Diferencia entre revisiones de «Grupo A7. Flujo de Couette.»

Revisión actual del 17:33 11 dic 2022

1 Flujo de Couette.

La finalidad de este trabajo es analizar el flujo de Couette, se denomina así al fluido laminar de un fluido viscoso en el espacio entre dos planos paralelos horizontales, en el que uno está en movimiento relativo con respecto a otro. En nuestro caso, vamos a estudiar un fluido incompresible sometido a campos escalares: presión y termperatura, y campos vectoriales: velocidad. El plano superior se mueve con velocidad constante [math]v\vec{j}[/math]. Durante todo el artículo vamos a trabajar en el plano con coordenadas cartesianas[math](y,z)[/math]

Para realizar la visualización del comportamiento del fluido,hemos usado el programa informatico MATLAB.

2 Mallado del fluido.

La representación gráfica de la superficie que ocupa el fluido en los puntos interiores del rectángulo de dimensiones [math][0,8]×[0,1][/math], y con ejes [math]y,z[/math] definidos en los intervalos [math][0,8]×[-1,2][/math], respectivamente, es la mostrada en la siguiente figura:

Mallado

Para ello, hemos hecho uso de Matlab,en el programa se ha utilizado el paso de muestreo 0.1,dado que se ha considerado el más adecuado en esta escala. A continuación podemos ver el código usado:

y=0:0.1:8;       
z=0:0.1:1;            
[yy,zz]=meshgrid(y,z); 
figure(1)
mesh(yy,zz,0*yy)       
axis([0,8,-1,2])     
view(2)

3 Ecuación de Navier-Stokes estacionaria.

donde, [math](\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} [/math] , [math]\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}[/math], [math]\vec{u}=u_i\vec{e_i}[/math]

describe el movimiento de un fluido viscoso. Esta ecuacion gobierna en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos. Entre sus múltiples aplicaciones podemos encontar predecir el clima, las corrientes oceánicas o el flujo de agua en una tubería o en un reactor.

En este apartado, partimos de que sabemos que [math](\vec{u},p)[/math], satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, siendo [math] \vec{u} \ (y,z)=f(z)\vec{j}[/math], el campo vectorial velocidad de las partículas del fluido, [math]p(x,y,z)=p1+(p2-p1)(y-1)[/math], el campo de presión y [math]μ[/math] es la viscosidad del fluido. Queremos calcular la ecuación diferencial que satisfaga f(z), es decir calcular el campo de velocidades que satisface la ecuación de Navier-Stokes.

Para resolverlo, vamos a resolver por separado cada término de la ecuación.

En primer lugar tenemos:

sustituyendo con nuestros datos quedaría:

A continuación calculamos el siguiente término, que es el gradiente del campo de presiones,

Por último, calculamos el Laplaciano,[math]\Delta\vec{u} [/math] , del campo de velocidades. Para calcularlo, utilizaremos la siguiente fórmula:

• Primero hacemos el cálculo de la divergergencia:

Así [math]\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0[/math]

La interpretación de que [math](\nabla \cdot \vec{u})=0[/math], verifica la condición de incompresibilidad. Si [math](\nabla \cdot \vec{u})\lt0[/math] , el fluido que se mueve a lo largo del campo vectorial tendería a volverse más denso. Por otro lado, si [math](\nabla \cdot \vec{u})\gt0[/math], el fluido se vuelve menos denso. Finalmente, el concepto de divergencia cero es muy importante en la dinámica de fluidos y la electrodinámica. Esto indica que, aunque el fluido se mueve libremente, su densidad permanece constante. Esto es particularmente útil cuando se modelan fluidos incompresibles, como el agua.

• Ahora calculamos el rotacional:

• Por último calculamos [math]\nabla\times(\nabla\times\vec u)[/math]:

Lo que quiere decir que [math]\Delta\vec{u}=f''(z)\vec{j}[/math].

Sustituyendo en la ecuación de Navier-Stokes obtenemos:

Una vez que tenemos calculada la segunda derivada de campo vectorial de velocidades, podemos calcular lo que valdría [math]f'(z)[/math], y por consiguiente [math]f(z)[/math]. Para ello simplemente tenemos que integrar, [math]f''(z), f'(z)[/math], respectivamente. De esta forma obtenemos:

Suponemos que la velocidad del fluido en [math]y=0,1[/math] coincide con los planoes inferior y superior respectivamente, por lo que finalmente llegamos al campo vectorial de velocidades.

