Diferencia entre revisiones de «Series de Fourier (Grupo 2 1/2)»
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Revisión del 18:45 13 feb 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Series de Fourier. |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | Alfredo de Lorenzo, Hugo Sanz, Manuel Fdez. |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
2 Base trigonométrica
close all
clear
% Definir el rango de x
x_values = linspace(-1, 1, 1000);
% Definir las funciones
num_functions = 4;
seno = cell(1, num_functions);
coseno = cell(1, num_functions);
legends = cell(1, num_functions);
f = @(x) 1/2;
for n = 1:num_functions
% Funciones seno
seno{n} = sin(n *pi* x_values);
legendss{n} = ['f(x)=sin(', num2str(n), 'pix)'];
% Funciones coseno
coseno{n} = cos(n *pi* x_values);
legendsc{n} = ['f(x)=cos(', num2str(n), 'pix)'];
end
% Graficar todas las funciones en una sola gráfica con colores diferentes
figure(1)
for i = 1:num_functions
subplot(1,4,i)
plot(x_values, seno{i}, 'DisplayName', legendss{i});
legend(legendss{i});
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
end
figure(2)
for i = 1:num_functions
subplot(1,4,i)
plot(x_values, coseno{i}, 'DisplayName', legendsc{i});
legend(legendsc{i});
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
end
figure(3)
plot(x_values,ones(size(x_values))*1/2,'DisplayName', '1/2')
legend('f(x)=1/2');
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
grid on;
hold off;
3 Aproximación de una función
3.1 Funciones continuas
% Definir la función a integrar fa_par = @(x, n) sin(pi * n * x) .* (x.*(1-x)); fb_par = @(x, n) cos(pi * n * x) .* (x.*(1-x)); fa_impar = @(x, n) sin(pi * n * x) .* (x.*(1+x)); fb_impar = @(x, n) cos(pi * n * x) .* (x.*(1+x)); f = @(x) (x.*(1-x)); h = @(x) (x.*(1+x)); % Tolerancia para el método del trapecio xx=-1:10^(-3):0; xxx=0:10^(-3):1; %numero de terminos i=10; % Inicializar un vector para almacenar los resultados b_k = zeros(i, 1); a_k = zeros(i, 1);
% Calcular las integrales para n desde 1 hasta 20 usando el método del trapecio adaptativo for n = 1:i
resultado_seno = trapz(xx,fa_impar(xx, n))+trapz(xxx,fa_par(xxx, n)); resultado_cos = trapz(xx,fb_impar(xx, n))+trapz(xxx,fb_par(xxx, n));
% Almacenar el resultado b_k(n) = resultado_seno; a_k(n) = resultado_cos;
end %Serie de fourier para n=i fn = @(x) 0; for n=1:i
fn = @(x) b_k(n) * sin(n*pi*x) + fn(x);
end
% Definir la función x = linspace(-1, 1, 100000); % Generar 100 puntos en el rango [0, 1] x2 = linspace(0, 1, 100000); % Generar 100 puntos en el rango [0, 1] y = linspace(-1, 0, 100000); % Generar 100 puntos en el rango [0, 1]
% Trazar la función figure(1) hold on plot(x, fn(x), 'r--') plot(x2, f(x2),'blue-') plot(y, h(y),'yellow-') title('Comparación f y fn'); % Título del gráfico legend('fn(x)', 'f(x)', 'h(x)') grid on; % Activar la cuadrícula hold off
% Mostrar los resultados disp('Resultados para coefs del seno usando el método del trapecio:'); disp(b_k); disp('Resultados para coefs del coseno usando el método del trapecio:'); disp(a_k);
