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CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE ANILLO CIRCULAR - GRUPO 3C

Para este artículo, nos disponemos a analizar y a visualizar, los distintos efectos que fijan los campos escalares y vectoriales sobre un sólido. Para ello, consideraremos una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular, centrado en el origen, comprendido entre los radios 1 y 2, estando en el plano y≥x. Supondremos que tenemos dos cantidades físicas. Una de ellas, la temperatura [math] T(x,y) = log ((x-2)^2 + y^2 + 1) [/math], y la otra serán los desplazamientos, definidos por: [math] \vec u(ρ,θ) = (log(ρ)/2) · sen(2θ- \Pi/2) [/math], siendo (x,y) la posición de cada punto, y [math] \vec r_0(ρ,θ) [/math], el vector de posición previo a la deformación.

1 MALLADO DE LOS PUNTOS INTERIORES DEL SÓLIDO

Para poder representar de forma correcta el mallado de la placa plana, vamos a proceder a parametrizar la superficie usando coordenadas cilíndricas. Nos apoyaremos en Matlab para este, y posteriores visualizaciones de gráficas. Elegimos un paso de muestreo de 2/10 o 0.2 para x e y, y representaremos la placa en un cuadrado de [-3,3]x[-1,3]. Insertamos también una imagen del mallado que resulta.

2 CURVAS DE NIVEL DE LA TEMPERATURA

A continuación, veremos las curvas de nivel del campo escalar de temperaturas, dado por la función T definida al inicio, que serán representadas, usando el comando "contour", y veremos sus máximos. Como vemos, usaremos una gama cromática de colores que nos indican las zonas cálidas (amarillos) y las zonas más frías (azules). Como podemos ver en la imagen, disponemos de dos gráficas. La situada a la izquierda representa el campo escalar, mientras que la situada a la derecha, representa las curvas del nivel del campo.

3 GRADIENTE DE LA TEMPERATURA

En este apartado, calcularemos el gradiente que representa la variación de temperatura. Derivaremos la temperatura T(x,y) respecto de cada variable Hemos de apreciar que el gradiente de T, ∇(T), es ortogonal a las curvas de nivel.

4 CAMPO DE VECTORES

Mostraremos, en este apartado, el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa. Aunque nos piden los resultados en t=0, nuestra función no depende de t. Mostraremos igualmente el campo de desplazamientos.

5 SOLIDO ANTES Y DESPUÉS DEL DESPLAZAMIENTO

El desplazamiento del sólido dado por el campo de vectores [math] \vec u (en t = 0) [/math] . Lo representamos antes y después de que se produzca, así como una comparación entre ambos usando el comando "subplot". Comparando las gráficas, podemos comprobar que la zona central superior de la placa es la que más se desplaza y por el contrario, en la parte inferior por los laterales de la placa el desplazamiento es mínimo.

6 DIVERGENCIA DEL CAMPO

Primero calculamos analíticamente la divergencia del campo ū (en t = 0), cuando es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento y lo podemos observar en esta gráfica

7 ROTACIONAL DEL CAMPO

Calculo del valor absoluto del rotacional del campo ū (en t = 0). En este caso los puntos que sufren un mayor rotacional son

8 ECUACIÓN DEL TENSOR DE TENSIONES σ CON LOS COEFICIENTES DE LAMÉ

Tras haber realizado los cálculos analíticos, y suponiendo que los coeficientes de Lamé, "λ" y "μ", son iguales a 1, hemos llegado a la matriz resultante:

[math] \mathbb{σ} = \; \begin{pmatrix} {(-cos(2θ)*(ln(ρ)+3)) \over 2ρ)} & {(ln(ρ)*sen(2θ) \over ρ)} & {0}\\ {(ln(ρ)*sen(2θ) \over ρ)} & {(-cos(2θ)*(3*ln(ρ)+2)) \over 2ρ)} & {0}\\ {0} & {0} & {(-cos(2θ)*(ln(ρ)+1)) \over 2ρ)} \\ \end{pmatrix} [/math]