4 Campo de presiones y de velocidades.

Campo de velocidades

Para dibujar los correspondientes campos de presiones y de velocidades vamos a tomar como valores de [math]p1=2, p2=1, μ=1 [/math]. Sustituyendo en la expresión del campo de velocidades obtenemos:

De la formula superior, podemos interpretar que la velocidad va a cambiar en funcion de z,es decir, variara en función de la altura. Los vectores del campo de velocidades son paralelos a las paredes del canal,dado que el campo cambia únicamente en la dirección j.

Para su representación hemos utilizado Matlab, escribiendo el siguiente código:

[Y,Z] = meshgrid([0:0.25:8],[0:0.1:1]); 
 uy=inline('(-(z.^2-z))./(2)','y','z');
 uz=inline('0.*y','y','z'); 
 U=uy(Y,Z);
 V=uz(Y,Z);
 quiver(Y,Z,U,V)
 axis([0,8,-1,2])

Campo de velocidad del fluido

INTERPRETACIÓN

Podemos observar que la velocidad es nula en las paredes del canal,en z=0 y z=1.Como habiamos deducido anteriormente,la velocidad es paralela a las paredes del canal. Además, observamos que la velocidad máxima se alcanza en z=0.5,esto lo comprobaremos analíticamente en apartados posteriores.

Campo de presiones

Así mismo, para el campo de presiones, hemos utlizado los mismos valores [math]p1=2, p2=1, μ=1 [/math], solo que está vez sustituyéndolos en el campo de presiones,

nos queda

Utilizando el siguiente código:

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); 
figure (1);
p=3-Y;
surf(Y,Z,p);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);

Obtenemos la siguiente figura

Campo de presiones del fluido

INTERPRETACIÓN

En la figura, observamos que a medida que el fluido avanza por el canal la presión va disminuyendo. Las presiones altas estan representadas en amarillo y las más bajas en azul.La caída de presión en una tubería o canal es la pérdida de energía dinámica del fluido debido al rozamiento de las partículas del fluido entre sí y contra las paredes de la tubería que las contiene. Es por ello que ha medida que avanzamos la perdida de presión es cada vez mayor.La forma de evitar esa caida de presiones, sería aumentado el diametro de la tubería, porque al haber más espacio el rozamiento seria menor, por lo que habría menos perdida de carga.

5 Líneas de corriente del campo.

Las líneas de corriente del campo son tangentes a [math]vec{u}[/math] en cada punto. Para ello calculamos el campo [math]vec{w}[/math] que en cada punto es ortogonal a [math]vec{u}[/math], nosotros utilizaremos:

Que sustituyendo nuestro campo de velocidades queda:

Vamos a demostrar que [math]vec{w}[/math] es irrotacional

Operando obtenemos, que: [math]\nabla\times\vec{v}=0[/math], por lo que el campo es irrotacional.

Una vez demostrado que es irrotacional, vamos a calcualr [math]\psi[/math], que es un potencial escalar que se conoce como función de corriente de [math]\vec{u}[/math]

• Aplicamos la definición

• Operando obtenemos

• A continuación derivamos con respecto a [math]z[/math], y teniendo en cuenta [math]p1=2,p2=1,μ=1[/math]

• Integrando obtenemos

Simplificando,

Las líneas de corriente las vamos a representar mediante el siguiente código

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1);
lineas=(Z.^2)/4-(Z.^3)/6;
contour (Y,Z,lineas);
axis([0,8,-1,2]);
view (2);

Líneas de corriente de [math]\vec{u}[/math]

INTERPRETACIÓN

Como se puede observar en los gráficos, las líneas de corriente de [math]vec{u}[/math] son tangentes a la velocidad del fluido.En regimen estacionario las lineas de corriente están fijas y nos indican la trayectoria seguida por los elementos del fluido.EL hecho de que las lineas de corriente no se corten, nos indica que nos encontramos ante un flujo que no tiene puntos singulares,es decir, no existen fuentes o sumideros.

6 Velocidad máxima del fluido

Para obtener los puntos de máxima velocidad, primero hay que calcular las derivadas parciales del campo

A continuación, igualamos dichas derivadas parciales a 0, obteniendo que los puntos de la recta donde la velocidad es máxima es [math]z=\frac{1}{2}[/math]

Podemos comprobar que es correcto, ya que el gráfico del campo de velocidades se puede observar que la velocidad es máxima en 0.5. Además que físicamente también tiene sentido, la velocidad máxima se encuentra en la mitad de la tubería porque es el lugar donde menos fricción ejercen las paredes, por lo que el agua puede viajar más deprisa.

