Diferencia entre revisiones de «Grupo A7. Flujo de Couette.»

Revisión del 02:52 9 dic 2022

1 Flujo de Couette.

La finalidad de este trabajo es analizar el flujo de Couette, se denomina así al fluido laminar de un fluido viscoso en el espacio entre dos planos paralelos horizontales, en el que uno está en movimiento relativo con respecto a otro. En nuestro caso, vamos a estudiar un fluido incompresible sometido a campos escalares: presión y termperatura, y campos vectoriales: velocidad. El plano superior se mueve con velocidad constante [math]v\vec{j}[/math]. Durante todo el artículo vamos a trabajar en el plano con coordenadas cartesianas [math](y,z)[/math].

2 Mallado del fluido.

La representación gráfica de la superficie que ocupa el fluido en los puntos interiores del rectángulo de dimensiones [math][0,8]×[0,1][/math], y con ejes [math]y,z[/math] definidos en los intervalos [math][0,8]×[-1,2][/math], respectivamente, es la mostrada en la siguiente figura:

Mallado

Para ello, hemos hecho uso de Matlab, implementando el siguiente código:

x=0:0.1:8;       
y=0:0.1:1;            
[xx,yy]=meshgrid(x,y); 
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)       
axis([0,8,-1,2])     
view(2)

3 Ecuación de Navier-Stokes estacionaria.

donde, [math](\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} [/math] , [math]\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}[/math], [math]\vec{u}=u_i\vec{e_i}[/math]

describe el movimiento de un fluido viscoso. Esta ecuacion gobierna en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos. Entre sus múltiples aplicaciones podemos encontar predecir el clima, las corrientes oceánicas o el flujo de agua en una tubería o en un reactor.

En este apartado, partimos de que sabemos que [math](\vec{u},p)[/math], satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, siendo [math] \vec{u} \ (y,z)=f(z)\vec{j}[/math], el campo vectorial velocidad de las partículas del fluido, [math]p(x,y,z)=p1+(p2-p1)(y-1)[/math], el campo de presión y [math]μ[/math] es la viscosidad del fluido. Queremos calcular la ecuación diferencial que satisfaga f(z), es decir calcular el campo de velocidades que satisface la ecuación de Navier-Stokes.

Para resolverlo, vamos a resolver por separado cada término de la ecuación.

En primer lugar tenemos:

sustituyendo con nuestros datos quedaría:

A continuación calculamos el siguiente término, que es el gradiente del campo de presiones,

Por último, calculamos el Laplaciano,[math]\Delta\vec{u} [/math] , del campo de velocidades. Para calcularlo, utilizaremos la siguiente fórmula:

• Primero hacemos el cálculo de la divergergencia:

Así [math]\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0[/math]

La interpretación de que [math](\nabla \cdot \vec{u})=0[/math], verifica la condición de incompresibilidad. Si [math](\nabla \cdot \vec{u})\lt0[/math] , el fluido que se mueve a lo largo del campo vectorial tendería a volverse más denso. Por otro lado, si [math](\nabla \cdot \vec{u})\gt0[/math], el fluido se vuelve menos denso. Finalmente, el concepto de divergencia cero es muy importante en la dinámica de fluidos y la electrodinámica. Esto indica que, aunque el fluido se mueve libremente, su densidad permanece constante. Esto es particularmente útil cuando se modelan fluidos incompresibles, como el agua.

• Ahora calculamos el rotacional:

• Por último calculamos [math]\nabla\times(\nabla\times\vec u)[/math]:

Lo que quiere decir que [math]\Delta\vec{u}=f''(z)\vec{j}[/math].

Sustituyendo en la ecuación de Navier-Stokes obtenemos:

Una vez que tenemos calculada la segunda derivada de campo vectorial de velocidades, podemos calcular lo que valdría [math]f'(z)[/math], y por consiguiente [math]f(z)[/math]. Para ello simplemente tenemos que integrar, [math]f''(z), f'(z)[/math], respectivamente. De esta forma obtenemos:

Suponemos que la velocidad del fluido en [math]y=0,1[/math] coincide con los planoes inferior y superior respectivamente, por lo que finalmente llegamos al campo vectorial de velocidades.

