Diferencia entre revisiones de «Catenaria grupo Retiro»

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{{ TrabajoED | La catenaria | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Paola Álvarez García
  
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Nuria Moreno Cueva
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Alba Martín Sánchez }}
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== Dibujar la curva ==
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Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
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γ(t) = (x(t), y(t)) = (t, cosh(t)), t ∈ (−1, 1).
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{{matlab|codigo=
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% Rango de valores para t
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t = linspace(-1, 1, 1000);
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% Coordenadas x e y de la curva catenaria
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% Dibujo de la curva catenaria
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figure
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== Vectores velocidad γ’(t) y aceleración γ’(t) ==
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γ’(t) = (1,sinh(t)) = i + sinh(t)j,  t ∈ (−1, 1).
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== Longitud de la curva ==
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== Vectores tangente ~t(t) y normal ~n(t) ==
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VECTOR TANGENTE:
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% Vectores tangentes unitarios interiores
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% Vectores tangentes unitarios 
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% Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
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ax = gca;
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% Etiquetas
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VECTOR NORMAL:
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% Definición de los parámetros
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% Definición de la curva
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n2i=-(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2));
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% Vectores normales unitarios orientación exterior
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% Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
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ax = gca;
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% Etiquetas
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== Curvatura κ(t) ==
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% Rango de valores para t
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% Curvatura k(t)
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k = cosh(t).^(1/3);
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% Graficamos k(t)
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== Circunferencia osculatriz ==
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Por circunferencia osculatriz nos referimos a aquella que toca a la curva en un punto en específico, y además, tiene la misma derivada en este punto que ésta. 
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Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto P=(γ(0),0):
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Gráficamente:
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% Definir el radio y el centro de la circunferencia
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centro = [0, 2];
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% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia
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theta = linspace(0, 2*pi, 100);
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% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia
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x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta);
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y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta);
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% Definir la parametrización de la catenaria
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t = linspace(-1, 1, 100);
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y_catenaria = cosh(t);
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% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica
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hold on;  % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas
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% Configurar el aspecto del gráfico
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title('Circunferencia y Catenaria');
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ylabel('Eje Y');
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hold off;  % Liberar la gráfica actual para futuros trazados
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== Información de la curva ==
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La curva catenaria recibe este nombre por la forma que adopta una cuerda o cadena (“catena” en latín, de ahí su nombre) flexible de densidad uniforme, que está sujeta en sus dos extremos, y en la que la única fuerza que actúa sobre ella es la gravedad (es la forma que tendría una cuerda si la sujetásemos por sus extremos y la dejásemos caer).
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Si nos adentramos en la historia de las matemáticas podremos ver cómo esta curva ha interesado a numerosos científicos. Al principio se definió como una parabola pero años más tarde se descubrió que no era la forma que adoptaba la cadena al ser sujeta por sus extremo y caer por la gravedad. 
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Joachuin Jungius fue el primero en refutar la hipótesis de que la cadena adoptaba forma de parábola, pero sin ser capaz de dar la solución. Fue en 1691 que tres matemáticos obtuvieron la ecuación. Se trataba de Johann Bernoulli, Gottfried Leibniz y Christiaan Huygens.
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La ecuación matemática que describe la curva catenaria es una función hiperbólica llamada coseno hiperbólico. La ecuación general de una catenaria en coordenadas cartesianas es y=acosh(ax ), donde a es la constante de la catenaria. Es importante tener en cuenta que, en situaciones prácticas, factores como la elasticidad y el peso propio del cable pueden influir en la forma de la catenaria. Sin embargo, la ecuación mencionada proporciona una buena aproximación para muchos casos prácticos.
