Diferencia entre revisiones de «Ecuación de Ondas (CGomJRod)»
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| − | Imaginemos una cuerda que ocupa el intervalo <math>[0, 1]</math> vibrante y está fija en los extremos. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d = 1</math>. Es conocido que la ecuación que modeliza este comportamiento es la | + | Imaginemos una cuerda que ocupa el intervalo <math>[0, 1]</math> vibrante y está fija en los extremos. Consideremos que tiene una densidad <math>d</math> y tensión <math>\tau</math> constantes tales que la velocidad de propagación <math>c = \tau/d = 1</math>. Es conocido que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas: |
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Si resolvemos por separación de variables y escribimos la solución en términos de los coeficientes de Fourier obtenemos la siguiente expresión: | Si resolvemos por separación de variables y escribimos la solución en términos de los coeficientes de Fourier obtenemos la siguiente expresión: | ||
| − | <center><math> | + | <center><math> u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) sin (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) cos(k \pi t) </math></center> |
| + | donde <math>c_k</math> y <math>d_k</math> son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue: | ||
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| + | <center><math> c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math></center> | ||
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| + | <center><math> d_k=\frac{1}{k\pi} \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}</math></center> | ||
Revisión del 11:34 26 may 2024
1 Introducción
2 Conocimientos Previos
3 Ejercicio 6
Imaginemos una cuerda que ocupa el intervalo [math][0, 1][/math] vibrante y está fija en los extremos. Consideremos que tiene una densidad [math]d[/math] y tensión [math]\tau[/math] constantes tales que la velocidad de propagación [math]c = \tau/d = 1[/math]. Es conocido que la ecuación que modeliza este comportamiento es la ecuación de ondas:
Como estamos suponiendo los extremos fijos, hay que añadirle las condiciones frontera de tipo Dirichlet [math]u(0,t)=u(1,t)=0[/math]. Finalmente, hay que tener en cuenta las condiciones iniciales del problema. Llamaremos [math]u_0(x)[/math] y [math]u_1(x)[/math] su posición e impulso iniciales respectivamente. Así, obtenemos el problema a resolver:
Si resolvemos por separación de variables y escribimos la solución en términos de los coeficientes de Fourier obtenemos la siguiente expresión:
donde [math]c_k[/math] y [math]d_k[/math] son los coeficientes de Fourier que se calculan como sigue:
