Diferencia entre revisiones de «Ecuación de Laplace (CGomJRod)»
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| + | \Delta u &= f, & x &\in \Omega \\ | ||
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| + | donde <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> es un abierto. Nótese que en caso de que <math>f=0</math> la ecuación es homogénea y nos referiremos a ella como ecuación de Laplace. Si es no homogénea, se la denomina ecuación de Poisson. Otras variaciones posibles del problema consisten en modificar las condiciones frontera. Aquellas que indican el valor de la solución que buscamos en la frontera son conocidas como condiciones de tipo Dirichlet. Otros tipos de condiciones son: | ||
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| + | *Condiciones Neumann: <math>\nabla u \cdot \vec{n}= \partial_{n}u=g \in \partial\Omega </math> | ||
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| + | De ahora en adelante nos referiremos al par ecuación-condición frontera como problema de Laplace o Poisson según corresponda. A continuación enunciaremos dos resultados fundamentales en el estudio de este tipo de problemas. | ||
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| + | <math>\textbf{Teorema: (Existencia de soluciones del problema de Laplace en la bola)}.</math> Sea el problema | ||
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| + | \Delta u &= 0, & x &\in B_R(0) \\ | ||
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| + | donde <math>B_R(x_0) \subset \mathbb{R}^n</math> es la bola de radio <math>R</math> centrada en <math>x_0 \in \mathbb{R}^n</math>, <math>g</math> una función continua y <math>n\geq2</math>. Entonces la solución <math>u \in \mathcal{C}^2(B_R(0))\cap \mathcal{C}(\overline{B_R(0)})</math> viene dada por la fórmula de Poisson: | ||
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| + | <center><math>u(x)=\frac {R^2-|x|^2}{\omega_n R}\int_{\partial B_R(0)}\frac{g(\sigma)}{|x-\sigma|^n }d\sigma</math></center> | ||
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| + | donde <math>\omega_n= 2\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}</math>. También se puede expresar en desarrollo en serie de Fourier: | ||
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| + | <center><math>\mathcal{U}(r,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty [a_k (\frac{r}{R})^k\cos(k\theta)+\beta_k (\frac{r}{R})^k \sin(k\theta)]</math></center> | ||
| + | <math>\textbf{Teorema: (Unicidad de soluciones del problema de Laplace)}.</math> Sea el problema de Laplace o Poisson con cualquier tipo de condición frontera de las mencionadas anteriormente excepto las de Neumann. Entonces existe una única solución <math>u \in C^2(B_R(0))\cap C(\overline{B_R(0)}) </math> del problema. En el caso de condiciones de tipo Neumann la solución es única salvo constante. | ||
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| + | <math>\textbf{Definición: (Función Armónica)}.</math> Diremos que una función <math>u \in C^2(\Omega)</math> es armónica si <math>\Delta u =0</math>. | ||
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| + | <math>\textbf{Teorema: (Desigualdad de Harnack)}.</math> Sea u una función armónica y <math>u\geq 0</math> en <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math>. Sea <math>\overline{B_R(z)} \subset \Omega</math>. Entonces se verifica la desigualdad de Harnack: | ||
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| + | <center><math>\frac{R^{n-2}(R-r)}{(R+r)^{n-1}} u(z) \leq u(x) \leq \frac{R^{n-2}(R+r)}{(R-r)^{n-1}} u(z) \quad \forall x \in B_R(z)</math></center> | ||
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| + | Como veremos en <math>\textbf{Meter link}</math> este resultado se puede interpretar como que todas las funciones armónicas que pasan por un punto están "encerradas" en una región muy concreta del espacio determinada por dos funciones armónicas "límite". | ||
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| + | <math>\textbf{Teorema: (Principio del máximo para funciones armónicas)}</math> Sean <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> un abierto y <math>u \in \mathcal{C}(\Omega)</math>. Si <math>u</math> es armónica y alcanza un máximo o un mínimo en <math>\Omega</math> entonces <math>u</math> es constante. Como consecuencia si <math>\Omega</math> es acotado y <math>u</math> no es constante entonces. | ||
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| + | <math>u(x)< \max_{\partial \Omega} u \quad \text{y} \quad u(x)> \min_{\partial \Omega} u \quad \forall x \in \Omega</math> | ||
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| + | Un último resultado importante es el cálculo del error para el método del trapecio de integración numérico. Se puede demostrar que el error en este método para la integral <math>\int_a^bf(x)dx</math> es: | ||
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| + | <center><math>Error=-\frac{(b-a)^3}{12n^2}f^{''}(\xi)</math></center> | ||
| + | donde <math>\xi\in (a,b)</math>. Se puede ver una demostración de esto en <math>\textbf{meter link wikipedia}</math> | ||
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Revisión del 20:06 19 abr 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación de Laplace. Grupo 6-A |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | Carlos Gómez Redondo Javier Rodríguez Carrasquilla |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
En el siguiente documento estudiaremos el problema de Laplace para condiciones frontera de tipo Dirichlet y estudiaremos el comportamiento de la solución cerca de la frontera del abierto sobre el que lo plantearemos. Además de lo anterior intentaremos entender en profundidad la desigualdad de Harnack.