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El matemático y físico suizo Leonhard Euler fue el primero en demostrar que la curva catenaria, al girar sobre el eje x, producía el catenoide:
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Realmente, la catenaria no es una curva, sino una familia de curvas, las cuales están determinadas por las coordenadas de cada uno de sus extremos, y por sus longitudes. Por ello se define la catenaria como la geometría natural que adquiere una cadena cuando la agarras por sus extremos y la dejas que caiga por su propio peso.
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La catenaria es simétrica respecto a su punto más bajo, también conocido como vértice o punto más bajo de la curva.
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Una de las características más importantes de dicha curva aplicada al ejemplo de la cadena es que esta solo está sometida a dos fuerzas: la tensión que mantiene unida la cadena en sus diferentes puntos y la gravedad que actúa sobre ella. Por ello, Robert Hooke cayó en la cuenta de que, a la hora de diseñar arcos para diferentes proyectos de ingeniería civil, esta curva invertida era una buena opción para poder crear arcos más finos que requiriesen menos material pues las fuerzas horizontales se compensan y son inexistentes.
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Esta curva es muy usada en el ámbito de la ingeniería y sus construcciones. En los puentes es utilizada para conseguir arcos de gran altura con mínimos empujes laterales, sin necesidad de usar apoyos laterales. Se puede observar, además de en puentes colgantes, en líneas de transmisión eléctrica suspendidas, y en la suspensión de cables en general.
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== Ejemplos ==
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Gaudí usaba en sus obras esta curva. Se preocupaba por la estabilidad de sus estructuras. Colgaba sus maquetas al revés, de la que colgaban hilos que simulaban columnas y arcos. Estos hilos formaban catenarias. Entre sus obras destaca La Sagrada Familia, en España
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Otros ejemplos mundialmente conocidos podrían ser: la Cúpula de la Catedral de Santa María del Fiore, en Italia de Brunelleschi
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el Arco Gateway, en Estados Unidos, en la que influyeron los conocimientos sobre esta curva del ingeniero Hannskarl Bandel.
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la Antigua Reserva Federal de Minneapolis, en la que el arquitecto Gunnar Birkerts se inspiró en un puente colgante
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El Estadio Olímpico de Atenas, el ‘SPYROS LOUIS’ que, a pesar de tener una superficie de unas 96 hectáreas aproximadamente y la capacidad de albergar a 75.000 espectadores, Santiago Calatrava consiguió plasmar su idea de obras Góticas-modernas sin que la estructura se desplomara gracias a la Catenaria.
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La configuración del estadio se compone principalmente de una estructura dinámica de acero colgante, cuyos ejes principales son dos soportes metálicos arqueados que se extienden a lo largo de trescientos metros y alcanzan una altura central de 78 metros. Estos ejes atraviesan el estadio y sostienen dos cúpulas suspendidas desde un soporte de arcos dobles. Los dos soportes arqueados están equipados con conexiones metálicas que se sujetan a láminas de policarbonato de 12 milímetros de grosor y con casi cinco metros por uno de dimensión. Estas láminas de tono azulado crean un ambiente cálido, amplio y luminoso en el estadio, al mismo tiempo que permiten a los espectadores contemplar el cielo griego. En total, el peso del techo asciende a 17.000 toneladas, cubriendo una superficie de casi 25.000 metros cuadrados.
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== Superficie de revolución ==
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La superficie que sale al girar una catenaria alrededor de un eje se denomina catenoide.
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== Distribución de la densidad a lo largo de la superficie ==
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La función de densidad de superficie dada es f(x,y,z)=z^2. Para analizar cómo se distribuye la densidad en la superficie, podemos examinar la variación de f en la parametrización de la superficie. En este contexto, la parametrización se expresa como x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u). La densidad a lo largo de la superficie está definida como f(u,v)=z^2(u,v)=u2.
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Esto implica que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje z. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje z, la densidad aumenta de manera cuadrática.
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Una vez que entendemos la distribución de la densidad en la superficie, podemos proceder a calcular la masa de la superficie.
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La masa M la podemos calcular:
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% Parámetros
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u = linspace(-1, 1, 1000);
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v = linspace(0, 2*pi, 1000);
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[U, V] = meshgrid(u, v);
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% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas
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X1 = cosh(U) .* cos(V);
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% Densidad
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densidad = U.^2;
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% Calcular la masa de la superficie
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[[Categoría:Teoría de Campos]]
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[[Categoría:TC23/24]]

Revisión actual del 23:11 15 dic 2023

Trabajo realizado por estudiantes
Título La catenaria
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2023-24
Autores Paola Álvarez García

Nuria Moreno Cueva

Alba Martín Sánchez

Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura


1 Dibujar la curva

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

γ(t) = (x(t), y(t)) = (t, cosh(t)), t ∈ (−1, 1). 

