Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor (Grupo 5)»

Revisión del 17:36 6 mar 2024

1 Introducción

2 Ecuación del Calor en dimensión [math]n=1[/math]

2.1 Definición

Se considera una varilla metálica que ocupa el intervalo [math] I [/math] y que se encuentra aislada por su superficie lateral, de manera que la conducción de calor sólo se produce en la dirección longitudinal. Inicialmente se planteará el problema de manera que la temperatura inicial de la varilla es [math]u1(x)[/math]. En el extremo izquierdo se establece una temperatura [math]u2(t)[/math] y en el extremos derecho [math]u3(t)[/math]. Dado esto, a partir del principio de conservación de la energía^[1], y la Ley de Fourier^[2], se plantea el problema de EDP que modeliza el comportamiento de la temperatura.

Donde la función [math]u(x,t)[/math] es la ecuación EDP que determina el calor dependiendo del espacio y del tiempo; [math]k[/math] es la conductividad térmica y [math]c[/math] el calor específico.

Este problema se ha planteado con condiciones frontera de Dirichlet.

2.2 Ejemplo

A continuación, se estudiará el comportamiento de este problema a partir de un caso particular.

Se considerará el intervalo [math][0,1] [/math], temperatura inicial de la varilla de 0º, y en los extremos, izquierdo y derecho, 0º y 1º respectivamente.

Además, se considerará que tanto la conductividad térmica, [math]k[/math], como el calor específico [math]c[/math] son 1. Entonces se plantea el siguiente problema a modelizar.

Una vez definido el problema, vamos a resolverlo para así observar su comportamiento.

2.2.1 Homogeneización y solución estacionaria

Para resolver esta EDP, en primer lugar se deben tener las condiciones frontera homogeneizadas, de manera que, [math] u(0,t)= 0, u(1,t)= 0 [/math]. Por tanto, en primer lugar debemos estudiar la solución estacionaria del problema. Para ello, supondremos que [math]{t \to \infty} [/math], en dicho caso, [math] u_{t} \approx 0[/math] y [math] u(x,t) \approx v(x)[/math].

Se obtiene entonces una EDO homogénea de orden 2, cuya solución es la siguiente.

A continuación, se muestra el código utilizado para representar la gráfica de la solución estacionaria, y la respectiva gráfica.

Representación de la solución estacionaria

%Definimos la solución estacionaria.
v=@(x) x;
%definimos el intervalo donde vamos a representar la solución. 
x=linspace(0,1,1000);

%Comando para representar la solución en R^2.
hold on 
plot(x, v(x), 'b-')
xlabel('x');
ylabel('v(x)');
title('Solución extacionaria.');
grid on; 
hold off

2.2.2 Separación de Variables

Posterioremente se utilizará el método de separación de variables^[3], a partir del cual, se obtiene la solución de a siguiente EDP, donde se ha realizado el cambio [math] w(x,t)=v(x) - u(x,t)[/math]

Una vez aplicado el método y obteniendo los coeficientes de Fourier correspondientes, tal y como se explicó en el anterior trabajo ^[4] para funciones impares, obtenemos la siguiente solución de [math] w(x,t)[/math].

Deshacemos el cambio de variable para obtener la solución del problema original, donde [math] u(x,t)=v(x) - w(x,t)[/math].

2.2.3 Representación y análisis

Una vez obtenida la solución, veremos la propagación del calor en función del tiempo y el espacio. Para ello, uilizaremos el siguiente programa que nos representará la solución obtenida tomando los 10 primeros términos de la serie.

Representación de la solución u(x,t)

% Definimos los términos de la serie
n=10;

%inicializamos la función en 0. 
f=@(x,t) 0;

%Tomamos un bucle para poder obtener la solución w con el nº de términos
%seleccionado.
for k=1:n
    f = @(x,t) exp(-k^2*pi^2*t).*sin(pi * k * x).*(2/(k*pi)).*((-1)^(k+1)) + f(x,t);
end

% Queremos representar u entonces definimos la solución deshaciendo el cambio
% w(x,t)=v(x)-u(x,t),donde x(x)=x.
g = @(x,t) x-f(x,t)

% Dibujar la solución en el intervalode [0,1].
[x,t] = meshgrid(0:.001:1);

%utilizamos el comando mesh para representar la solución en R^3.
mesh(x,t,g(x,t)) 
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u(x,t)');
title('Solución para k = 10');

Se puede observar como la representación de la solución final es muy similar a la que sería la representación en [math]R^{3} [/math] de la solución estacionaria, en el intervalo[math][0.2,1] [/math]. Fuera de este, la solución no se asemeja a la solución estacionaria. Debido a esto, debemos señalar que la solución obtenida del problema modificado, la [math]w(x,t) [/math], será similar al plano generado en [math]x=0[/math], fuera del entorno de [math]t=0 [/math], ya que como hemos visto, en el intervalo [math][0,0.2] [/math] la gráfica de [math]u(x,t) [/math] no se asemeja a la solución estacionaria.

