Diferencia entre revisiones de «La Clotoide (grupo 13)»

Revisión del 17:54 2 dic 2023

En este trabajo estudiaremos la clotoide, que es una curva formada por un trozo de espiral, que cumple una serie de condiciones geométricas. También nos enfocaremos en su relación con la ingeniería, para ello nos ayudaremos del lenguaje de programación M y de OCTAVE.
Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) [/math]

1 Dibujo de la curva

Empezamos dibujo la curva dada utilizando matlab

DIBUJO DE LA CURVA

% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 2000);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Grafica de la clotoide
figure;
plot(x, y);
title('La Clotoide');
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

2 Cálculo de vectores Velocidad y Aceleración

A partir de la parametrización dada, [math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) [/math], podemos calcular los vectores velocidad y aceleración siguiendo las siguientes fórmulas:
Para el vector velocidad: [math] {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

Para el vector aceleración: [math] {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 50);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x = arrayfun(x, t);
y = arrayfun(y, t);
% Vectores Velocidad y aceleración 
V1 = cos(t.^2/2);
V2 = sin(t.^2/2);
A1 = -t.*sin(t.^2/2);
A2 = t.*cos(t.^2/2);
% Gráfica 
figure
hold on
plot (x ,y ,'r') ; 
quiver(x,y,V1,V2,"color","r") ; %velocidad
quiver(x,y,A1,A2,"color","g") ; %aceleracion
axis equal
hold off
% Etiqueta de ejes
title('Vectores velocidad y aceleracion');
xlabel("Eje x");
ylabel("Eje y");

3 Cálculo longitud de la curva

A partir de la fórmula dada, calculamos la longitud de la curva:

[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 [/math]

4 Cálculo de los vectores tangente y normal

A partir del vector velocidad, podemos calcular el vector tangente y normal:
El vector tangente: [math] \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

El vector normal: [math] \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]

VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

% Definimos los Parámetros
t = linspace(0, 4, 50);
% Definimos la funcion
x = @(t) integral(@(s) cos(s.^2/2), 0, t);
y = @(t) integral(@(s) sin(s.^2/2), 0, t);
% Calcular las coordenadas de la clotoide
x=arrayfun(x, t);
y=arrayfun(y, t);
%vectores tangente y normal
norma=sqrt(1+4*t.^2);
T1=linspace(0,4,n)./norma;
T2=2*t./norma;
% Grafica
figure;
hold on;
plot(x,y,'r'); %curva
quiver(x,y,T1,T2,'m'); %tangente
quiver(x,y,-T2,T1,'g'); %normal
axis equal
hold off;
title ('Curva, tangente y normal.')
% Etiquetado de ejes
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis equal;

5 Cálculo de la curvatura

6 Cálculo de la circunferencia osculatriz

7 La Clotoide

8 Imágenes de estructuras

9 Superficie reglada

10 Masa de la superficie reglada