Diferencia entre revisiones de «Ecuación de ondas»
(→Resolución del sistema por separación de variables en términos de los coeficientes de Fourier de los datos iniciales) |
(→Resolución del sistema por separación de variables en términos de los coeficientes de Fourier de los datos iniciales) |
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Primero, planteamos la solución de la ecuación de onda mediante separación de variables. Asumimos que la solución \( u(x,t) \) se puede escribir como un producto de dos funciones independientes, una que depende solo de \( x \) y otra que depende solo de \( t \): | Primero, planteamos la solución de la ecuación de onda mediante separación de variables. Asumimos que la solución \( u(x,t) \) se puede escribir como un producto de dos funciones independientes, una que depende solo de \( x \) y otra que depende solo de \( t \): | ||
| − | <center><math>u(x, t) = X(x) T(t) </math | + | <center><math>u(x, t) = X(x) T(t) </math> |
Sustituimos esta forma en la ecuación de onda: | Sustituimos esta forma en la ecuación de onda: | ||
| − | + | <center><math>\frac{\partial^2 (X(x) T(t))}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 (X(x) T(t))}{\partial x^2} <\math> | |
Esto se simplifica a: | Esto se simplifica a: | ||
Revisión del 16:34 23 may 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación de Ondas. Grupo ALA |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | Lucía Amores, Aitana Guill y Andrea Navarro |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
2 Modelización de los desplazamientos transversales
Para modelar el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda vibrante, utilizamos la ecuación de ondas en una dimensión. Dado que la cuerda está fija en los extremos y tiene una densidad [math] d [/math] y tensión constante [math] \tau_0 [/math] de manera que la velocidad de propagación es [math] c = \tau_0/d = 1 [/math], la ecuación de ondas se simplifica.
La ecuación de ondas en una dimensión para los desplazamientos transversales [math] u(x,t) [/math] de la cuerda es:
Dado que [math] c = 1 [/math], la ecuación se reduce a:
Esta ecuación diferencial parcial (EDP) debe acompañarse de las condiciones de contorno y las condiciones iniciales para estar completamente especificada.
2.1 Condiciones de contorno
Dado que la cuerda está fija en los extremos, las condiciones de contorno son:
2.2 Condiciones iniciales
Las condiciones iniciales especifican la posición inicial de la cuerda [math] u_0(x) [/math] y su velocidad inicial o impulso [math] u_1(x) [/math]:
[math]u(x, 0) = u_0(x) [/math] [math] \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = u_1(x) [/math]
2.3 Sistema de EDP
Juntando la ecuación de ondas con las condiciones de contorno e iniciales, el sistema completo que modela el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda es:
[math] \begin{cases} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, & 0 \lt x \lt 1, \ t \gt 0 \\ u(0, t) = 0, & t \geq 0 \\ u(1, t) = 0, & t \geq 0 \\ u(x, 0) = u_0(x), & 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = u_1(x), & 0 \leq x \leq 1 \end{cases} [/math]
Este sistema describe completamente la evolución temporal de los desplazamientos transversales de una cuerda vibrante con los extremos fijos, dada su posición e impulso iniciales.
2.4 Resolución del sistema por separación de variables en términos de los coeficientes de Fourier de los datos iniciales
Primero, planteamos la solución de la ecuación de onda mediante separación de variables. Asumimos que la solución \( u(x,t) \) se puede escribir como un producto de dos funciones independientes, una que depende solo de \( x \) y otra que depende solo de \( t \):
Sustituimos esta forma en la ecuación de onda:
<center>[math]\frac{\partial^2 (X(x) T(t))}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 (X(x) T(t))}{\partial x^2} \lt\math\gt Esto se simplifica a: \[ X(x) \frac{d^2 T(t)}{dt^2} = T(t) \frac{d^2 X(x)}{dx^2} \] Dividimos ambos lados por \( X(x) T(t) \): \[ \frac{1}{T(t)} \frac{d^2 T(t)}{dt^2} = \frac{1}{X(x)} \frac{d^2 X(x)}{dx^2} \] Dado que el lado izquierdo depende solo de \( t \) y el lado derecho solo de \( x \), ambos deben ser iguales a una constante que llamaremos \(-\lambda\). Esto nos lleva a dos ecuaciones ordinarias: \[ \frac{d^2 T(t)}{dt^2} + \lambda T(t) = 0 \] \[ \frac{d^2 X(x)}{dx^2} + \lambda X(x) = 0 \] Para satisfacer las condiciones de contorno \( u(0, t) = 0 \) y \( u(1, t) = 0 \), tenemos: \[ X(0) = 0 \] \[ X(1) = 0 \] La ecuación para \( X(x) \) tiene la solución general: \[ X(x) = A \sin(\sqrt{\lambda} x) + B \cos(\sqrt{\lambda} x) \] Aplicando las condiciones de contorno, obtenemos que \( B = 0 \) y que \( \sqrt{\lambda} \) debe ser un múltiplo de \( \pi \): \[ \sqrt{\lambda} = n \pi \quad \text{para} \quad n = 1, 2, 3, \ldots \] Por lo tanto, \( \lambda = (n \pi)^2 \) y las funciones propias son: \[ X_n(x) = \sin(n \pi x) \] La ecuación para \( T(t) \) se convierte en: \[ \frac{d^2 T_n(t)}{dt^2} + (n \pi)^2 T_n(t) = 0 \] Con la solución general: \[ T_n(t) = C_n \cos(n \pi t) + D_n \sin(n \pi t) \] Combinando \( X(x) \) y \( T(t) \), la solución general para \( u(x,t) \) es: \[ u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( A_n \cos(n \pi t) + B_n \sin(n \pi t) \right) \sin(n \pi x) \] Donde \( A_n \) y \( B_n \) son coeficientes a determinar a partir de las condiciones iniciales. ### Determinación de los coeficientes \( A_n \) y \( B_n \) Las condiciones iniciales son: \[ u(x, 0) = u_0(x) \] \[ \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = u_1(x) \] Para \( t = 0 \): \[ u(x, 0) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(n \pi x) = u_0(x) \] Usamos la ortogonalidad de las funciones seno para determinar \( A_n \): \[ A_n = 2 \int_0^1 u_0(x) \sin(n \pi x) \, dx \] Para la derivada temporal: \[ \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n n \pi \cos(n \pi \cdot 0) \sin(n \pi x) = u_1(x) \] \[ B_n n \pi = 2 \int_0^1 u_1(x) \sin(n \pi x) \, dx \] Por lo tanto: \[ B_n = \frac{2}{n \pi} \int_0^1 u_1(x) \sin(n \pi x) \, dx \] ### Solución final Finalmente, la solución de la ecuación de onda en términos de los coeficientes de Fourier de los datos iniciales es: \[ u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \left(2 \int_0^1 u_0(x) \sin(n \pi x) \, dx \right) \cos(n \pi t) + \left(\frac{2}{n \pi} \int_0^1 u_1(x) \sin(n \pi x) \, dx \right) \sin(n \pi t) \right) \sin(n \pi x) \] Esta expresión proporciona la solución completa de la ecuación de onda en función de las condiciones iniciales \( u_0(x) \) y \( u_1(x) \).[/math]
