Revisión actual del 14:20 19 dic 2023

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Parametrización de una curva plana. La cicloide
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2023-24
Autores	Sara Zhao Cabezas Martín-Carrillo Nerea García Puig Ana Rua Marin Natalia Esteban Tezanos Jose Ramos Marín
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

1.1 Definición

Se define la cicloide como la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

[math] γ=γ(t)=(x(t),y(t))=(R.t-R.\sin(t),R-R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(a,b)[/math].

Donde

[math]γ:t\to\mathbb{R}^2[/math]

[math]I[/math] es el intervalo de [math]a[/math] hasta [math]b[/math]

[math]a,b∈\mathbb{R}[/math]

1.2 Interpretación

La cicloide representa la trayectoria que describe un punto de una circunferencia, cuando esta rueda sin deslizar sobre una recta.

Figura 1.1. Trayectoria del punto P perteneciente a la circunferencia de radio R

1.3 Representación de la curva

Para representar la curva según la parametrización dada se consideran los valores: [math]R=1, a=0, b=2\pi[/math]. Por tanto, la curva se expresa según:

[math] \gamma(t)=(x(t),y(t))=(t-\sin(t),1-\cos(t))=(t-\sin(t))\vec{i}+(1-\cos(t))\vec{j},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)[/math]

Vemos que

Si[math]\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...,\hspace{1cm}[/math]

[math]\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}[/math]

Si[math]\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,5\pi,...,\hspace{1cm}[/math]

[math]\rightarrow\gamma(t)=t.\vec{i}+2.\vec{j}[/math]

1.3.1 Código

Figura 1.2. Representación gráfica de la curva.

%Trayectoria
a=0;b=2*pi(); 
h=0.1;
t=a:h:b;
R=1;

%Curva
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
plot(x,y,"Color","k");

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Función
text(pi()*R,2.1*R,['$ \gamma (t) = (t-sin(t))\vec{i}+(1-cos(t))\vec{j},\hspace{0.5cm}R=1 $'],'interpreter','latex',"FontSize",17);
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i}  $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j}  $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

%leyenda
legend("Cicloide");

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on

2 Vectores Velocidad y Aceleración

Para cada punto de la trayectoria el vector Velocidad se obtiene como la derivada de la función [math]γ(t)[/math], según la expresión:

[math] γ'(t)=(x'(t),y'(t))=(1-\cos(t),\sin(t))=(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j,\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)[/math]

Y su módulo según

[math] |γ'(t)|=\sqrt{(1-\cos(t))^2+\sin(t)^2}=\sqrt{2-2\cos(t)}=\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)[/math]

El vector Aceleración viene representado por la derivada segunda:

[math] γ''(t)=(x''(t),y''(t))=(\sin(t),\cos(t))=\sin(t).\vec i+\cos(t).\vec j\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)[/math]

Y su módulo vale

[math] |γ''(t)|=\sqrt{\sin(t)^2+\cos(t)^2}=1[/math]

Por tanto, para cada punto la aceleración mantiene un valor constante aunque cambie de dirección y la velocidad varía su módulo de forma que se anula cuando [math]t=0,2\pi,...[/math]

2.1 Código

Figura 2: Representación gráfica de los vectores Velocidad y Aceleración

%velocidad y aceleracion (derivadas de la parametrización)
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i}  $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j}  $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
%Vectores velocidad y aceleración
plot (x ,y ,'r') ; %curva
q1=quiver(x,y,V1,V2,1,"Color","b") ; %velocidad
q2=quiver(x,y,A1,A2,1,"color","g") ; %aceleracion
q1.AutoScale = 'off';
q2.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Velocidad","Aceleración")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on

Como se puede observar en la Figura 2, cuando el punto P está en el punto más bajo, es decir, [math]t=0,2\pi,...[/math], la aceleración es vertical y la velocidad tiene valor nulo

[math] γ''(0)=(0,1)=\vec j,\hspace{1cm}γ'(0)=(0,0)=\vec 0[/math]

Cuando P está en el punto más alto,[math]t=\pi[/math], la aceleración también es vertical pero con sentido contrario y la velocidad es horizontal, alcanzando un valor máximo.

