Diferencia entre revisiones de «Bases de Fourier»
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A continuación, veremos un ejemplo sobre ello. Consideremos la función a aproximar <math> f(x) = x(1-x) </math> en el intervalo [0,1]. Esta función se aproxima por extensión impar, en efecto, ejecutando las siguientes líneas de código vemos como los coeficientes pares son nulos. Cabe mencionar que los coeficientes de Fourier no se han calculado por integración, sino que se han aproximado utilizando la fórmula del trapecio. | A continuación, veremos un ejemplo sobre ello. Consideremos la función a aproximar <math> f(x) = x(1-x) </math> en el intervalo [0,1]. Esta función se aproxima por extensión impar, en efecto, ejecutando las siguientes líneas de código vemos como los coeficientes pares son nulos. Cabe mencionar que los coeficientes de Fourier no se han calculado por integración, sino que se han aproximado utilizando la fórmula del trapecio. | ||
| − | + | En el caso de que la extensión sea par la función se aproxima utilizando los elementos del coseno y el <math>\ \frac{1}{2}</math> con sus respectivos coeficientes de Fourier, pues los del seno se anulan. | |
Revisión del 18:24 14 feb 2024
Contenido
1 Aproximación de funciones continuas
Tal y como se ha enunciado anteriormente, la gran importancia de las series de Fourier radica en su increíble eficacia para aproximar funciones periódicas. A su vez, se va a realizar un análisis de como extender funciones continuas en el intervalo [0, T] al intervalo [-T, T] y que estas continúen siendo continuas. De esta manera solo se utilizaría para su aproximación las funciones pares o impares de las bases.
En primer lugar se debe diferenciar que ocurre cuando la extensión es impar o par. En el primer caso, la aproximación simplemente se realiza utilizando los elementos de la base del seno, con sus respectivos coeficientes de Fourier, pues los del coseno y [math]\ \frac{1}{2}[/math] se anulan.
A continuación, veremos un ejemplo sobre ello. Consideremos la función a aproximar [math] f(x) = x(1-x) [/math] en el intervalo [0,1]. Esta función se aproxima por extensión impar, en efecto, ejecutando las siguientes líneas de código vemos como los coeficientes pares son nulos. Cabe mencionar que los coeficientes de Fourier no se han calculado por integración, sino que se han aproximado utilizando la fórmula del trapecio.
En el caso de que la extensión sea par la función se aproxima utilizando los elementos del coseno y el [math]\ \frac{1}{2}[/math] con sus respectivos coeficientes de Fourier, pues los del seno se anulan.
CÓDIGO?? RESULTADO DEL CÓDIGO??
Luego, la función que aproximará f(x) tiene la forma,
En las siguientes gráficas apreciamos como según crece n, [math] f_n(x)[/math] se va acercando más a la función original f(x). En concreto se muestran los casos para n = 1, 5 y 10.
GRÁFICAS?? CÓDIGO?
Esto también se puede ver claramente si calculamos el error que se comete entre f(x) y [math] f_n(x)[/math] para cada n. Se muestran dos gráficas donde se representan los errores para n = 1, 5 y 10 con las normas L^2 y uniforme.
GRÁFICAS/CÓDIGO
2 Aproximación de funciones discontinuas
Como se ha mencionado anteriormente las series de Fourier convergen a una función continua. Sin embargo, ¿cómo hacemos para aproximar funciones no estrictamente continuas?. Esta cuestión se resuelve teniendo en cuenta la condición de Dirichlet. Esta indica el intervalo [-pi,pi] se puede dividir en un conjunto de subintervalos finitos en los cuales la función es monótona, si la función es continua salvo en un número finito de puntos con discontinuidad de salto finito.
Nos apoyaremos entonces en el siguiente teorema.
2.1 Teorema
Si [math] f \in L^2 ([-\pi,\pi]) [/math] y verifica la condición de Dirichlet entonces la serie de Fourier converge puntualmente en los puntos de continuidad. Es decir:
- Si [math] x_0 [/math] es un punto de continuidad entonces, [math] f(x_0)=lim_{n\to\infty}\{\frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^\infty[ a_n \sin(n \pi x) +b_n \cos(n\pi x)]\} [/math] .
- Si [math] x_0 [/math] es un punto de discontinuidad entonces la serie converge en [math] x_0 [/math] a [math] \frac{f(x_0^-) + f(x_0^+)}{2} [/math]
En [math]-\pi[/math] y [math]\pi[/math] la serie converge a [math] \frac{f(\pi) + f(-\pi)}{2} [/math].
Consideremos la función discontinua [math]f(x) = 1_{x\leq \frac{1}{2}}(x)[/math] hagamos su extensión al intervalo [math] [-1,1][/math]. Primero observamos que esta función se extiende de forma par.
CÓDIGO CON LOS COEFICIENTES IMPARES 0.
El coeficiente impar [math]b_n[/math] es nulo. Si dibujamos [math]f(x)[/math] y [math]f_n(x)[/math] podemos apreciar en las discontinuidades de salto oscilaciones las cuales se conoces como el fenómeno de Gibbs.
CÓDIGO + FOTO DE LA GRÁFICA NO PUEDO AVANZAR MÁS DE AQUÍ SIN LAS GRÁFICAS
3 Cambio de intervalo
Tal y como se ha expresado a lo largo del documento, podemos aproximar funciones en el intervalo compacto [math][-T,T][/math] pero, ¿qué ocurre con aquellos intervalos de la forma [math][a,b][/math]?. Debido a la periodicidad de las funciones que queremos aproximar, la serie de Fourier también se puede aproximar para intervalos de la forma [a, b] con la base [math]\{ \frac{1}{2},\cos(\frac{n \pi x}{T}),\sin(\frac{n \pi x}{T})\}_{n \in \mathbb{N}}[/math], donde tomamos como [math] T = b - \frac{a}{2}[/math].
Para comprender mejor dicho concepto, se propone aproximar la funicon [math]f(x)=x e^{-x}[/math] en el intervalo compacto [math][1,3][/math]. De esta manera obtenemos [math]T = 1[/math] y sustituimos en la base anterior generando la siguiente. A continuación se presentan tres bases con [math] n = 5, 10 [/math] y [math]20[/math] que aproximen dicha función. Como se observa, de nuevo se tiene que, cuanto mayor sea la [math]n[/math] mejor es la aproximación,
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