Diferencia entre revisiones de «Flujo de Poiseuille (GRUPO 10A)»

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Revisión del 00:55 14 dic 2023

Trabajo realizado por estudiantes
Título Flujo de Poiseuille (GRUPO 10A)
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2023-24
Autores Alba Piedad Prats Moreno
Carlos Muñoz González
Carla De Juan Merchán
Rodrigo Prado Fornos
Miguel Vela Gonçalves Cerejeira
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura


1 Introducción

La ley de Poiseuille se utiliza para describir el flujo estacionario y laminar de un líquido incomprensible.

En el estudio de esta ley nos enfocamos en el flujo de un líquido incomprensible a través de una tubería cilíndrica cuyo radio es 2 centrada en el eje OZ.

La magnitud de este flujo viene determinada por el gradiente de presión y el radio de la propia tubería, para el desarrollo de este estudio hemos utilizado los programas Octave y Matlab y hemos trabajado en coordenadas cilíndricas.


2 Mallado de la sección de la tubería

Representación del mallado de dimensión 2, de la sección longitudinal del eje x=0. Consideraremos la región encerrada en las coordenadas (rho,z) = [0,3] x [0,10].


Mallado de la sección
%1. Definimos los ejes
rho=0:0.2:2; 
z=0:0.2:10; 
%2. Definimos mallado en 2 dimensiones
[xx,yy]=meshgrid(rho,z); %Mallado XY.
hold on
mesh(xx,yy,0.*xx); %Representamos la tubería
axis([0,3,0,10]); %Rango de los ejes
xlabel('ρ') ;
ylabel('z') ;
view(2);
title ('Mallado de la sección');
hold off



3 Ecuación de Navier-Stokes Estacionaria

La ecuación de Navier-Stokes describe como se mueve un fluido newtoniano. Esta herramienta es esencial para comprender como se comportan los fluidos en sistemas hidráulicos, como tuberías, canales... Antes de sumergirnos en la demonstración es crucial establecer que el fluido es incompresible ya que esta ecuación rige el comportamiento de los fluidos newtonianos. En el enunciado nos proporcionan la siguiente igualdad:

[math]\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=f\left ( \rho \right )\overrightarrow{ez}[/math] y su presión [math]p\left ( x,y \right )=p1+\left ( p2-p1 \right )\left ( (z-1)/2 \right )[/math]

Las variables que compreenden la ecuación de Navier-Stokes son las siguiente:

- [math]\mu[/math] es el coeficiente de viscosidad.

- p1 representa la presión para valores de z=1.

- p2 lo hará para los valores de z=3.

El primer térmido de la ecuación será:

[math](\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u})[/math]

Si desarrollamos este primer término el valor es nulo. Por ello, podemos despreciar el primer término de la ecuación Navier-Stokes obteniendo:

[math] \frac{1}{\rho } \frac{\partial }{\partial \rho } \left ( \rho \frac{\partial f(\rho )}{\partial \rho } \right ) = \frac{p_{2}-p_{1}}{\mu }[/math]

Esta ecuación representa la derivada segunda de f( [math] \rho [/math]). Para obtener el valor de [math] \rho [/math] podemos hacer una integral doble y a continuación multiplicar por [math] \rho [/math] ya que se trata de un gradiente en coordenadas cilíndricas:

[math]f\left ( \rho \right )=\frac{p2-p1}{4\mu}\rho ^{2} +Cln\left (\rho \right )+K[/math].

La velocidad del fluido converge a 0 en las paredes de la tubería. Consequentemente mayor será la velocidad del fluido cuando nos acercamos al centro de la tibería. Como el radio de la tubería es 2, el valor de la velocidad en los extremos es nula.

Es decir, [math]f\left (2\right )=0[/math], [math]f\left ( 0 \right )=0[/math],

Vamos a proponer un sistemas de dos ecuaciones y obtener las constantes de integración:

[math]K=\frac{p1-p2}{\mu}[/math]

[math]C=0[/math]

Finalmente obtenemos la expresión f([math] \rho [/math]):

[math]f\left ( \rho \right )=\frac{1}{\mu }\left [ \frac{p2-p1}{4 }\rho ^{2} +p1-p2\right ][/math]

Para comprobar la condición de incomprensibilidad (el agua siempre ocupa el mismo volumen), vamos a hallar la divergencia del campo:

[math]\bigtriangledown \cdot \overrightarrow{u}=0=\frac{1}{\rho } \left\{ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho u_{\rho } \right )+ \frac{\partial }{\partial \theta }(u_{\theta })+ \frac{\partial }{\partial z}(\rho u_{z})\right\}[/math]

En conclusión, como la divergencia es nula, podemos afirmar que no hay variaciones de volumen.



4 Campo de presiones y campo de velocidades

Vamos a dar como dato: [math] p1=4 [/math], [math] p2=1 [/math] y [math] \mu=1 [/math].