[math] γ''(\pi)=(0,-1)=-\vec j,\hspace{1cm}γ'(\pi)=(2,0)=2\vec i[/math]

3 Longitud de la curva

El módulo del vector velocidad que se ha hallado antes para cada punto de la trayectoria, representa la longitud del sector infinitesimal de curva en ese punto. Si se calcula la integral a lo largo del intervalo, el resultado es el valor de la longitud de toda la curva. Este valor se puede calcular como la integral sobre la curva de un campo escalar constante y unitario, dada por la definición:

[math] \int_γf \; dS =\int_a^bf(γ(t)).|γ'(t)| \; dt [/math]

Si [math]f(γ(t))=1, \;[/math] entonces

[math]Long.(γ)=\int_a^b|γ'(t)| \; dt[/math]

Sustituyendo se tiene que

[math]Long.(γ)=\int_0^{2\pi}\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)} \; dt =\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos(t)} \; dt [/math]

Si se recuerdan las propiedades trigonométricas se sabe que

[math]\cos(2t)=\cos^2(t)-\sin^2(t),\hspace{1cm}[/math]pues[math]\hspace{1cm}\cos(t+t)=\cos(t).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)[/math]

O lo que es lo mismo

[math]\cos(t)=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)=1-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)[/math]

Por tanto

[math]Long.(γ)=\sqrt{2}.\int_0^{2\pi}\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} \; dt = 2\int_0^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right) \; dt = 2.\left [ -2\cos\left(\frac{t}{2}\right) \right ]_0^{2\pi}=2.\left(-2\cos(\pi)+2\cos(0)\right)=2.(2+2)=8 [/math]

3.1 Aproximación de la integral

Para aproximar el valor de la integral mediante cálculo numérico se utiliza el Método del Trapecio^[1]. .

En la Figura 3 se puede observar que la longitud es el área bajo la curva que representa el módulo del vector velocidad en cada punto. Como se ha visto antes dicho módulo puede escribirse según

[math]|γ'(t)|= 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)[/math]

3.1.1 Código

Figura 3: Representación gráfica de la integral y de la curva

%Aproximación de la integral por el Método del Trapecio
%Longitud de la curva
N=200;                            %Número de puntos
a=0; b=2*pi();                    %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N;                        %Paso
t=a:h:b;                          %Vector con valores del intervalo
f=sqrt(2)*sqrt(1-cos(t))';        %Función
w=ones(N+1,1);                    %Vector
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f                     %Resultado
result=round(result)

area(t,f,"FaceColor","r","FaceAlpha",0.5,"EdgeAlpha",0.5)   %Representación
text(pi()*0.9*R,max(f)/2,"A = "+result,"FontSize",15)
hold on
x=t-sin(t);                        
y=1-cos(t);
plot(x,y,"k")                     

%Etiquetas
xticks([0 pi()*R 2*pi()*R])
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'})
%Leyenda
legend("Área\equivA=Long.(\gamma(t))","Trayectoria\equiv\gamma(t)")

%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1*R 3.1*R]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on

4 Vectores Tangentes y Normales

Figura 4.1. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación interior

Figura 4.2. Vectores tangentes y normales a la curva. Orientación exterior

Como se ha observado el vector velocidad representa todos los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por [math]\gamma(t)[/math], por tanto, para obtener los vectores tangentes unitarios hay que dividir por el módulo, es decir,

[math] \vec t=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|}=\frac{(1-\cos(t)).\vec i+\sin(t).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)[/math]

Los vectores normales se pueden obtener girando un ángulo [math]\frac{\pi}{2}[/math] los vectores tangentes. En [math]\mathbb{R}^2[/math] esta rotación puede expresarse mediante el intercambio de coordenadas y multiplicando una coordenada por -1, en función del sentido de giro (Figuras 4.1 y 4.2). La expresión de los vectores normales según la orientación es:

Orientación interior [math]\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)[/math]

Orientación exterior [math]\hspace{1cm} si\hspace{1cm} \vec n=\frac{-sin(t).\vec i+(1-\cos(t)).\vec j}{2.sin\left(\frac{t}{2}\right)},\hspace{1cm}t∈(0,2\pi)[/math]