Una vez obtenida dicha matriz σ, hemos de calcular las tensiones normales en la dirección [math] \vec i, \vec j, \vec k, [/math], coincidiendo los resultados de elementos de la diagonal principal con los calculados. Es decir, [math] \vec i · σ · \vec i [/math] coincide con el elemento σ(1,1) de la matriz; así como [math] \vec j · σ · \vec j [/math] coincide con el elemento σ(2,2) de la matriz y [math] \vec k · σ · \vec k [/math] coincide con el elemento σ(3,3) de la matriz. Mostramos a continuación el código de Matlab, así como las 3 gráficas, habiendo usado el comando subplot.

9 TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL

Esta vez, calcularemos las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal [math] \vec i [/math], siendo la fórmula a aplicar: [math] \ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| [/math]. Aunque nos piden mostrar el valor de t=0, como ya hemos comentado anteriormente, nuestra función no depende de t. Vemos primero las fórmulas, y después, la codificicación en Matlab, seguido de las gráficas.

[math] \ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| [/math] = [math] \mathbb\; \begin{pmatrix} {(-cos(2θ)*(ln(ρ)+3)) \over 2ρ)} & {(ln(ρ)*sen(2θ) \over ρ)} & {0}\\ {(ln(ρ)*sen(2θ) \over ρ)} & {(-cos(2θ)*(3*ln(ρ)+2)) \over 2ρ)} & {0}\\ {0} & {0} & {(-cos(2θ)*(ln(ρ)+1)) \over 2ρ)} \\ \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} - (\frac{-cos(2θ)*(ln(ρ)+3)}{2ρ}) · \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ ln(ρ)*sin(2θ) \over ρ \\ 0 \\ \end{pmatrix} [/math]

10 TENSIÓN DE VON MISES

La tensión de Von Mises se define por la siguiente formula:

Fórmula de Von Mises

donde \(\ σ_{1}\), \(\ σ_{2}\), \(\ σ_{3}\) son los autovalores de σ, también conocidos como tensores principales. La tensión de Von Mises es una magnitud escalar que es un indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico y no elástico puro.

Vamos a proceder a representar dicha tensión con la ayuda del software MatLab. Podremos observar gracias a la imagen que se adjunta a continuación que en el punto (0,2) se alcanza el mayor valor de la tensión de Von Mises.

Tensión de Von Mises

h=0.4;
rh=1:h:2;
tta=pi/4:h:3*pi/4;
[RR,TT]=meshgrid(rh,tta)
xx=RR.*cos(TT);
yy=RR.*sin(TT)
rr=sqrt(xx.^2+yy.^2);
tt=atan(yy./xx);

Msig=zeros(3,3);

for i=1:length(tta)
    for j=1:length(rh)
        r=RR(i,j);
        t=TT(i,j);
        Msig(1,1)=(-cos(2*t))*(log(r)+3)*1/2*r;
        Msig(1,2)=log(r)*sin(2*t);
        Msig(2,1)=log(r)*sin(2*t);
        Msig(2,2)=(-cos(2*t)*log(r)+1)*1/2*r;
        Msig(3,3)=(-cos(2*t)*log(r)+1)*1/2*r;
        autovalores=eig(Msig);
        VM=sqrt(((autovalores(1)-autovalores(2))^2+((autovalores(2)-autovalores(3))^2+((autovalores(3)-autovalores(1))^2))*1/2));  
        G(i,j)=VM; 

       
    end
end
surf(xx,yy,G)
title('Tensión de Von Mises')
colorbar

11 CAMPO DE FUERZAS QUE ACTÚA SOBRE LA PLACA

Vamos a proceder a calcular [math] \vec F [/math] usando la ecuación de Lamé equivalente:

Ecuación de Lamé

Donde [math] λ \ltmath\gt y \ltmath\gt μ \ltmath\gt son conocidos como los coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades del material. En este caso vamos a considerar como 1 ambas constantes. En la grafica siguiente podemos apreciar como actúa la fuerza sobre el solido.[/math]