Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor (GRwM)»
(→Conceptos previos) |
(→Solución estacionaria y homogeneización del sistema) |
||
| Línea 77: | Línea 77: | ||
PONER HOMOGENEIZACIÓN | PONER HOMOGENEIZACIÓN | ||
| + | |||
| + | <center><math>\left \{ \begin{array}{ll} | ||
| + | |||
| + | \frac{\partial T_{hom}}{\partial t}-\frac{\partial ^2 T_{hom}}{\partial x^2}=0 & \quad 0 < x < 1, 0 < t < T, \\ | ||
| + | |||
| + | T_{hom}(0,t)=0, & \quad 0 < t < T, \\ | ||
| + | |||
| + | T_{hom}(1,t)=0 & \quad 0 < t < T, \\ | ||
| + | |||
| + | T_{hom}(x,0)=x, & \quad 0 < x < 1. | ||
| + | |||
| + | \end{array} \right. | ||
| + | |||
| + | </math></center> | ||
=Referencias= | =Referencias= | ||
Revisión del 18:51 1 mar 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación del calor. Grupo GRwM |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | Guillermo Gómez Tejedor, Marina Jiménez Barrantes y Rocío Tajuelo Díaz |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
En el trabajo que se presenta a continuación, vamos a estudiar la ecuación del calor en una dimensión. Para ello, vamos a considerar una varilla metálica que se encuentra aislada por su superficie lateral, de modo que la conducción de calor se produzca en la dirección longitudinal. Partiendo de esto y añadiendo ciertas condiciones de frontera, que iremos modificando a lo largo del trabajo, vamos a calcular la solución de la ecuación del calor y la vamos a representar.
2 Conceptos previos
En esta sección, vamos a presentar algunos conceptos esenciales para comprender la obtención del sistema EDP que permite modelizar el problema.
Principio de conservación de la energía.
Por otro lado, se puede entender la energía calorífica como:
PONER FÓRMULA
3 Planteamiento del problema
Para comenzar con el estudio de la ecuación del calor, primero debemos plantear el problema a resolver, que involucra esta ecuación junto a ciertas condiciones de frontera y condición inicial. Como ya se ha mencionado, en nuestro estudio vamos a considerar una varilla metálica que se encuentra aislada por su superficie lateral. De esta manera, la conducción de calor se produce únicamente en la dirección longitudinal.
Además, vamos a considerar que la temperatura inicial de la varilla es 0 ºC. También vamos a fijar la temperatura en el extremo izquierdo en 0ºC y en el derecho a 1ºC.
Teniendo en cuenta el principio de conservación la energía y la definición de la energía en función de la temperatura, así como las condición inicial y de frontera, se obtiene el siguiente sistema de EDP:
Suponemos que tanto la conductividad térmica [math]k[/math] como el calor específico [math]c[/math] toman el valor constante [math]1[/math]. Entonces, el sistema de EDP final queda de la siguiente forma:
4 Resolución del sistema EDP
Una vez planteado el sistema, procedemos a resolverlo. Para ello, con el objetivo de homogeneizar las condiciones de frontera, vamos a comenzar obteniendo la solución estacionaria.
4.1 Solución estacionaria y homogeneización del sistema
Para calcular la ecuación del estado estacionario, vamos a tomar el tiempo t infinito. Esto implica que la variación de la temperatura con respecto al tiempo desaparezca, de modo que la ecuación del sistema HACER REFERENCIA es ahora [math] T_{xx}=0[/math].
Considerando además las condiciones [math] T(0)=0[/math] y [math] T(1)=0[/math], provenientes de las condiciones frontera del problema original, se tiene que la solución de la ecuación del estado estacionario es:
En la siguiente gráfica, se representa esta solución:
Si consideramos ahora el problema...
PONER HOMOGENEIZACIÓN