fn = @(x) 0; for n=1:i
fn = @(x) b_k(n) * sin(n*pi*x) + fn(x); abs_diff = @(x) abs(f(x) - fn(x)).^2; integral_result(n) = sqrt(formula_trapecio(abs_diff, 0, 1,tolerancia)); abs_diffneg = @(x) -abs(f(x) - fn(x)); [supremo(n), x_supremo(n)] = (fminbnd(abs_diffneg, 0, 1));
end N=zeros(i); for n=1:i
N(n)=n;
end
figure(2) hold on plot(N, log(integral_result),'r-') plot(N, log(abs(x_supremo)),'b--') xlabel('n'); % Etiqueta del eje x ylabel('error'); % Etiqueta del eje y title('Gráfico fn'); % Título del gráfico grid on; % Activar la cuadrícula hold off}}
3.2 Funciones discontinuas
clc
clear
format long
close all
g = @(x) (x > 0 & x < 0.5);
% Definir la función a integrar
funa = @(x, n) sin(pi * n * x);
funb = @(x, n) cos(pi * n * x);
func = @(x, n) cos(pi * n * x).^2;
fund = @(x, n) sin(pi * n * x).^2;
% Definir los límites de integración
a = -1; %A pesar de ser [-1,1], fuera de [-1/2,1/2] toma el valor 0
b = 1;
xx= -1/2:10^(-3):1/2;
xxx= -1:10^(-3):1;
% Tolerancia para el método del trapecio adaptativo
tolerancia = 1e-10;
%numero de términos
i=10;
% Inicializar un vector para almacenar los resultados
ak = zeros(i, 1); %coeficientes del seno
bk = zeros(i, 1); %coeficientes del coseno
% Calcular las integrales para n desde 1 hasta i usando el método del trapecio adaptativo
for n = 1:i
ak(n) = trapz(xx,funa(xx,n))/trapz(xxx,fund(xxx,n));
bk(n) = trapz(xx,funb(xx,n))/trapz(xxx,func(xxx,n));
end
a0= 1; %coeficiente de Fourier dado por 1/2
%Serie de fourier hasta n=i
fn = @(x) a0/2;
%Sumas de Cesarò
Sn = @(x) fn(x);
for n=1:i
fn = @(x) bk(n) * cos(n*pi*x) + fn(x);
Sn = @(x)fn(x) + Sn(x);
Snaux=@(x) 1/(n+1) * (Sn(x));
abs_diffn = @(x) abs(g(x) - Snaux(x)).^2;
integral_result(n) = sqrt(integral(abs_diffn, 0, 1));
abs_diffneg = @(x) -abs(g(x) - Snaux(x));
[supremo(n), x_supremo(n)] = fminbnd(abs_diffneg, 0, 1);
end
Sn = @(x) 1/(i+1) * (Sn(x));
% Definir la función
x = linspace(0, 1, 100000); % Generar 100 puntos en el rango [0, 1]
% Trazar la función
hold on
plot(x, fn(x))
plot(x,g(x)) %gráfica de la función característica
xlabel('x'); % Etiqueta del eje x
ylabel('f(x)'); % Etiqueta del eje y
title('Gráfico fn'); % Título del gráfico
grid on; % Activar la cuadrícula
hold off
% Mostrar los resultados
disp('Resultados para coefs del seno usando el método del trapecio:');
disp(ak);
disp('Resultados para coefs del coseno usando el método del trapecio:');
disp(bk);
%Vemos que se produce el llamado "fenómeno de Gibbs" por lo que definimos
%otra función usando las sumas de Cesarò
figure
hold on
plot(x, Sn(x))
plot(x,g(x)) %gráfica de la función característica
xlabel('x'); % Etiqueta del eje x
ylabel('f(x)'); % Etiqueta del eje y
title('Gráfico Sn'); % Título del gráfico
grid on; % Activar la cuadrícula
hold off
N=zeros(i);
for n=1:i
N(n)=n;
end
figure
hold on
plot(N, (integral_result))
plot(N,(abs(x_supremo)))
xlabel('n'); % Etiqueta del eje x
ylabel('error'); % Etiqueta del eje y
title('Gráfico fn'); % Título del gráfico
grid on; % Activar la cuadrícula
hold off
