Diferencia entre revisiones de «La Catenaria»
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Revisión del 16:07 11 dic 2023
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La Catenaria. Grupo 12 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | Alejandro Jiménez García Marta García-Moris Fontcuberta Alejandro Seises López Alberto Nuñez Cobo Álvaro Matías Acedo |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
- 1 Introducción
- 2 Representación de la curva
- 3 Longitud de la curva
- 4 Vector tangente y vector normal
- 5 Curvatura y gráfica
- 6 Circunferencia osculatriz en t=0
- 7 Fenómeno descrito por la curva
- 8 Empleo de la curva en Ingeniería Civil
- 9 Superficie de revolución alrededor del eje vertical
- 10 Distribución de la densidad a lo largo de la superficie
- 11 Masa de la superficie con dicha densidad
1 Introducción
La catenaria se define como la curva generada por una cuerda o cable sin rigidez, suspendida por sus dos extremos y sometida al campo gravitatorio. En ingeniería de caminos, esta curva se encuentra en los cables principales de los puentes colgantes o en los cables de las líneas eléctricas ferroviarias, las cuales se denominan catenaria, por la curva que describe.
2 Representación de la curva
Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)[/math]
Donde:
[math]γ:t\to\mathbb{R}^2[/math]
Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.
2.1 Código
% Definición de los parámetros
a=-1; b=1;h=0.01;
t=a:h:b;
% Definición de la curva
x=t;
y=cosh(t);
plot(x,y,"Color","b");
% Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Etiquetas
title('Curva Catenaria')
axis("equal")
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box on
grid minor
2.2 Vectores velocidad y aceleración
Los vectores velocidad y aceleración se representan gráficamente usando el siguiente código:
% Definición de los parámetros
a=-1;
b=1;
h=0.1;
t=a:h:b;
% Definición de la curva
x=t;
y=cosh(t);
% Definición de la velocidad
v1=t./t;
v2=sinh(t);
% Definición de la aceleración
a1=0.*t;
a2=cosh(t);
hold on
plot(x,y,'LineWidth',2);
quiver(x,y,v1,v2);
quiver(x,y,a1,a2, "Color","g");
hold off
% Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation ='origin';
% Etiquetas
title('Vector velocidad y aceleración')
legend("Catenaria","Velocidad","Aceleración")
axis("equal")
xlim([-1 1])
ylim([0.8 2])
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box on
grid minor
3 Longitud de la curva
3.1 Código
function A = rectangulo(f, a, b, n)
f=@(t) sqrt(1+(sinh(t)).^2)
a=-1
b=1
n=200
A = 0;
h = (b-a)/n;
for k=1:n
xk = a + h*k; % Valor de x en el extremo del intervalo
A = A + f(xk)*h; % Sumamos el área del rectángulo
end
end
4 Vector tangente y vector normal
4.1 Código vector tangente
x=t;
y=cosh(t);
% Vectores tangentes unitarios interiores
t1i=(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2));
t2i=sinh(t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2));
% Vectores tangentes unitarios
hold on
plot(x,y,'LineWidth',2);
quiver(x,y,t1i,t2i);
hold off
% Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Etiquetas
title('Vector tangente unitario')
legend("Catenaria","Vector tangente unitario")
axis("equal")
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box on
grid minor
4.2 Código vector normal
% Definición de los parámetros
a=-1;
b=1;
h=0.09;
t=a:h:b;
% Definición de la curva
x=t;
y=cosh(t);
% Vectores normales unitarios orientación interior
n1i=sinh(t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2));
n2i=-(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2));
% Vectores normales unitarios orientación exterior
n1e=-sinh(t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2));
n2e=(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2));
hold on
plot(x,y,'LineWidth',2);
quiver(x,y,n1i,n2i);
quiver(x,y,n1e,n2e);
hold off
% Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
% Etiquetas
title('Vectores normales')
legend("Catenaria","Vector normal interior","Vector normal exterior")
axis("equal")
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
box on
grid minor
5 Curvatura y gráfica
5.1 Código
a=-1;
b=1;
h=0.09
t=a:h:b %Valores del intervalo
Ka=(sqrt(1+(sinh(t)).^2).^3)./cosh(t);
plot(t,Ka);
grid on
xticks([-1 1])