4.1 Campo de velocidades

Anteriormente hemos obtenido la función de velocidad. Vamos a proceder a sustituir los valores dados:´

[math]\vec{u}(\rho,\theta,z)=(\frac{-3\rho ^{2}}{4} +3)\vec{e_z}[/math]

Para su representación se ha introducido en Matlab, el siguiente código:

Campo de velocidades.
x=0:0.2:2; %Intervalo de 'ρ'
z=0:0.2:10; %Intervalo de 'z'
[X,Z]=meshgrid(x,z);
ux=(-3./4).*X.^2+3; %Dar valor a 'u'
uz=0.*zz;
hold on
quiver(X,Z,ux,uz)  %Representación
axis([0,5,0,12])
xlabel('ρ');
ylabel('z');
hold off
view(2)
title('Campo de velocidades')


4.2 Campo de presiones

La expresión del campo de presiones viene dada como:

[math] p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(z-1)[/math]

[math]p_1=4 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1[/math] .Obteniendo, por tanto:

[math] p(x,y)=4-(3z+3)=1-3z[/math]


Campo de presiones
x=0:0.05:2; %Rango de 'ρ'
z=0:0.05:10; &Rango de 'z'
[X,Z]=meshgrid(x,z); 
figure (1)
p=1-3*Z; %Definimos rho
surf(X,Z,p)
view(2)
axis([0,5,0,12])
colorbar
xlabel('ρ')
ylabel('y')
Title('Campo de presiones')


5 Líneas de corriente

Para dibujar las líneas de corriente del campo [math]\overrightarrow{u}[/math], debemos tener en cuenta que estas son tangenes a [math]\overrightarrow{u}[/math] en cada apunto.

Procedemos a calcular [math]\overrightarrow{v}[/math] que es ortogonal a [math]\overrightarrow{u}[/math] ya que se comprueba que: [math]\overrightarrow{v}=\overrightarrow{e_{\theta }}\cdot \overrightarrow{u}[/math].

Como hemos hallado anteriormente, la divergencia de [math]\overrightarrow{u}[/math] es nula. Consequentemente, el rotacional del campo [math]\overrightarrow{v}[/math] es nulo también.

La función de corriente o potencial escalar viene definido como: [math]\psi [/math],([math]\bigtriangledown \psi =\overrightarrow{v}[/math])

[math]\overrightarrow{v}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_{\rho }} & \overrightarrow{e_{\theta }}&\overrightarrow{e_{z}} \\ 0&1 &0 \\ 0&0 &f\left ( \rho \right ) \end{vmatrix}=f\left ( \rho \right )\overrightarrow{e_{\rho }} \rightarrow \overrightarrow{v}=f\left ( \rho \right )\overrightarrow{e_{\rho }}[/math].

Sustituyendo [math]f\left ( \rho \right )[/math]:

[math]\overrightarrow{v}=\left ( \frac{p2-p1}{4\mu }\rho ^{2} +\frac{p1-p2}{\mu }\right )\overrightarrow{e_{\rho }}[/math].
[math]\bigtriangledown \psi=\frac{d\psi }{d\rho }\overrightarrow{e_{\rho }}+\frac{1}{\rho }\frac{d\psi }{d\theta }\overrightarrow{e_{\theta }}+\frac{d\psi }{dz}\overrightarrow{e_{z}}=\overrightarrow{v}[/math].

Obtenemos la relación: [math]\frac{d\psi }{d\rho }=\frac{p2-p1}{4\mu }\rho ^{2} +\frac{p1-p2}{\mu }\ [/math].

Integrando el gradiente del potencial escalar: [math]\psi=\frac{p2-p1}{12\mu }\rho ^{3} +\frac{p1-p2}{\mu }\rho [/math].

El resultado de la función potencial quedará: [math] \psi= -\frac{1}{4} \rho ^{3} + 3\rho[/math].


Líneas de corriente
x=0:0.2:2; %Definimos 'ρ'
z=0:0.2:10; %Definimos 'z'
[X,Z]=meshgrid(x,z);
lineas=(-1./4).*X.^3+3.*X; %Definimos campo escalar  
contour(X,Z,lineas); 
axis([0,3,0,10]);
colorbar
title('Líneas de corriente');








6 Velocidad máxima del fluido y módulo de velocidad

Para obtener los máximos y mínimos de la velocidad vamos a optimizar la función de velocidad. Para ello, derivamos la misma y la igualamos a 0:


[math]\vec{u}(\rho,\theta,z)=(\frac{-3\rho ^{2}}{4 } +3)\vec{e_z}[/math]


donde:

[math] \frac{\partial \vec{u}} {\partial \rho}=\frac{-3\rho}{2}\vec{e_z} [/math]
[math] \frac{\partial \vec{u} }{\partial \theta}=0 [/math]
[math] \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=0 [/math]


Consequentemente, el punto donde la velocidad es máxima es en [math] \rho =0 [/math]

Como podemos observar en la gráfica la velocidad de nuestro fluido no es constante a lo largo de la tubería. De hecho, disminuye a medida que nos acercamos a los bordes de la tubería. Esto se debe a las fuerzas viscosas potenciadas por la diferencia de presión que debe mantener el fluido para ser viscoso.