4.1 Código

%Vectores tangentes y normales
t=0:pi()/10:2*pi;
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
V1 = 1-cos(t);
V2 = sin(t);
%segunda derivada
A1 = sin(t);
A2 = cos(t);

%tangentes: velocidades -> unitarios
mod=sqrt(V1.^2+V2.^2);
t1=V1./mod;
t2=V2./mod;
%normales: tangentes -> giro 90º 
n1=-t2;  % -t2 Or. Ext.  t2 Or. Int.
n2=t1;   %  t1 Or. Ext. -t1 Or. Int


%Representación
figure
axis equal
hold on
%Vectores base
hold on
quiver(0,0,1,0,1,"Color","k","LineWidth",1)
quiver(0,0,0,1,1,"Color","k","LineWidth",1)
text(0.9,0.1,['$ \vec{i}  $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);
text(0.1,0.9,['$ \vec{j}  $'],'interpreter','latex',"FontSize",15);

plot (x ,y ,'c') ; %curva
q1=quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","m") ; %tangentes
q1.AutoScale = 'off';
q1=quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","b") ; %normales
q1.AutoScale = 'off';
hold off;
%Leyenda
legend("","","Curva","Vectores tangentes","Vectores normales")
%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi.R' '2\pi.R'});
yticks([-1 0 1 2]);
yticklabels({'-R' '0' 'R' '2.R'});
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-1.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on

5 Curvatura

Figura 5: Curvatura en función del ángulo girado.

Se define la curvatura de [math]\gamma(t)[/math] como la función escalar [math]\kappa:(a,b)\to\mathbb{R}[/math] tal que

[math]\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}[/math]

Sustituyendo

[math]\kappa(t)=\frac{(1-\cos(t)).\cos(t)-\sin(t).\sin(t)}{\left((1-\cos^2(t))+\sin^2(t)\right)^\frac{3}{2}}=\frac{\cos(t)-\cos^2(t)-\sin^2(t)}{(1+\cos^2(t)-2\cos(t)+\sin^2(t))^\frac{3}{2}}=[/math]

[math]=\frac{\cos(t)-1}{(2-2\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-1}{2^\frac{3}{2}}.\frac{1-\cos(t)}{(1-\cos(t))^\frac{3}{2}}=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{(1-\cos(t)}}=[/math]

[math]=\frac{-\sqrt{2}}{4}.\frac{1}{\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=\frac{-1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}[/math]

Se observa que

Si[math]\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}[/math]entonces

[math]\kappa(0)=\frac{-1}{4}.\propto=-\propto[/math]

Y

Si[math]\hspace{1cm}t=\pi,3\pi,...\hspace{1cm}[/math]entonces

[math]\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}[/math]

5.1 Código

%REPRESENTACIÓN CURVATURA
a=0;b=2*pi();  %Límites
t=linspace(a,b,100);     %Valores del intervalo

Ka=(-1/4)*sqrt(2)*(1-cos(t)).^-0.5;

plot(t,Ka);
xlim([0 2*pi()])
ylim([-5.1 0.1])
xticks([0 0.5054 pi() 2*pi()])
xticklabels({'0' '0.5' '\pi' '2\pi'})
yticks([-2 -1 -0.25 0])
xlabel("X","FontSize",15)
ylabel("\kappa","FontSize",20);
axis("equal")
grid on

6 Circunferencia osculatriz

Figura 6.1. Circunferencia osculatriz para t=0.3.

Para el cálculo de las diferentes circunferencias osculatrices es necesario determinar los diferentes radios de curvatura para los valores de t. Su expresión se corresponde con la inversa de la curvatura en valor absoluto, es decir,

[math]R(t) = \frac{1}{|\kappa(t)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}.\frac{1}{\sin\left(\frac{t}{2}\right)}}[/math]

Operando se obtiene

[math]R(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)[/math]

Se observa que

Si[math]\hspace{1cm}t=0,2\pi,4\pi,...\hspace{1cm}[/math]entonces

[math]R(t) = 0\hspace{1cm}[/math].