% Rango de valores para t 
t = linspace(-1, 1, 1000); 
% Coordenadas x e y de la curva catenaria 
x = t; 
y = cosh(t); 
% Dibujo de la curva catenaria 
figure 
plot(x,y); 
title('Curva Catenaria: \gamma(t) = (t, cosh(t))'); 
xlabel('x'); 
ylabel('y'); 
grid on;




2 Vectores velocidad γ’(t) y aceleración γ’(t)

γ’(t) = (1,sinh(t)) = i + sinh(t)j, t ∈ (−1, 1). γ’’(t) = (0,cosh(t)) = cosh(t)j, t ∈ (−1, 1). 

n=20; 
t = linspace(-1,1,n); 
x = t; 
y = cosh(t); 
V1=linspace(1,1,n); 
V2=sinh(t); 
A1=linspace(0,0,n); 
A2=cosh(t); 
figure 
hold on 
%Curva 
plot(x,y,'LineWidth',2,'Color','red'); 
%Velocidad 
quiver(x,y,V1,V2,'b'); 
%Aceleración 
quiver(x,y,A1,A2,'g'); 
axis equal 
hold off


3 Longitud de la curva

4 Vectores tangente ~t(t) y normal ~n(t)

VECTOR TANGENTE: 

x=t; 
y=cosh(t); 
% Vectores tangentes unitarios interiores 
t1i=(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2)); 
t2i=sinh(t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2)); 
% Vectores tangentes unitarios  
hold on 
plot(x,y,'LineWidth',2); 
quiver(x,y,t1i,t2i); 
hold off 
% Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas 
ax = gca; 
ax.XAxisLocation = 'origin'; 
ax.YAxisLocation = 'origin'; 
% Etiquetas 
title('Vector tangente unitario') 
legend("Catenaria","Vector tangente unitario") 
axis("equal") 
ax.XAxisLocation = 'origin'; 
ax.YAxisLocation = 'origin'; 
box on 
grid minor

VECTOR NORMAL: 

% Definición de los parámetros 
a=-1; 
b=1; 
h=0.09; 
t=a:h:b; 
% Definición de la curva 
x=t; 
y=cosh(t); 
% Vectores normales unitarios orientación interior 
n1i=sinh(t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2)); 
n2i=-(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2)); 
% Vectores normales unitarios orientación exterior 
n1e=-sinh(t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2)); 
n2e=(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2)); 
hold on 
plot(x,y,'LineWidth',2); 
quiver(x,y,n1i,n2i); 
quiver(x,y,n1e,n2e); 
hold off 
% Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas 
ax = gca; 
ax.XAxisLocation = 'origin'; 
ax.YAxisLocation = 'origin'; 
% Etiquetas 
title('Vectores normales') 
legend("Catenaria","Vector normal interior","Vector normal exterior") 
axis("equal") 
ax.XAxisLocation = 'origin'; 
ax.YAxisLocation = 'origin'; 
box on 
grid minor


5 Curvatura κ(t)

% Rango de valores para t 
t = linspace(-1, 1, 1000); 
% Curvatura k(t) 
k = cosh(t).^(1/3); 
% Graficamos k(t) 
plot(t, k, 'LineWidth', 2); 
title('Curvatura kappa(t) = cosh^{-1/3}(t)'); 
xlabel('t'); 
ylabel('\kappa(t)');


6 Circunferencia osculatriz

Por circunferencia osculatriz nos referimos a aquella que toca a la curva en un punto en específico, y además, tiene la misma derivada en este punto que ésta.

Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia osculatriz en el punto P=(γ(0),0):



Gráficamente: 

% Definir el radio y el centro de la circunferencia 
radio = 1; 
centro = [0, 2]; 
% Crear un conjunto de ángulos para generar puntos en la circunferencia 
theta = linspace(0, 2*pi, 100); 
% Calcular las coordenadas de los puntos en la circunferencia 
x_circunferencia = centro(1) + radio * cos(theta); 
y_circunferencia = centro(2) + radio * sin(theta); 
% Definir la parametrización de la catenaria 
t = linspace(-1, 1, 100); 
x_catenaria = t; 
y_catenaria = cosh(t); 
% Dibujar la circunferencia y la catenaria en la misma gráfica 
figure; 
plot(x_circunferencia, y_circunferencia, 'b-', 'LineWidth', 2); 
hold on;  % Mantener la gráfica actual y agregar nuevas 
plot(x_catenaria, y_catenaria, 'r-', 'LineWidth', 2); 
% Configurar el aspecto del gráfico 
axis equal; % Hace que las unidades en x e y sean iguales 
grid on; 
title('Circunferencia y Catenaria'); 
xlabel('Eje X'); 
ylabel('Eje Y'); 
legend('Circunferencia', 'Catenaria'); 
hold off;  % Liberar la gráfica actual para futuros trazados


7 Información de la curva

La curva catenaria recibe este nombre por la forma que adopta una cuerda o cadena (“catena” en latín, de ahí su nombre) flexible de densidad uniforme, que está sujeta en sus dos extremos, y en la que la única fuerza que actúa sobre ella es la gravedad (es la forma que tendría una cuerda si la sujetásemos por sus extremos y la dejásemos caer).

Si nos adentramos en la historia de las matemáticas podremos ver cómo esta curva ha interesado a numerosos científicos. Al principio se definió como una parabola pero años más tarde se descubrió que no era la forma que adoptaba la cadena al ser sujeta por sus extremo y caer por la gravedad.

Joachuin Jungius fue el primero en refutar la hipótesis de que la cadena adoptaba forma de parábola, pero sin ser capaz de dar la solución. Fue en 1691 que tres matemáticos obtuvieron la ecuación. Se trataba de Johann Bernoulli, Gottfried Leibniz y Christiaan Huygens.


La ecuación matemática que describe la curva catenaria es una función hiperbólica llamada coseno hiperbólico. La ecuación general de una catenaria en coordenadas cartesianas es y=acosh(ax ), donde a es la constante de la catenaria. Es importante tener en cuenta que, en situaciones prácticas, factores como la elasticidad y el peso propio del cable pueden influir en la forma de la catenaria. Sin embargo, la ecuación mencionada proporciona una buena aproximación para muchos casos prácticos.

El matemático y físico suizo Leonhard Euler fue el primero en demostrar que la curva catenaria, al girar sobre el eje x, producía el catenoide:



Realmente, la catenaria no es una curva, sino una familia de curvas, las cuales están determinadas por las coordenadas de cada uno de sus extremos, y por sus longitudes. Por ello se define la catenaria como la geometría natural que adquiere una cadena cuando la agarras por sus extremos y la dejas que caiga por su propio peso.

La catenaria es simétrica respecto a su punto más bajo, también conocido como vértice o punto más bajo de la curva.

Una de las características más importantes de dicha curva aplicada al ejemplo de la cadena es que esta solo está sometida a dos fuerzas: la tensión que mantiene unida la cadena en sus diferentes puntos y la gravedad que actúa sobre ella. Por ello, Robert Hooke cayó en la cuenta de que, a la hora de diseñar arcos para diferentes proyectos de ingeniería civil, esta curva invertida era una buena opción para poder crear arcos más finos que requiriesen menos material pues las fuerzas horizontales se compensan y son inexistentes.

