Revisión del 13:27 13 feb 2024

1 Introducción

Las Series de Fourier, nombradas en honor al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, han emergido como un pilar fundamental en el estudio de funciones periódicas y en la resolución de problemas en diversos campos de la ciencia y la ingeniería. Estas series representan una herramienta matemática potente y versátil que permite descomponer funciones periódicas complejas en una combinación infinita de senos y cosenos, revelando así una estructura subyacente que facilita el análisis y la comprensión de fenómenos periódicos.

En esencia, las Series de Fourier ofrecen una perspectiva única para entender cómo las funciones periódicas pueden expresarse como la suma ponderada de armónicos simples. Este enfoque proporciona un método efectivo para analizar señales periódicas en términos de sus componentes fundamentales, permitiendo la resolución de problemas desde la teoría de control hasta el procesamiento de señales y la física aplicada.

El proceso de descomposición armónica propuesto por Fourier es particularmente relevante en el análisis de señales periódicas en el ámbito de la teoría de la comunicación, la ingeniería eléctrica, la física teórica y otras disciplinas. La capacidad de representar funciones periódicas complejas mediante la suma infinita de funciones senoidales y cosenoidales simplifica la resolución de ecuaciones diferenciales, el estudio de fenómenos ondulatorios y la síntesis de señales complejas en términos de componentes más simples.

Además, las Series de Fourier no solo se limitan a funciones periódicas clásicas, sino que su aplicación se extiende a funciones no periódicas mediante el concepto de transformada de Fourier. Este enfoque ampliado permite analizar señales no periódicas y ofrece un puente entre la teoría de funciones periódicas y la teoría de distribuciones, lo que hace que las Series de Fourier sean una herramienta matemática fundamental en la resolución de problemas prácticos y teóricos.

2 Apartado 1: Base trigonométrica

Se pide dibujar en una gráfica los 10 primeros términos de la base trigonométrica [math] {1/2, cos(n\pi x),sin(n\pi x)}_{n\in N} [/math] en el intervalo [math] x \in [−1, 1] [/math].

Término de la base [math] \cos(n\pi x)[/math] que se muestra en rojo, mientras que [math] \sen(n\pi x)[/math] se muestra en verde

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vectorx=-1:0.001:1;
vectory=zeros(1,length(vectorx));
for n=1:10
     g1=@(x) (cos(n*pi*x));
   for i=1:length(vectorx)
        vectory(i)=g1(vectorx(i));
   end
   subplot(4,5,n);
   xline(0);
   hold on
   yline(0);
   plot(vectorx,vectory,'r')
   axis equal
   xlim([-1,1])
   ylim([-1,1])
   title("n="+n,'Interpreter','latex')    
   hold off
end
vectory=zeros(1,length(vectorx));
for n=1:10
    g2=@(x) (sin(n*pi*x));
    for i=1:length(vectorx)
        vectory(i)=g2(vectorx(i));
    end
    subplot(4,5,n+10);
    xline(0);
    hold on
    yline(0);
    plot(vectorx,vectory,'g')
    axis equal
    xlim([-1,1])
    ylim([-1,1])
    title("n="+n,'Interpreter','latex')    
    hold off
end

El periodo de una función trigonométrica, como el seno o el coseno, determina la longitud de un ciclo completo de la función. En el caso del seno y el coseno estándar, el periodo es [math] 2\pi \lt\math\gt. Sin embargo, al aumentar el periodo, estás modificando la longitud del ciclo, lo que afectará la frecuencia y la variación de la función en el dominio. Aumento del periodo del coseno: Efecto en el dominio: Si aumentas el periodo del coseno, la función se extenderá a lo largo del eje x antes de repetirse. Esto significa que la variación de la función se ralentizará, ya que se necesitará un rango x más amplio para completar un ciclo. La frecuencia disminuirá. En el gráfico: Verás una elongación horizontal de la onda coseno. Los puntos donde la función alcanza sus máximos y mínimos se distanciarán más en el eje x. Aumento del periodo del seno: Efecto en el dominio: Similar al coseno, aumentar el periodo del seno también significa que la función tardará más en repetirse. La frecuencia disminuirá, y la función se extenderá a lo largo del eje x antes de volver a repetirse. En el gráfico: Observarás una onda seno que se estira horizontalmente. Los puntos donde la función cruza el eje x y alcanza sus extremos se distanciarán más en el eje x. En términos prácticos, aumentar el periodo de estas funciones afectará la rapidez con la que oscilan a lo largo del eje x. Es importante notar que, a medida que ajustas el periodo, también afectas la frecuencia angular de la función, ya que la frecuencia angular está relacionada con el inverso del periodo. En resumen, aumentar el periodo disminuirá la frecuencia y extenderá la longitud de un ciclo completo de la función trigonométrica en el eje x.[/math]