Es decir, la circunferencia que mejor se aproxima a la curva tiene radio nulo y por tanto se trata de un punto. Luego los extremos de la línea de centros de circunferencias osculatrices coinciden con los de la cicloide. Además, el radio de curvatura es máximo cuando [math]t=\pi,3\pi,...[/math].

[math]\kappa(\pi)=\frac{-1}{4}[/math]

[math]R(\pi) = \frac{1}{|\kappa(\pi)|}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4[/math]

Para el cálculo de los centros de las circunferencias se han realizado las siguientes operaciones:

1. Producto del radio de curvatura por el vector normal con orientación interior. Se obtienen así los desplazamientos de valor el radio de curvatura, según la dirección normal.

[math]R.\vec n(t) = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{sin(t).\vec i-(1-\cos(t)).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{1-\cos(t)}} = 4.\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \frac{\sin(t).\vec i-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j}{\sqrt{2}.\sqrt{2}.\sin\left(\frac{t}{2}\right)}=[/math]

[math]\hspace{1cm}=2.\sin(t).\vec i-4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).\vec j[/math]

2. Suma de los vectores de posición de la curva y los desplazamientos obtenidos en el punto 1. Se obtienen las coordenadas de los centros de las circunferencias osculatrices.

[math]C(t) = \gamma(t) + R.\vec n(t) = (t-\sin(t),1-\cos(t)) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) =[/math]

[math]=\left(t-\sin(t),2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right) + \left(2\sin(t) , -4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)=[/math]

[math]=\left(t+\sin(t),-2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right)[/math]

Si[math]\hspace{1cm}t=0.3\hspace{1cm}[/math]entonces [math]\hspace{1cm}C(0.3)=\left(0.5955 , -0.0446\right)\hspace{1cm}[/math] y[math]\hspace{1cm} R(0.3) = 4.\sin\left(\frac{0.3}{2}\right)= 0.5978\hspace{1cm}[/math]

En la Figura 6.1 se observa que las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia osculatriz correspondiente a [math]\hspace{0.2cm}t=0.3\hspace{0.2cm}[/math] son una aproximación de la solución exacta ya que dependen del número de puntos de muestreo tomados para el cálculo numérico. En este caso se han utilizado 100 valores comprendidos dentro del intervalo [math]\hspace{0.2cm} I \hspace{0.2cm}[/math]. Para obtener un resultado más acertado se ha tenido que aumentar el número de valores del intervalo hasta 20000 (Figura 6.2).

Figura 6.2. Circunferencia osculatriz para t=0.3 con N=20000 valores de t

6.1 Código

a=0;b=2*pi();  %Límites
N=100; %Nº de valores del intervalo
t=linspace(a,b,N);  % Vector de valores del intervalo    
%Cicloide
x=t-sin(t);
y=1-cos(t);
%primera derivada (velocidades)
x1 = 1-cos(t);
y1 = sin(t);
%segunda derivada (aceleraciones)
x2 = sin(t);
y2 = cos(t);

%Curvaturas y radios
modk=(x1.^2+y1.^2).^(3/2);
K=(x1.*y2-x2.*y1)./modk;
R=1./abs(K);

%tangentes -> unitarios
mod=sqrt(x1.^2+y1.^2);
t1=x1./mod;
t2=y1./mod;
%normales. Orientación interior
n1=t2;
n2=-t1;
%Desplazamientos de valor el radio según normal
C1=R.*n1;
C2=R.*n2;

hold on
plot(x,y);

%Centros osculatrices. Coordenadas
Cx=x+C1;
Cy=y+C2;
plot(Cx,Cy,'--',"Color","k")

q=quiver(Cx,Cy,-C1,-C2,1);
q.AutoScale = 'off';

%Circunferencia osculatriz de t=0.3

dif=abs(t-0.3)
pos=find(dif == min(dif));
Ro=R(pos);
cxo=Cx(pos);
cyo=Cy(pos);
cx=Cx(pos)+Ro*cos(t);
cy=Cy(pos)+Ro*sin(t);
plot(cxo,cyo,'.',"MarkerSize",15,"color","k");
plot(cx,cy,'k');
q=quiver(cxo,cyo,-C1(pos),-C2(pos),1,"LineWidth",1.5,"Color","k");
q.AutoScale = 'off';

