Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor (GRwM)»
(→Planteamiento del problema) |
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<center><math>\left \{ \begin{array}{ll} | <center><math>\left \{ \begin{array}{ll} | ||
| − | \frac{\partial T}{\ | + | \frac{\partial T}{\partial t}-\frac{k}{c} \frac{\partial ^2 T}{\partial x^2}=0 & \quad 0 < x < 1, 0 < t < T, \\ |
| − | T(x,0)=0, & \quad 0<x<1, \\ | + | T(x,0)=0, & \quad 0 < x < 1, \\ |
T(0,t)=0, & \quad 0<t<T, \\ | T(0,t)=0, & \quad 0<t<T, \\ | ||
Revisión del 18:40 29 feb 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación del calor. Grupo GRwM |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | Guillermo Gómez Tejedor, Marina Jiménez Barrantes y Rocío Tajuelo Díaz |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
En el trabajo que se presenta a continuación, vamos a estudiar la ecuación del calor en una dimensión. Para ello, vamos a considerar una varilla metálica que se encuentra aislada por su superficie lateral, de modo que la conducción de calor se produzca en la dirección longitudinal. Partiendo de esto y añadiendo ciertas condiciones de frontera, que iremos modificando a lo largo del trabajo, vamos a calcular la solución de la ecuación del calor y la vamos a representar.
2 Conceptos previos
En esta sección, vamos a presentar algunos conceptos esenciales para comprender la obtención del sistema EDP que permite modelizar el problema.
Principio de conservación de la energía:
Por otro lado, se puede entender la energía calorífica como:
PONER FÓRMULA
3 Planteamiento del problema
Para comenzar con el estudio de la ecuación del calor, primero debemos plantear el problema a resolver, que involucra esta ecuación junto a ciertas condiciones de frontera y condición inicial. Como ya se ha mencionado, en nuestro estudio vamos a considerar una varilla metálica que se encuentra aislada por su superficie lateral. De esta manera, la conducción de calor se produce únicamente en la dirección longitudinal.
Además, vamos a considerar que la temperatura inicial de la varilla es 0 ºC. También vamos a fijar la temperatura en el extremo izquierdo en 0ºC y en el derecho a 1ºC.
Teniendo en cuenta el principio de conservación la energía y la definición de la energía en función de la temperatura, así como las condición inicial y de frontera, se obtiene el siguiente sistema de EDP:
4 Resolución del sistema EDP
Una vez planteado el sistema, procedemos a resolverlo. Para ello, con el objetivo de homogeneizar las condiciones de frontera, vamos a comenzar obteniendo la solución estacionaria.
4.1 Solución estacionaria
Para calcular la ecuación del estado estacionario, vamos a tomar el tiempo t infinito. De esta manera, la variación de la temperatura con respecto al tiempo desaparece, de modo que la ecuación del sistema HACER REFERENCIA es la siguiente:
PONERRRR