Campo de presiones.
x=0:0.2:2;
z=0:0.2:10;
[X,Z]=meshgrid(x,z);
figure(1);
p=1-3.*Z;
surf(X,Z,p);
colorbar;
view(2);
axis([0,3,0,10]);
title('Campo de presiones');
xlabel('ρ');
ylabel('z');




7 Rotacional

Para hallar el rotacional, vamos a proceder con el cálculo:

[math]\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e_\rho} & \rho \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial \rho} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix}[/math]

Sustituyendo en la fórmula:

[math]\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e_\rho} & \rho \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial \rho} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & (\frac{-3\rho ^{2}}{4 } +3)\end{vmatrix}[/math]

Obtenemos que [math]\nabla\times\vec{u}=(\frac{9\rho}{2}+\frac{3}{\rho})\vec{e_\theta}[/math],


Para visualizar esto de manera gráfica, nuevamente a Octave,

Rotacional del campo velocidad
x=0:0.1:2;
 z=0:0.1:10;
 [X,Z]=meshgrid(x,z);
 rot=abs(((9.*X/2+3./X);
 surf(X,Z,rot)
 colorbar
 view(2)
 axis([0,5,0,12])





8 Campo de temperaturas

En el enunciado nos viene dado la función Temperatura en coordenadas cilíndricas:

[math] T(ρ{,}θ{,}z)=log(1+ρ)e^{-(z-2)^2}[/math]
[math]\nabla T(ρ,θ,z)=(\frac{e^{-(z-2)^2}}{1+ρ)}-2log(ρ+1)(z-2){e^{-(z-2)^2}})[/math]
Campo vectorial gradiente
p=0:0.01:8;
z=-2:0.05:10;
[P,Z]=meshgrid(p,z);
figure (1) 
a=log(1+P)*exp.^-(-Z-2).^2
pcolor(Y,Z,p);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,10]);
10 colorbar 
11 figure(2)
12 contour(Y,Z,a,10,'k'); 
13 grid on
14 axis([0,8,-1,10]);


CURVAS


Curvas de nivel de campo de temperatura
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=1+((Z.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
[pY,pZ]=gradient(p);
hold on
quiver(Y,Z,pY,pZ)
axis([0,8,-1,2]);
shading flat
grid on
hold off




9 Gradiente de temperatura

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL GRADIENTE

El gráfico del gradiente de la temperatura, se ha representado utilizando el siguiente código:


Código Octave utilizado:

Gradiente ortogonal a las curvas de nivel
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:10;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
p=1+(((Y.^2+Z.^2-(1/2)).^2).*exp(-((Z-1).^2)));
[pY,pZ]=gradient(p);
hold on
quiver(Y,Z,pY,pZ)
contour(Y,Z,p,'k');
axis([0,8,-1,10]);
shading flat
grid on
hold off



Como podemos verificar, las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura. Esto se debe a que el gradiente es el responsable de la dirección de crecimiento y decrecimiento del campo.

Por otro lado, podemos comprobar que si el gradiente es mayor, la temperatura tendrá una variación más rápida.


10 Caudal

El caudal es la cantidad de un fluido que atraviesa la tubería en un determinado tiempo. Para ello debemos tener en cuenta el flujo de volumen por unidad de tiempo. Vamos a representarlo de la siguiente forma:

[math]Q=\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}[/math]

donde [math]\vec{v}[/math] es el campo de velocidades.

El vector normal será perpendicular a la superficie por lo que hemos visto anteriormente de las curvas y gradientes.

El campo de velocidades finalmente será:

[math]\vec{u}(\rho,\theta,z)=(-\frac{1}{4}\frac{\rho ^{2}}{\mu }+ 1)\overrightarrow{e_{z}}[/math]
,

Finalmente resolviendo la integral doble obtendremos:

[math]Q\left ( m/s \right )=\int_{S}^{}\overrightarrow{u}\overrightarrow{n}dS=\int_{S}^{}\left (\frac{-3\rho^{3}}{4}+{3\rho} \right )\overrightarrow{e_{z}}\cdot \overrightarrow{e_{z}} dS=\int_{0}^{2\Pi }\int_{0}^{2}\left ( \frac{-3\rho^{3}}{4}+{3\rho} \right )d_{\rho }d_{\theta }=6{\Pi}=18.85\left ( m/s \right )[/math].

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