%Etiquetas
xticks([0 pi() 2*pi()]);
xticklabels({'0' '\pi' '2\pi'})
text(0.3*cxo,3*cyo,"C("+cxo+","+cyo+")","FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Centro osculatriz
text(0.5*cxo,-2*cyo,"R= "+Ro,"FontSize",12,"Color","k","FontWeight","bold"); %Radio osculatriz
%leyenda
legend("Trayectoria","Línea de centros","Radios de curvatura","","Circunferencia osculatriz")
%Ejes
axis("equal")
xlim([-0.1 2*pi()+0.1])
ylim([-2.1 3.1]);
xlabel("X","FontSize",15,"VerticalAlignment","middle");ylabel("Y","FontSize",15);
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box off
grid on

7 Curiosidades

Aplicaciones físicas

Curva braquistócrona

Existe una curva cicloide invertida, llamada curva braquistócrona o curva del descenso rápido que es recorrida en el menor tiempo posible por un cuerpo que comienza en un punto inicial con velocidad cero y que se desplaza a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción. La curva debe cumplir ciertas propiedades como que el punto inicial (con pendiente máxima), se sitúa a mayor elevación que el segundo sin presencia de puntos máximos y/o mínimos entre ellos. No se trata de longitud mínima (en cuyo caso sería una recta), sino del tiempo mínimo en pasar de uno a otro.

Figura 7.1. Curva braquistócrona.

Curva tautócrona

Es otra curva cicloide sobre la cual un objeto abandonado a su propio peso, en ausencia de rozamiento, se deslizará desde cualquier punto al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo independientemente del punto de partida.

Figura 7.2. Curva tautócrona.

En relación con ésta propiedad, encontramos el péndulo de Huygens, determina que el periodo es constante e independiente en la amplitud del movimiento. Además, presenta las propiedades físicas y geométricas.

Figura 7.3. Péndulo de Huygens.

8 Estructura civil

Figura 8.1. Museo de Arte Kimbell en Fort Worth. Louis Kahn

9 Superficie reglada

Podemos ver fácilmente que la cicloide parametrizada en coordenadas cartesianas en [math]\mathbb{R}^3[/math] es:

[math] γ=γ(t)=(x(t),y(t),z(t))=(0,R.t-R.\sin(t),R+R\cos(t)),\hspace{1cm}t∈I=(0,2π)[/math].

Queremos dibujar la superficie reglada asociada a dicha curva mediante segmentos ortogonales de longitud 1 y vector director [math]\mathbb{i}[/math]. Una posible parametrización es:

[math]Φ(u, v)= (u, v-sin(v), 1+cos(v))\hspace{1cm}u∈(0,1)\hspace{1cm} v∈(0,2π)[/math].

Figura 9. Superficie reglada.

9.1 Código

n=30;
u=linspace (0,1,n) ;
v=linspace (0,2*pi,n);
[U,V]=meshgrid(u,v) ;
x=U;
y=V-sin(V);
z=1+cos(V);
figure
surf(x,y,z);
axis equal
title ('Superficie reglada : arco cicloidal . ') ;

La curva paramétrica W=(0,t−sin(t),1+cos(t)) describe una curva en el espacio tridimensional que puede tener diversas aplicaciones en ingeniería civil, especialmente en el diseño y planificación de proyectos. Aquí hay algunos casos en los que se podrían utilizar curvas de este tipo:

Diseño de Puentes y túneles

Figura 8.2. puente de Londres (Arizona). John Rennie

En el diseño de puentes, las formas curvas a menudo se utilizan para proporcionar resistencia estructural y gran estabilidad.
Las formas curvas se utilizan en el diseño de puentes y otras estructuras para distribuir las cargas de manera eficiente.
La curva podría ser utilizada en el diseño estético o funcional de elementos arquitectónicos en puentes u otras estructuras, especialmente cuando se busca un diseño distintivo.
En los túneles, la forma de la curva podría ayudar a la transición de la geometría de las entradas y salidas

Diseño de elementos arquitectónicos

Figura 8.4. Real Observatorio de Greenwich. Christopher Wren

En la arquitectura, podría emplearse para elementos decorativos de edificios, como pueden ser columnas y arcos.
Las propiedades geométricas de la curva podrían influir en el análisis de tensiones y deformaciones en elementos estructurales.