Esta curva es muy usada en el ámbito de la ingeniería y sus construcciones. En los puentes es utilizada para conseguir arcos de gran altura con mínimos empujes laterales, sin necesidad de usar apoyos laterales. Se puede observar, además de en puentes colgantes, en líneas de transmisión eléctrica suspendidas, y en la suspensión de cables en general.


8 Ejemplos

Gaudí usaba en sus obras esta curva. Se preocupaba por la estabilidad de sus estructuras. Colgaba sus maquetas al revés, de la que colgaban hilos que simulaban columnas y arcos. Estos hilos formaban catenarias. Entre sus obras destaca La Sagrada Familia, en España 



Otros ejemplos mundialmente conocidos podrían ser: la Cúpula de la Catedral de Santa María del Fiore, en Italia de Brunelleschi



el Arco Gateway, en Estados Unidos, en la que influyeron los conocimientos sobre esta curva del ingeniero Hannskarl Bandel.



la Antigua Reserva Federal de Minneapolis, en la que el arquitecto Gunnar Birkerts se inspiró en un puente colgante



El Estadio Olímpico de Atenas, el ‘SPYROS LOUIS’ que, a pesar de tener una superficie de unas 96 hectáreas aproximadamente y la capacidad de albergar a 75.000 espectadores, Santiago Calatrava consiguió plasmar su idea de obras Góticas-modernas sin que la estructura se desplomara gracias a la Catenaria.


La configuración del estadio se compone principalmente de una estructura dinámica de acero colgante, cuyos ejes principales son dos soportes metálicos arqueados que se extienden a lo largo de trescientos metros y alcanzan una altura central de 78 metros. Estos ejes atraviesan el estadio y sostienen dos cúpulas suspendidas desde un soporte de arcos dobles. Los dos soportes arqueados están equipados con conexiones metálicas que se sujetan a láminas de policarbonato de 12 milímetros de grosor y con casi cinco metros por uno de dimensión. Estas láminas de tono azulado crean un ambiente cálido, amplio y luminoso en el estadio, al mismo tiempo que permiten a los espectadores contemplar el cielo griego. En total, el peso del techo asciende a 17.000 toneladas, cubriendo una superficie de casi 25.000 metros cuadrados.


9 Superficie de revolución

La superficie que sale al girar una catenaria alrededor de un eje se denomina catenoide. 

u=linspace(-1,1,50); 
v=linspace(0,2*pi,50); 
[U,V]=meshgrid(u,v); 
x1=cosh(U).*cos(V); 
x2=cosh(U).*sin(V); 
x3=U; 
figure; 
surf(x1,x2,x3,'EdgeColor','none'); 
title('catenaria en R3'); 
xlabel('x1'); 
ylabel('x2'); 
zlabel('x3'); 
axis equal; 
grid on;



10 Distribución de la densidad a lo largo de la superficie

La función de densidad de superficie dada es f(x,y,z)=z^2. Para analizar cómo se distribuye la densidad en la superficie, podemos examinar la variación de f en la parametrización de la superficie. En este contexto, la parametrización se expresa como x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u). La densidad a lo largo de la superficie está definida como f(u,v)=z^2(u,v)=u2.

Esto implica que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje z. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje z, la densidad aumenta de manera cuadrática.

Una vez que entendemos la distribución de la densidad en la superficie, podemos proceder a calcular la masa de la superficie.


La masa M la podemos calcular: 





% Parámetros 
u = linspace(-1, 1, 1000); 
v = linspace(0, 2*pi, 1000); 
[U, V] = meshgrid(u, v); 
% Parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas 
X1 = cosh(U) .* cos(V); 
X2 = cosh(U) .* sin(V); 
X3 = U; 
% Densidad 
densidad = U.^2; 
% Calcular la masa de la superficie 
M = trapz(v, trapz(u, densidad .* sqrt((sinh(U).^2 + cosh(U).^2) .* U.^2), 1)); 
disp(['La masa de la superficie es aproximadamente: ' num2str(M)]);
Obtenido de «https://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Catenaria_grupo_Retiro&oldid=66590»