Por último trataremos la ecuación de Poisson en [math]\mathbb{R}^2[/math].
2 Preliminares
Antes de comenzar, es necesario presentar la notación que emplearemos y sobre todo, el problema que estudiaremos en el documento. Además, enunciaremos algunos de los resultados más importantes relacionados con dicho problema. Este es de la forma: [math] \left\{ \begin{aligned} \Delta u &= f, & x &\in \Omega \\ u &= g, & x &\in \partial \Omega \end{aligned} \right. [/math] donde [math]\Omega \subset \mathbb{R}^n[/math] es un abierto. Nótese que en caso de que [math]f=0[/math] la ecuación es homogénea y nos referiremos a ella como ecuación de Laplace. Si es no homogénea, se la denomina ecuación de Poisson. Otras variaciones posibles del problema consisten en modificar las condiciones frontera. Aquellas que indican el valor de la solución que buscamos en la frontera son conocidas como condiciones de tipo Dirichlet. Otros tipos de condiciones son:
- Condiciones Neumann: [math]\nabla u \cdot \vec{n}= \partial_{n}u=g \in \partial\Omega [/math]
- Condiciones Robin: [math] u +k \partial_{n}u=g \in \partial\Omega[/math]
- Condiciones Mixtas: [math] \left\{ \begin{aligned} u &= g, & x &\in \Gamma \\ \partial_n u &= h, & x &\in \partial\Omega\setminus\Gamma \end{aligned} \right. [/math]
De ahora en adelante nos referiremos al par ecuación-condición frontera como problema de Laplace o Poisson según corresponda. A continuación enunciaremos dos resultados fundamentales en el estudio de este tipo de problemas.
[math]\textbf{Teorema: (Existencia de soluciones del problema de Laplace en la bola)}.[/math] Sea el problema [math] \left\{ \begin{aligned} \Delta u &= 0, & x &\in B_R(0) \\ u &= g, & x &\in \partial B_R(0) \end{aligned} \right. [/math] donde [math]B_R(x_0) \subset \mathbb{R}^n[/math] es la bola de radio [math]R[/math] centrada en [math]x_0 \in \mathbb{R}^n[/math], [math]g[/math] una función continua y [math]n\geq2[/math]. Entonces la solución [math]u \in \mathcal{C}^2(B_R(0))\cap \mathcal{C}(\overline{B_R(0)})[/math] viene dada por la fórmula de Poisson:
donde [math]\omega_n= 2\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}[/math]. También se puede expresar en desarrollo en serie de Fourier:
[math]\textbf{Teorema: (Unicidad de soluciones del problema de Laplace)}.[/math] Sea el problema de Laplace o Poisson con cualquier tipo de condición frontera de las mencionadas anteriormente excepto las de Neumann. Entonces existe una única solución [math]u \in C^2(B_R(0))\cap C(\overline{B_R(0)}) [/math] del problema. En el caso de condiciones de tipo Neumann la solución es única salvo constante.
[math]\textbf{Definición: (Función Armónica)}.[/math] Diremos que una función [math]u \in C^2(\Omega)[/math] es armónica si [math]\Delta u =0[/math].
[math]\textbf{Teorema: (Desigualdad de Harnack)}.[/math] Sea u una función armónica y [math]u\geq 0[/math] en [math]\Omega \subset \mathbb{R}^n[/math]. Sea [math]\overline{B_R(z)} \subset \Omega[/math]. Entonces se verifica la desigualdad de Harnack:
Como veremos en [math]\textbf{Meter link}[/math] este resultado se puede interpretar como que todas las funciones armónicas que pasan por un punto están "encerradas" en una región muy concreta del espacio determinada por dos funciones armónicas "límite".
[math]\textbf{Teorema: (Principio del máximo para funciones armónicas)}[/math] Sean [math]\Omega \subset \mathbb{R}^n[/math] un abierto y [math]u \in \mathcal{C}(\Omega)[/math]. Si [math]u[/math] es armónica y alcanza un máximo o un mínimo en [math]\Omega[/math] entonces [math]u[/math] es constante. Como consecuencia si [math]\Omega[/math] es acotado y [math]u[/math] no es constante entonces.
[math]u(x)\lt \max_{\partial \Omega} u \quad \text{y} \quad u(x)\gt \min_{\partial \Omega} u \quad \forall x \in \Omega[/math]
Un último resultado importante es el cálculo del error para el método del trapecio de integración numérico. Se puede demostrar que el error en este método para la integral [math]\int_a^bf(x)dx[/math] es:
donde [math]\xi\in (a,b)[/math]. Se puede ver una demostración de esto en [math]\textbf{meter link wikipedia}[/math]
