 2*exp(-100*(s-1/2).^2).*sin(n*pi*s);
    integrando2 = @(s) 2/(n*pi)*200*(s-1/2).*exp(-100*(s-1/2).^2).*sin(n*pi*s);
    U = U + (trapz(s,integrando1(s))*cos(n*pi*t)' + trapz(s,integrando2(s))*sin(n*pi*t)')*sin(n*pi*x);
end

%Gráfica
surf(x,t,U, 'EdgeColor', 'none'); % Gráfica de la solución en función de x y t
xlabel('x'); ylabel('t'); zlabel('u(x,t)'); % Etiquetas de ejes
legend('u(x,t)'); % Leyenda

5 Condiciones de frontera de Neumann

El nuevo sistema de ecuaciones para la ecuación de ondas con condiciones de frontera de Neumann es:

[math] \left\{ \begin{align*} &u_{tt}(x,t) = u_{xx}(x,t) & \text{para } 0 \lt x \lt 1, t \gt 0, \\ &u_x(0, t) = u_x(1, t) = 0, & \text{para } t \gt 0, \\ &u(x, 0) = e^{-100(x - 1/2)^2}, \\ &u_t(x, 0) = 200(x - 1/2)e^{-100(x - 1/2)^2}, \end{align*} \right. [/math]

Tal y como se hizo en los apartados anteriores se resuelve el sistema por el método de separación de variables (no se desarrollará de nuevo):

[math] u(x,t)= \sum _{n=1}^{\infty} [A_n cos (n \pi t) + B_n sin(n \pi t)] cos(n \pi x)[/math]

donde

[math] A_n = 2 \int_0^1 e^{-100(x-1/2)^2} \cos(n\pi x) \, dx \\ B_n = \frac{2}{n\pi} \int_0^1 200(x - 1/2)e^{-100(x - 1/2)^2} \cos(n\pi x) \, dx [/math]

Resolviendo ambos coeficientes se puede hallar la solución para las condiciones de Newmann y unicamente faltaría por representar la solución final de forma gráfica.

5.1 Código

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% Datos
numterminos_serie = 50;                    % Número de términos para la serie de Fourier
numvalores_t = 400;                        % Número de valores de t
numvalores_x = 400;                        % Número de valores de x
numvalores_trapecio = 300;                 % Número de valores al discretizar para la fórmula del trapecio

% Generación de puntos de evaluación
t = linspace(0, 4, numvalores_t);               % Vector de valores de t
x = linspace(0, 1, numvalores_x);               % Vector de valores de x
s = linspace(0, 1, numvalores_trapecio);        % Vector de valores de s

% Cálculo de la solución con los primeros 50 términos de la serie de Fourier
U = zeros(length(x), length(t));
for n = 1:numterminos_serie
    integrando1 = @(s) 2*exp(-100*(s-1/2).^2).*sin(n*pi*s);
    integrando2 = @(s) 2/(n*pi)*200*(s-1/2).*exp(-100*(s-1/2).^2).*sin(n*pi*s);
    U = U + (trapz(s,integrando1(s))*cos(n*pi*t)' + trapz(s,integrando2(s))*sin(n*pi*t)')*sin(n*pi*x);
end

%Gráfica
surf(x,t,U, 'EdgeColor', 'none'); % Gráfica de la solución en función de x y t
xlabel('x'); ylabel('t'); zlabel('u(x,t)'); % Etiquetas de ejes
legend('u(x,t)'); % Leyenda

6 Representación solución fundamental de dimensión 3 y regularización para la solución fundamental de dimensión 2

6.1 Código

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% Datos
c=1;                                       % Velocidad de propagación escogida
numvalores_t = 400;                        % Número de valores de t
numvalores_x = 400;                        % Número de valores de r

% Generación de puntos de evaluación
t = linspace(0, 1, numvalores_t);          % Vector de valores de t
x = linspace(-1, 1, numvalores_x);         % Vector de valores de x

% Crear la cuadrícula de puntos
[X, T] = meshgrid(x, t);

% Definir la función de Heaviside
H = @(s) s >= 0;

% Definir la función K1(x, t)
K1 = @(x, t) 1/(2*c) * ( H(x + c*t) - H(x - c*t) );

%Gráfica
surf(x,t,K1(X,T),'EdgeColor', 'none'); % Gráfica de la solución fundamental para n=1 en función de x y t
shading interp
xlabel('x'); ylabel('t'); zlabel('K_1(x,t)'); % Etiquetas de ejes
legend('K_1(x,t)'); % Leyenda
title('Solución fundamental para n=1') % Título

7 Solución fundamental de dimensión 2 mediante el producto de convolución

7.1 Código

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% Limpiar el espacio de trabajo y cerrar todas las figuras previas
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% Datos
numterminos_serie = 50;                    % Número de términos para la serie de Fourier
numvalores_t = 400;                        % Número de valores de t
numvalores_x = 400;                        % Número de valores de x
numvalores_trapecio = 300;                 % Número de valores al discretizar para la fórmula del trapecio

% Generación de puntos de evaluación
t = linspace(0, 4, numvalores_t);               % Vector de valores de t
x = linspace(0, 1, numvalores_x);               % Vector de valores de x
s = linspace(0, 1, numvalores_trapecio);        % Vector de valores de s

% Cálculo de la solución con los primeros 50 términos de la serie de Fourier
U = zeros(length(x), length(t));
for n = 1:numterminos_serie
    integrando1 = @(s) 2*exp(-100*(s-1/2).^2).*sin(n*pi*s);
    integrando2 = @(s) 2/(n*pi)*200*(s-1/2).*exp(-100*(s-1/2).^2).*sin(n*pi*s);
    U = U + (trapz(s,integrando1(s))*cos(n*pi*t)' + trapz(s,integrando2(s))*sin(n*pi*t)')*sin(n*pi*x);
end

%Gráfica
surf(x,t,U, 'EdgeColor', 'none'); % Gráfica de la solución en función de x y t
xlabel('x'); ylabel('t'); zlabel('u(x,t)'); % Etiquetas de ejes
legend('u(x,t)'); % Leyenda

Diferencia entre revisiones de «Ecuación de Ondas»