Representación de la comparativa entre u(x,t) y v(x)

En este gráfica se puede observar lo anteriormente mencionado, donde la solución estacionaria y la original en gran parte del intervalo son prácticamente idénticas, formando prácticamente el mismo plano, tal y como se observa en la foto de la derecha.

2.2.4 Flujo

El flujo de calor en los extremos de una ecuación de calor describe cómo la energía térmica se transfiere entre dos puntos.

Para estudiar el flujo en este caso, debemos calcular [math] u_{x}(x,t)[/math] y estudiar su comportamiento en los extremos, es decir en [math] u_{x}(0,t)[/math] y [math] u_{x}(1,t)[/math]. A partir de este estudio, podremos determinar si el flujo es entrante o saliente en cada uno de los extremos. Esto se debe a que el flujo es [math] -ku_{x}(0,t)[/math] así que el flujo, de izquierda a derecha tiene signo contrario a la derivada.

Para ello, se ha implementado un código que nos representa dichas funciones en función del tiempo.

Representación del flujo en función del tiempo.

% Definimos los términos de la serie
n=10;

%Inicializamos la función derivada en 0. 
dif_f=@(x,t) 0;

%Tomamos un bucle para poder obtener w_{x} con el nº de términos
%seleccionado.
for k=1:n
    dif_f = @(x,t) 2*exp(-k^2*pi^2*t).*cos(pi * k * x).*((-1)^(k+1)) + dif_f(x,t);
end

%Expresión de la derivada de u(x,t).
g=@(x,t)(1-dif_f(x,t));
%Evaluamos la derivada en x=0 y x=1
l=@(t) g(0,t);
h=@(t) g(1,t);

%definimos el intervalo donde vamos a representar la solución. 
t=linspace(0,1,1000);

%Comando para representar la solución en R^2.
hold on 
plot(t, h(t), 'r--')
plot(t, l(t), 'b--')
line([0 1], [0 0], 'Color', 'black') %Delimitamos en el eje x positivo. 
xlabel('t');
ylabel('Flujo');
legend('Flujo en x=0', 'Flujo en x=1')
title('Representación del flujo en los 2 extremos');
grid on; 
hold off

Tal y como se puede observar en la gráfica, ambos flujos son estrictamente positivos ya que están en todo momento por encima de la línea negra que delimita el eje x positivo.

Por tanto, en el extremo izquierdo entra calor, sin embargo, en el extremo derecho, el calor saldrá

2.2.5 Coeficiente de conductividad térmica

Una vez completado el ejemplo, vamos a realizar una modificación en el coeficiente de conductividad térmica para ver como afecta este a la solución del problema.

En este caso tomaremos [math] k = \frac{1}{2}[/math]; por tanto el nuevo problema a resolver será el siguiente.

Tras un proceso de adimensionalización, repitiendo el proceso explicado anteriormente llegamos a que las solución estacionaria de este "nuevo" problema es igual que en el anterior caso, es decir,

Por otro lado, la solución final será de la siguiente forma.

Representación del flujo en función del tiempo.

% Definimos los términos de la serie
n=10;

%inicializamos la función en 0. 
f=@(x,t) 0;

%Tomamos un bucle para poder obetener la solución w con el nº de términos
%seleccionado.
for k=1:n
    f = @(x,t) exp(-k^2*pi^2*(t/2)).*sin(pi * k * x).*(2/(k*pi)).*((-1)^(k+1)) + f(x,t);
end
% Queremos representar u entonces definimos la solución deshaciendo el cambio
% w(x,t)=v(x)-u(x,t), donde v(x)=x.
g = @(x,t) x-f(x,t)

% Dibujar la solución en el intervalode tiempo t∈[0,1].
[x,t] = meshgrid(0:.001:1);

%utilizamos el comando mesh para representar la solución en R^3.
mesh(x,t,g(x,t)) 
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u(x,t)');

Aparentemente esta solución es muy similar a la obtenida cuando [math] k = 1[/math], sin embargo, en este caso podemos observar una mayor curvatura en el mallado generado por la solución de lo que se observaba en el anterior caso.

