Diferencia entre revisiones de «Ecuación de Laplace y ecuación de Poisson»

Revisión del 17:45 16 abr 2024

1 Introducción

En este artículo se trabajará en la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson, calculando distintas soluciones en distintos escenarios, graficándolas y modificando parámetros con el objetivo de poder alcanzar una mayor comprensión sobre la teoría de estas ecuaciones en derivadas parciales y relacionarla directamente con los resultados.

En primer lugar se tratará...

2 Preliminares

2.1 Laplaciano de una función

Sea una función [math]f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/math] (se tomará en todo el artículo el espacio tridimensional, es decir, [math]n=3[/math]), se define el operador diferencial de segundo orden [math]\Delta f[/math], denominado laplaciano de [math]f[/math] como: Coordenadas cartesianas. [math]\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}[/math]

Coordenadas cilíndricas. [math]\Delta f = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} [/math]

?funciones armonicas¿,desigualdad de Harnack, método del trapecio

3 Contexto histórico

Para intentar entender las ecuaciones de la mejor forma posible, se debe conocer las raíces de donde surgieron. Por ello, se explicará brevemente.

En primer lugar, Pierre-Simon Laplace fue un astrónomo, físico y matemático francés. Este trabajó en la teoría del calor y en el estudio de los campos gravitatorios. Fue al estudiar el potencial gravitacional y el potencial eléctrico, con la hipótesis de que estos no tuvieran fuentes ni sumideros, cuando ideó y investigó las propiedades de lo que se conoce hoy como ecuación de Laplace. Además posteriormente se utilizó en más campos como la hidrodinámica y otros aspectos de la física.

Posteriormente, el matemático y físico francés Siméon Denis Poisson, realizó una generalización significativa de la ecuación de Laplace y su correspondiente fórmula para resolverla. De esta forma, se le dio el nombre de ecuación de Poisson. Que ambos investigaran temas semejantes no es coincidencia, ya que Laplace fue profesor de Poisson en una escuela de París y, gracias a ello, desarrollaron una gran relación de amistad.

ref: http://automata.cps.unizar.es/Biografias/Laplace.htm , https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson%27s_equation , https://en.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson , https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%27s_equation , https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace

4 Ecuación de Laplace

4.1 Planteamiento

Una vez definido el laplaciano de una función, la ecuación de Laplace es:

[math] \Delta u = 0 [/math]

donde [math]u:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}[/math]

El problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace, surge de manera inmediata al planteamiento de esta misma. De esta forma, se trata de encontrar una función que cumpla la ecuación de Laplace en un abierto [math]\Omega \subset \mathbb{R}^3[/math] y además fijar lo que vale la solución en la frontera del abierto [math]\partial \Omega[/math]:

De este problema se conoce el siguiente resultado:

Si [math] \Omega[/math] es un dominio acotado y g es una función continua en su frontera, es decir [math]g \in C(\partial \Omega)[/math]. Entonces, el problema tiene una única solución [math] u \in C^2(\Omega) \cap C(\overline{\Omega)} [/math]. Además, sean [math] u_{g_1} \text{ y } u_{g_2} [/math] las soluciones de los problemas correspondientes con [math] g_1, g_2 \in C(\partial\Omega) [/math]. Entonces se tiene: [math] \text{(a) (Comparación). Si } g_1 \geq g_2 \text{ en } \partial\Omega \text{ y } g_1 \neq g_2 \text{ , entonces } u_{g_1} \gt u_{g_2} \text{ en } \Omega.[/math]

[math] \text{(b) (Estabilidad). } |u_{g_1}(x) - u_{g_2}(x)| \leq \max_{\partial\Omega} |g_1 - g_2| \text{ para todo } x \in \Omega. [/math]

Por otro lado, si [math] \Omega [/math] es la bola de centro [math] 0 [/math] y radio [math] R [/math], [math] B_R(0) [/math]. Entonces la solución [math] u \in C^2(B_R(0))[/math] viene dada por la fórmula de Poisson:

En coordenadas cartesianas.

[math] u(x)=\frac{R^2-|x|^2}{2\pi}\int_{\partial B_1} \frac{g(y)}{|x-y|^2} dy [/math]

En coordenadas polares.

[math] u(r,\theta)=\frac{R^2-r^2}{2\pi}\int_{\partial B_1} \frac{g(y)}{R^2+r^2-2Rrcos(\theta-y)} dy [/math]

No obstante, otra forma de obtener una solución para este problema es mediante series de Fourier. Tras realizar separación de variables sobre el problema modificado a coordenadas polares y aplicar el principio de superposición, se llega a la siguiente expresión de la solución:

donde los coeficientes se obtienen de la siguiente forma:

4.2 Ejemplo

A continuación, se planteará un problema de Laplace y se estudiará la solución por los métodos de la fórmula de Poisson y desarrollo por series de Fourier. Además se analizará el error que se produce por los distintos métodos y el cálculo numérico. También se estudiará el espacio en el que están las soluciones, utilizando la desigualdad de Harnack.

Sea [math] B_1 ⊂ R^2 [/math] la bola unidad centrada en [math](0, 0)[/math]. Se considera el siguiente problema.

donde la función [math]g[/math] viene descrita en coordenadas polares y se define como [math] g(\theta)=max\{0, 1-\frac{2}{\pi} |\theta - \pi|\} [/math].

5 Ecuación de Poisson

A continuación, se definirá la ecuación de Poisson: [math] \Delta u = f [/math]

donde [math]u:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/math] y [math] f \in C^2(\mathbb{R})[/math].

En primer lugar se debe definir la solución fundamental del laplaciano.

5.1 Solución fundamental del Laplaciano para dimensiones pequeñas.

Se define como la solución fundamental a [math] \phi(x): \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/math] a:

5.2 Potencial newtoniano.

El potencial newtoniano, también conocido como potencial de Newton, es un operador en cálculo vectorial que sirve como el inverso del Laplaciano negativo. Se aplica a funciones suaves que disminuyen lo suficientemente rápido hacia cero en el infinito. El potencial newtoniano es un operador integral singular que se define mediante la convolución con una función que presenta una singularidad en el origen. Esta función, es la solución fundamental del laplaciano, [math] \phi(x)[/math].

Se define el potencial newtoniano de la siguiente manera:

Un resultado conocido para la resolución de problemas con la ecuación de Poisson es el siguiente Teorema:

Teorema. Sea [math]f \in C^2(\mathbb{R}^n)[/math] con soporte compacto. Sea [math]u[/math] el potencial newtoniano de [math]f[/math], definido por el potencial Newtoniano. Entonces, [math]u[/math] es la única solución en [math]\mathbb{R}^n[/math] de [math]\Delta u = -f[/math] que pertenece a [math]C^2(\mathbb{R}^n)[/math] y se anula en el infinito. Es decir, dado:

su solución viene dada por el potencial newtoniano:

5.3 Potencial logarítmico

El teorema visto en el caso anterior, se trata de un teorema general, en dimensión n=2 este potencial es el logarítmico, por lo que la solución en este caso se obtendría con :

Donde x e y son puntos de [math]R^{2}[/math]. Para ver como se emplea el potencial Newtoniano en este caso, se ilustra mediante un ejemplo, en el cual se tiene:

Donde f es la función característica de la bola de radio 1

6 Referencias