Diferencia entre revisiones de «En sucio»
(→Soluciones fundamentales en dimensiones 1, 2 y 3) |
(→Introducción) |
||
| (No se muestran 4 ediciones intermedias del mismo usuario) | |||
| Línea 2: | Línea 2: | ||
Este trabajo analiza la ecuación de ondas en una cuerda fija en los extremos del intervalo [0,1], con velocidad de propagación 𝑐=1. Incluiremos el sistema que describe el movimiento, así como su solución por separación de variables. Además, consideraremos ejemplos específicos de simulaciones para observar fenómenos como la periodicidad y ondas viajeras. Finalmente, compararemos resultados cambiando las condiciones de frontera a Neumann. | Este trabajo analiza la ecuación de ondas en una cuerda fija en los extremos del intervalo [0,1], con velocidad de propagación 𝑐=1. Incluiremos el sistema que describe el movimiento, así como su solución por separación de variables. Además, consideraremos ejemplos específicos de simulaciones para observar fenómenos como la periodicidad y ondas viajeras. Finalmente, compararemos resultados cambiando las condiciones de frontera a Neumann. | ||
| − | A parte de esto, estudiaremos la solución fundamental de la ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3, aplicando un impulso inicial en 𝑥=0 y dibujando estas soluciones en la variable radial para comprender el principio de Huygens. | + | A parte de esto, estudiaremos la solución fundamental de la ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3, aplicando un impulso inicial en 𝑥=0 y dibujando estas soluciones en la variable radial para comprender el principio de Huygens. |
== Contexto Histórico == | == Contexto Histórico == | ||
| Línea 19: | Línea 19: | ||
* En el caso de la dimensión 2, encontramos una singularidad en el denominador de la función de la solución fundamental. Esta ocurre cuando ∣x∣=ct, lo que resulta en una división por cero. Para evitar esta singularidad, se agrega un término de regularización ϵ en el denominador. Esto asegura que la función sea suave y bien comportada en todas partes, incluidos los puntos cercanos a ∣x∣=ct. | * En el caso de la dimensión 2, encontramos una singularidad en el denominador de la función de la solución fundamental. Esta ocurre cuando ∣x∣=ct, lo que resulta en una división por cero. Para evitar esta singularidad, se agrega un término de regularización ϵ en el denominador. Esto asegura que la función sea suave y bien comportada en todas partes, incluidos los puntos cercanos a ∣x∣=ct. | ||
| − | <center><math> | + | <center><math> K^{ε}_{2} (x,t) = \frac{1}{ε + 2\pi c \sqrt(c^2 t^2 - ∣x∣^2)} ⲭ_{B(0,ct)}(x) </math></center> |
* Para la representación del caso de dimensión 3 se ha sustituido la delta de Didac por su aproximación, | * Para la representación del caso de dimensión 3 se ha sustituido la delta de Didac por su aproximación, | ||
| + | <center><math> \delta (s) ≈ \phi_k (s) = \sqrt(\frac{k}{\pi})e^{(-ks^2)} </math></center> | ||
| + | |||
| + | Con estos cambios, representamos las 3 soluciones fundamentales observando que estas son radiales. | ||
| + | |||
| + | GRÁFICAS | ||
| + | |||
| + | Que las soluciones fundamentales sean "radiales" significa que son simétricas respecto al origen en coordenadas radiales. Dicha periodicidad es clara en las gráficas anteriores. Esto implica que el valor de la solución en un punto depende únicamente de la distancia radial desde el origen, y no de la dirección en la que se mida esa distancia. | ||
| + | |||
| + | El código empleado para esta representación ha sido el siguiente. | ||
| + | CÓDIGO | ||
Revisión actual del 18:17 25 may 2024
1 Introducción
Este trabajo analiza la ecuación de ondas en una cuerda fija en los extremos del intervalo [0,1], con velocidad de propagación 𝑐=1. Incluiremos el sistema que describe el movimiento, así como su solución por separación de variables. Además, consideraremos ejemplos específicos de simulaciones para observar fenómenos como la periodicidad y ondas viajeras. Finalmente, compararemos resultados cambiando las condiciones de frontera a Neumann.
A parte de esto, estudiaremos la solución fundamental de la ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3, aplicando un impulso inicial en 𝑥=0 y dibujando estas soluciones en la variable radial para comprender el principio de Huygens.
2 Contexto Histórico
La ecuación de ondas, fundamental en física y matemáticas, se formuló en el siglo XVIII por Jean le Rond d'Alembert y Leonhard Euler, quienes investigaron la vibración de cuerdas. En el siglo XIX, Joseph Fourier revolucionó su análisis al desarrollar la teoría de series de Fourier, facilitando la solución de ecuaciones diferenciales parciales mediante la separación de variables.
El principio de Huygens, propuesto por Christiaan Huygens en el siglo XVII, establece que cada punto de un frente de onda actúa como una fuente de ondas secundarias. Este principio es esencial para comprender la propagación de ondas y las soluciones de la ecuación en diversas dimensiones.
En el siglo XX y XXI, la teoría de la ecuación de ondas se ha ampliado a campos como la acústica, óptica y telecomunicaciones. Los métodos numéricos modernos permiten simular la propagación de ondas en medios complejos, mejorando nuestra comprensión y aplicación en problemas prácticos.
Hoy, la ecuación de ondas es clave para modelar fenómenos desde vibraciones de cuerdas hasta ondas sísmicas y electromagnéticas, siendo esencial en física teórica, ingeniería y tecnologías modernas. Este trabajo se centra en su estudio y soluciones, aplicando estos principios a situaciones prácticas y avanzadas.
3 Soluciones fundamentales en dimensiones 1, 2 y 3
En la siguiente parte del trabajo vamos a dibujar la solución fundamental de la ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Para ello, es primero necesario hacer unos cambios en los casos de dimensiones 2 y 3.
- En el caso de la dimensión 2, encontramos una singularidad en el denominador de la función de la solución fundamental. Esta ocurre cuando ∣x∣=ct, lo que resulta en una división por cero. Para evitar esta singularidad, se agrega un término de regularización ϵ en el denominador. Esto asegura que la función sea suave y bien comportada en todas partes, incluidos los puntos cercanos a ∣x∣=ct.
- Para la representación del caso de dimensión 3 se ha sustituido la delta de Didac por su aproximación,
Con estos cambios, representamos las 3 soluciones fundamentales observando que estas son radiales.
GRÁFICAS
Que las soluciones fundamentales sean "radiales" significa que son simétricas respecto al origen en coordenadas radiales. Dicha periodicidad es clara en las gráficas anteriores. Esto implica que el valor de la solución en un punto depende únicamente de la distancia radial desde el origen, y no de la dirección en la que se mida esa distancia.
El código empleado para esta representación ha sido el siguiente. CÓDIGO