7 Cálculo del rotacional.

Para el cálculo del rotacional, simplemente utilizamos la siguiente expresión:

Al operar obtenemos que [math]\nabla\times\vec u=-\frac{(p2-p1)(2z-1)}{2μ}\vec{i}[/math]

Sustituyendo los valores [math]p1=2, p2=1, μ=1 [/math], tenemos que [math]\nabla\times\vec u=z-\frac{1}{2}\vec{i}[/math], siendo su módulo [math]\left | \nabla\times\vec u=\right |z-\frac{1}{2}[/math]. Como podemos obervar solo depende del parámetro [math]z[/math].

Con el siguiente código de matlab,

y=0:0.05:8;
 z=0:0.05:1;
 [Y,Z]=meshgrid(y,z); 
 rota=abs(Y-1/2); 
 surf(Y,Z,rota)
 axis([0,8,-1,2])
 view(2)

obtenemos el siguiente gráfico:

Rotacional del campo velocidad

A partir de la gráfica podemos obersvar que el máximo del rotacional se alcanza en los puntos [math]z=0[/math] y [math]z=1[/math], alcanzando el mínimo en el punto [math]z=0.5[/math]. Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto, en nuestro caso alrededor del mínimo [math]z=0.5[/math], que a su vez en ese punto, ya se ha demostrado que la velocidad es máxima. Los puntos con menor tendencia a la rotación [math]z=0[/math] y [math]z=1[/math], se encuentran en las paredes del canal.

8 Campo de temperaturas.

Un campo de temperatura es aquel al que se le puede asignar una temperatura específica en cada punto. Nuestro fluido está sometido a cierta temperatura, que viene dada por el siguiente campo escalar:

Al estar en coordenadas polares, debemos expresarlo en coordenadas cartesianas para poder trabajar con dicho campo escalar. Quedando:

Con el siguiente código podemos obtener su representación gráfica:

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1) 
t=1+((Z.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
pcolor(Y,Z,t);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar
figure(2)
contour(Y,Z,t,10,'k'); 
grid on
axis([0,8,-1,2]);
figure(3)
contour(Y,Z,t,10,'k'); 
grid on
axis([0,1,0,1]);

El campo de temperaturas, representa la distribución espacial de la temperatura, asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas no depende del tiempo, se dice que es estacionario, depende exclusivamente de las componentes espaciales (y,z).Esto concuerda con lo expuesto anteriormente en las líneas de corriente.

Campo de temperaturas del fluido

La temperatura es máxima donde observamos colores más cálidos como el amarillo o verde claro, mientras que la temperatura es menor en los puntos con colores más oscuros, como el azul oscuro.

Curvas de nivel

El código usado para las curvas de nivel se ha mostrado en la figura posterior. Las curvas de nivel aumentan la distancia entre ellas cuando la temperatura va disminuyendo, así como será en las curvas más pegadas donde encontramos la mayor temperatura.

Curvas de nivel

Curvas de nivel ampliado

9 Gradiente de la temperatura.

El campo escalar de la temperatura es

e igual que en el apartado anterior, lo pasamos a coordenadas cilíndricas

El gradiente sería:

Para representar gráficamente al gradiente, utilizamos el siguiente programa

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
gt=1+((Z.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
[ZY,ZZ]=gradient(gt);
hold on
quiver(Y,Z,YY,ZZ)
contour(Y,Z,gt,'k');
axis([0,8,-1,2]);
shading flat
grid on
hold off
figure (2)
gt=1+((Z.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
[ZY,ZZ]=gradient(gt);
hold on
quiver(Y,Z,ZY,ZZ)
contour(Y,Z,gt,'k');
axis([0,1,0,1]);
shading flat
grid on
hold off

Obteniendo las siguientes gráficas.

Gradiente ortogonal a las curvas de nivel.

Gradiente ortogonal a las curvas de nivel.

INTERPRETACIÓN

Con este gráfico demostramos que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura. El gradiente de temperatura nos enseña la perdida de calor a lo largo del tubo.

10 Cálculo del caudal.

El caudal es el volumen de agua que atraviesa una superficie en un determinado tiempo. Depende del ancho de la tubería, decir, de la sección, y de la velocidad. Por lo tanto, cuándo mayor sea la sección también habrá más caudal. En nuestro para calcularlo vamos a suponer una profundidad del canal de un metro. Se calcula mediante una integral de superficie, que integra el campo de velocidades