Figura 8.3. Catedral de San Pablo en Londres. Christopher Wren

10 Masa de la superficie con densidad variable

Para calcular la masa de la superficie anterior siendo la densidad definida por la función [math]f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)[/math], debemos aplicar la definición:

[math]masa=\int\int_Sf \; dS =\int_v\int_uf(S(u,v)).|\vec{n}| \; dudv [/math].

Siendo [math]S(u,v)=(u,v-sin(v),1+cos(v)),\hspace{0.2cm}u∈I=[0,1],\hspace{0.2cm}v∈I=[0,2π][/math] y [math]\vec{n}[/math] el elemento diferencial de superficie orientado positivamente.

Se calcula mediante [math] \vec{n}=\vec{Su'}\times\vec{Sv'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & 0 & 0 \\0 & 1-cos(v) & -sin(v)\end{vmatrix}=sin(v)\vec{j}+(1-cos(v))\vec{k}[/math], donde [math]\vec{i},\vec{j}, \vec{k}[/math] son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes [math]x,y,z[/math].

Entonces [math]|\vec{n}|=\sqrt{(1-cos(v))^2+sen^2(v)}=\sqrt{1+cos^2(v)-2cos(v)+sen^2(v)}=\sqrt{2(1-cos(v)}[/math]

Nos queda la siguiente integral:

[math]\int_0^1\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dvdu [/math]

Si operamos la integral nos queda así, ya que al no depender la función de u saldría de la integral como constante con valor 1:

[math]m=\int_0^{2\pi} cos(v-sin(v)).\sqrt{2(1-cos(v)} \; dv[/math]

Dicha integral la resolvemos con el siguiente código mediante el método del trapecio.

10.1 Código

N=200;                                       %Número de puntos
a=0; 
b=2*pi;                                      %Extremos del intervalo
h=(b-a)/N;                                   %Coordenadas de partición 
v=a:h:b;
f=(cos(v-sin(v)).*sqrt(2-2.*cos(v)))';       %Función
w=ones(N+1,1);                               %weights vector
w(1)=1/2; 
w(N+1)=1/2;
result=h*w'*f;
fprintf ('La masa de la superficie es %.2f u.m.',result);

La máquina nos devuelve que: La masa de la superficie es 1.37 u.m.

Observación:

Figura 10.1. Distribución de la densidad según dirección j

Para entender como se distribuye la densidad en todos los puntos de la superficie (contenidos en R3) se puede representar la función densidad según la función

[math]f(x_2)=cos(x_2)[/math]

que admite valores entre -1 y 1 pues [math]x_2[/math] pertenece a [math](0, 2\pi)[/math]. Se puede ver gráficamente en la Figura 10.

Sin embargo resulta difícil pensar que la densidad es negativa en algún punto de la superficie. Por este motivo, se considera la siguiente función densidad

[math]f(x_1,x_2,x_3)=cos(x_2)+1[/math].

De esta manera se tiene una superficie cuya densidad varía en función de la coordenada [math]x_2[/math] manteniéndose constante en las otras dos, por tanto la densidad es constante para [math]x_2=cte[/math], es decir, para las distintas rectas generatrices con dirección [math]\vec i[/math] que forman la superficie. Su valor va desde 2 en la generatriz más alta hasta anularse en la generatriz inferior. Se admite este resultado por considerarse aproximado en el cálculo de la masa. En la Figura 10.2. se puede observar una representación de la nueva función de densidad en el espacio, como una superficie cuyas coordenadas [math]x_3[/math] son el valor de la densidad en los puntos de la superficie junto a la que se representa.

Figura 10.2. Densidad vista como superficie y Superficie considerada

Con esta distribución de la densidad: La masa de la superficie es 9.37 u.m.

11 Bibliografía

Método del Trapecio para el cálculo aproximado de integrales

Mathworks. Help Center

[1]

11.1 Referencias

↑ Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida

[1] Se trata de un método de integración numérica para aproximar el valor de una integral definida

[1]

Diferencia entre revisiones de «Parametrización de curvas. La cicloide (Grupo 24)»