Para ver esto visualmente se va a representar nuevamente la solución estacionaria con la solución del problema.

Representación del flujo en función del tiempo.

Es muy obvio que en este caso la solución de la EDP no se aproxima de la misma manera que antes ya tiene forma aplanada únicamente en el intervalo [math] [0.75,1][/math] aproximadamente.

Por lo tanto se observa, un cambio respecto a la solución con [math] k = 1[/math].

3 Ecuación del Calor en diferentes dimensiones

En este apartado, se verá que aspecto toma la función solución del calor en diferentes dimensiones y diferentes condiciones.

3.1 Solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 1

Considerando el problema siguiente,

Se obtiene la solución fundamental del calor en una dimensión:

Se representará para [math] x \in [-1,1], t\in [10^{-2},1] [/math]

% Definimos el recinto en el que vamos a representar la función
[X, T] = meshgrid(-1:0.05:1, 10^(-2):0.05:1);
%Definimos la solución fundamental del calor en una dimensión
u= 1./sqrt(4*pi*T).*exp(-X.^(2)./(4*T));
% Graficamos la función
figure;
surf(X, T, u);
title('Gráfico de la función');
xlabel('X');
ylabel('T');
zlabel('u(x,t)');

Como se puede observar se trata se una función normalizada, tal que a medida que se acerca al punto [math] (x,t)=(0,0) [/math], tiende a infinito.

Considerando las siguientes condiciones iniciales y frontera:

ecuaci´on del calor... en una dimensión en el semiespacio x > 0 con la condición inicial u(x, 0) = 0 y la condici´on frontera u(0, t) = 1. ...

3.2 Solución de la ecuación del calor en diferentes situaciones

En el siguiente caso, se considera el siguiente problema:

La solución, viene dada por la convolución respecto la solución fundamental del calor y la condición inicial, es decir,

Se debe notar que la función anterior aplicada a la condición inicial, en este caso resulta

Para obtener una mayor visión de dicha solución, se representará en diferentes instantes de tiempo, [math] t \in (0.001, 0.01, 0.1) [/math] y en el espacio [math] x \in [-1,1] [/math]

Solución en diferentes instantes de tiempo

clc
clear 
format long
close all

t_vector = [0.001, 0.01, 0.1]; % Parámetros de t
X= -1:10^(-3):1; %Intervalo para representar
Y= -1:10^(-3):1; %Intervalo para integración
[fila,columna]= size(X);

%Hacemos el bucle para los 3 valores de t
for j=1:3
    t= t_vector(j);
    F = ones(size(X));
    for i=1:columna
        %Definimos cada elemento dado por la solución
        F(i) = F(i)* 1/sqrt(4 * pi * t) * trapz(Y,exp(-(X(i)-Y).^2 ./ (4*t)));
    end
    %Graficamos la función
    subplot(1,3,j);
    plot(X,F);
    xlabel('x');
    ylabel('u(x,t)');
    title(['t = ',num2str(t)]);
end

Por otro lado, la solución del calor en dimensión [math] 2[/math] es la siguiente:

De igual forma, se representará la solución para instantes de tiempo [math] t \in (0.001, 0.01, 0.1) [/math], y para [math] (x,y) \in [-1,1]\times[-1,1] [/math]

Solución en diferentes instantes de tiempo

clc
clear 
format long
close all

% Definimos el recinto en el que vamos a representar la función
[X1, X2] = meshgrid(-1:0.05:1, -1:0.05:1);
% Definimos el vector de tiempos
t_vector=[0.001,0.01,0.1];
%Preparamos la representación
tiledlayout(1,3);
%Hacemos un bucle para los tiempos
for i=1:3
t= t_vector(i);
%Definimos la solución fundamental del calor en dos dimensiones
u= 1./sqrt(4*pi*t).*exp((-X1.^(2)-X2.^(2))./(4*t));
%Graficamos la solución
nexttile
surf(X1, X2, u);
title(['t = ',num2str(t)]);
xlabel('X');
ylabel('X');
zlabel('u(x,t)');
end

Se puede ver en la gráfica que a menor [math]t [/math], la función se asemeja a la función [math] u(x)_{0} = 1_{[-1,1]} [/math].

En la gráfica se puede observas como la solución se hace más estrecha a menor [math] t[/math]. Esto se debe a que la solución no está definida para [math] t=0 [/math] y, por ello, tiende a estrecharse.

4 Referencias

1. ↑ Conservación de la energía
2. ↑ Ley de Fourier
3. ↑ Método de separación de variables
4. ↑ Series de Fourier