Diferencia entre revisiones de «Usuario:Eduardo Casado Pérez»
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| − | + | En nuestro caso el sustraendo va a ser igual a cero por lo cual el único término que queda es el minuendo, esto quiere decir que no hay ningún tipo de tensión en la dirección del eje <math>\vec{i}</math>, lo que implica que el único componente de tensión es tangencial al plano ortogonal al eje x. | |
| − | <math>|σ·\vec{i}-(\vec{i}·σ·\vec{i})·\vec{i})\vec{i}|</math>= | + | <math>|σ·\vec{i}-(\vec{i}·σ·\vec{i})·\vec{i}|</math>=<math>|\frac{π}{9}·cos(π·y/3)\vec{j}-0|</math>=<math>|\frac{π}{9}·cos(π·y/3)\vec{j}|</math>. |
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| + | Vamos a mostrar a continuación la representación gráfica de las tensiones respecto a los diferentes puntos de la placa: | ||
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| + | {{matlab|codigo= | ||
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| + | h=2/10; | ||
| + | x=[-1:h:1]; | ||
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| + | Ttg=(pi/9).*cos((pi/3).*My); %Tensióntangencial respecto al plano ortogonal a i | ||
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| + | Para este apartado vamos a trabajar con la fórmula de Von Mises | ||
| + | <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}2}</math></center> | ||
| + | que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico en lugar de tener las cualidades de un material élastico puro. | ||
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| + | La fórmula de Von Mises depende <math>σ_{1}</math>,<math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> que son las tensiones principales en el material que a su vez son los autovalores asociados a la matriz de σ: | ||
| + | <center><math>\mathbb σ=\; | ||
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| + | {0}&{\frac{π}{9}·cos(\frac{π·y}{3})}&{0}\\ | ||
| + | {\frac{π}{9}·cos(\frac{π·y}{3})}&{0}&{0}\\ | ||
| + | {0}&{0}&{0}\\ | ||
| + | \end{pmatrix}</math>, siendo los autovalores <math>σ_{1}=0,σ_{2}=\frac{π}{9}·cos(\frac{π·y}{3}),σ_{3}=-\frac{π}{9}·cos(\frac{π·y}{3})</math></center> | ||
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| + | Si sustituimos los valores que hemos hallado en las tensiones principales en la fórmula de Von Mises nos da el siguiente resultado: | ||
| + | <center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(0-\frac{π}{9}·cos(\frac{π·y}{3}))^2+(\frac{π}{9}·cos(\frac{π·y}{3})-(-\frac{π}{9}·cos(\frac{π·y}{3}))^2+(-\frac{π}{9}·cos(\frac{π·y}{3})-0)^2}2}=\sqrt{3}·\frac{π}{9}·cos(\frac{π·y}{3})</math></center> | ||
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| + | {{matlab|codigo= | ||
| + | h=2/10; | ||
| + | x=[-1:h:1]; | ||
| + | y=[0:h:12]; | ||
| + | [Mx,My]=meshgrid(x,y); | ||
| + | M_VonMises=0.*My; | ||
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| + | VonMises=inline('(((T1-T2)^2+(T2-T3)^2+(T3-T1)^2)/2)^(1/2)','T1','T2','T3'); %Definimos la función de Von Mises siendo T1,T2,T3 las tensiones elementales | ||
| + | [a,b]=size(My); | ||
| + | for i=1:a | ||
| + | for j=1:b | ||
| + | Deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]]; | ||
| + | Lamb=eig(Deformaciones); | ||
| + | T1=Lamb(1,1); | ||
| + | T2=Lamb(2,1); | ||
| + | T3=Lamb(3,1); | ||
| + | M_VonMises(i,j)=VonMises(T1,T2,T3); | ||
| + | end | ||
| + | end | ||
| + | surf(Mx,My,M_VonMises) | ||
| + | shading flat | ||
| + | title('Von Mises') | ||
| + | xlabel=('Eje x') | ||
| + | ylabel=('Eje y') | ||
| + | axis equal | ||
| + | axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]) | ||
| + | colorbar | ||
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| + | max(max(M_VonMises)) | ||
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| + | Vemos que son varios los puntos de la placa donde la función de Von Mises toma su valor maxímo y esto es cada vez que el <math>cos(\frac{π·y}{3})=1</math> siendo su valor <math>σ=0.6046</math> | ||
Revisión actual del 19:25 11 dic 2023
1 Tensiones tangenciales
Este apartado consiste en calcular las tensiones generadas respecto al plano ortogonal a [math]\vec{i}[/math] y representarlas en el caso de que existiesen. Conseguimos hallarlas mediante la siguiente fórmula [math]|σ·\vec{i}-(\vec{i}·σ·\vec{i})·\vec{i}|[/math].
En nuestro caso el sustraendo va a ser igual a cero por lo cual el único término que queda es el minuendo, esto quiere decir que no hay ningún tipo de tensión en la dirección del eje [math]\vec{i}[/math], lo que implica que el único componente de tensión es tangencial al plano ortogonal al eje x.
[math]|σ·\vec{i}-(\vec{i}·σ·\vec{i})·\vec{i}|[/math]=[math]|\frac{π}{9}·cos(π·y/3)\vec{j}-0|[/math]=[math]|\frac{π}{9}·cos(π·y/3)\vec{j}|[/math].
Vamos a mostrar a continuación la representación gráfica de las tensiones respecto a los diferentes puntos de la placa:
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Ttg=(pi/9).*cos((pi/3).*My); %Tensióntangencial respecto al plano ortogonal a i
quiver(Mx,My,Ttg.*0,Ttg);
title('Tensión respecto al plano ortogonal a i')
xlabel
ylabel
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
view(2)
2 Tensión de Von Mises
Para este apartado vamos a trabajar con la fórmula de Von Mises
que nos indica cuando un material inicia un comportamiento plástico en lugar de tener las cualidades de un material élastico puro.
La fórmula de Von Mises depende [math]σ_{1}[/math],[math]σ_{2}[/math] y [math]σ_{3}[/math] que son las tensiones principales en el material que a su vez son los autovalores asociados a la matriz de σ:
Si sustituimos los valores que hemos hallado en las tensiones principales en la fórmula de Von Mises nos da el siguiente resultado:
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
M_VonMises=0.*My;
VonMises=inline('(((T1-T2)^2+(T2-T3)^2+(T3-T1)^2)/2)^(1/2)','T1','T2','T3'); %Definimos la función de Von Mises siendo T1,T2,T3 las tensiones elementales
[a,b]=size(My);
for i=1:a
for j=1:b
Deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
Lamb=eig(Deformaciones);
T1=Lamb(1,1);
T2=Lamb(2,1);
T3=Lamb(3,1);
M_VonMises(i,j)=VonMises(T1,T2,T3);
end
end
surf(Mx,My,M_VonMises)
shading flat
title('Von Mises')
xlabel=('Eje x')
ylabel=('Eje y')
axis equal
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5])
colorbar
view(2)
max(max(M_VonMises))
Vemos que son varios los puntos de la placa donde la función de Von Mises toma su valor maxímo y esto es cada vez que el [math]cos(\frac{π·y}{3})=1[/math] siendo su valor [math]σ=0.6046[/math]
