Diferencia entre revisiones de «Ecuaciones de Laplace y de Poisson»
(→Preliminares?) |
(→Contexto histórico?) |
||
| Línea 4: | Línea 4: | ||
CREO QUE AQUÍ ME FALTAN PUNTOS Y COMAS | CREO QUE AQUÍ ME FALTAN PUNTOS Y COMAS | ||
| − | |||
| − | |||
=== Ecuación de Laplace === | === Ecuación de Laplace === | ||
Revisión del 23:11 16 abr 2024
1 Introducción
En este documento, nos centraremos en dos ecuaciones que tienen un amplio uso en diversos ámbitos como electrostática, mecánica de fluidos, física teórica y magnetostática: la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson. Ambas ecuaciones las estudiaremos en el plano y las veremos aplicadas en problemas concretos. Veremos las limitaciones que presenta la ecuación de Poisson así como diferentes métodos analíticos para aproximar soluciones, y raíz de esto, analizaremos errores de aproximación. Por último, estudiaremos el comportamiento de soluciones tanto en un dominio dado, utilizando la desigualdad de Harnack, como asintóticamente en infinito.
CREO QUE AQUÍ ME FALTAN PUNTOS Y COMAS
2 Ecuación de Laplace
La ecuación de Laplace, cuyo nombre nombre honra al distinguido físico-matemático Pierre-Simon Laplace, es una ecuación en derivadas parciales de tipo elíptico muy utilizada en teoría matemática y distintos ámbitos de la ciencia. REFERENCIA? Construyamos un problema de derivadas parciales a partir de la ecuación de Laplace. La ecuación es,
con [math]u:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}[/math] como incógnita. Esta ecuación se define en un dominio [math] \Omega [/math], y en su frontera [math] \partial \Omega [/math] se pueden añadir condiciones de contorno Dirichlet, Neuman o mixtas. En este trabajo nos centraremos en las condiciones de contorno de tipo Dirichlet, las cuales igualan [math] u [/math] a una función específica [math] g [/math]. Con todo esto, llegamos al siguiente problema de derivadas parciales.
A fin de comprender mejor este problema, podemos examinar el siguiente ejemplo en concreto.
2.1 Ejemplo Laplace
Sea [math] B_1 ⊂ R^2 [/math] la bola unidad centrada en [math](0, 0)[/math]. Planteamos el problema,
donde [math] g(\theta)=max\{0, 1-\frac{2}{\pi} |\theta - \pi|\} [/math].
A lo largo de este documento, en lo que tiene que ver con la ecuación de Laplace, visitaremos este ejemplo varias veces.