4 Campo de presiones y de velocidades.

Para dibujar los correspondientes campos de presiones y de velocidades vamos a tomar como valores de [math]p1=2, p2=1, μ=1 [/math]. Sustituyendo en la expresión del campo de velocidades obtenemos

Para su representación hemos utilizado Matlab, escribiendo el siguiente código:

[Y,Z] = meshgrid([0:0.25:8],[0:0.1:1]); 
 uy=inline('(-(z.^2-z))./(2)','y','z');
 uz=inline('0.*y','y','z'); 
 U=uy(Y,Z);
 V=uz(Y,Z);
 quiver(Y,Z,U,V)
 axis([0,8,-1,2])

Campo de velocidad del fluido

Así mismo, para el campo de presiones, hemos utlizado los mismos valores [math]p1=2, p2=1, μ=1 [/math], solo que está vez sustituyéndolos en el campo de presiones,

nos queda

Utilizando el siguiente código:

y=0:0.05:8;
 z=0:0.05:1;
 [Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
 figure (1);
 p=3-Y;
 surf(Y,Z,p);
 view(2);
 axis([0,8,-1,2]);

Obtenemos la siguiente figura

Campo de presiones del fluido

5 Líneas de corriente del campo.

Las líneas de corriente del campo son tangentes a [math]vec{u}[/math] en cada punto. Para ello calculamos el campo [math]vec{w}[/math] que en cada punto es ortogonal a [math]vec{u}[/math], nosotros utilizaremos:

Que sustituyendo nuestro campo de velocidades queda:

Vamos a demostrar que [math]vec{w}[/math] es irrotacional

Operando obtenemos, que: [math]\nabla\times\vec{v}=0[/math], por lo que el campo es irrotacional.

Una vez demostrado que es irrotacional, vamos a calcualr [math]\psi[/math], que es un potencial escalar que se conoce como función de corriente de [math]vec{u}[/math]

Como se puede observar en los gráficos, las líneas de corriente de [math]vec{u}[/math] son paralelas al campo en cada punto.

6 Velocidad máxima del fluido

Para obtener los puntos de máxima velocidad, primero hay que calcular las derivadas parciales del campo

A continuación, igualamos dichas derivadas parciales a 0, obteniendo que los puntos de la recta donde la velocidad es máxima es [math]z=\frac{1}{2}[/math]

Podemos comprobar que es correcto, ya que el gráfico del campo de velocidades se puede obersvar que la velocidad es máxima en 0.5.

7 Cálculo del rotacional.

Para el cálculo del rotacional, simplemente utilizamos la siguiente expresión:

Al operar obtenemos que [math]\nabla\times\vec u=\frac-{(p2-p1)(2z-1)}{2\cdotμ}\vec{i}[/math]

Sustituyendo los valores [math]p1=2, p2=1, μ=1 [/math], tenemos que [math]\nabla\times\vec u=z-\frac{1}{2}\vec{i}[/math], siendo su módulo [math]\left | \nabla\times\vec u=z-\frac{1}{2} \right |=[/math]. Como podemos obervar solo depende del parámetro [math]z[/math].

Con el siguiente código de matlab,

y=0:0.05:8;
 z=0:0.05:1;
 [Y,Z]=meshgrid(y,z); 
 rota=abs(Y-1/2); 
 surf(Y,Z,rota)
 axis([0,8,-1,2])
 view(2)

obtenemos el siguiente gráfico:

Rotacional del campo velocidad

A partir de la gráfica podemos obersvar que el máximo del rotacional se alcanza en los puntos [math]z=0[/math] y [math]z=1[/math], alcanzando el mínimo en el punto [math]z=0.5[/math]. Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto, en nuestro caso alrededor del mínimo [math]z=0.5[/math], que a su vez en ese punto, ya se ha demostrado que la velocidad es máxima. Los puntos con menor tendencia a la rotación [math]z=0[/math] y [math]z=1[/math], se encuentran en las paredes del canal.

8 Campo de temperaturas.

Un campo de temperatura es aquel al que se le puede asignar una temperatura específica en cada punto. Nuestro fluido está sometido a cierta temperatura, que viene dada por el siguiente campo escalar:

Al estar en coordenadas polares, debemos expresarlo en coordenadas cartesianas para poder trabajar con dicho campo escalar. Quedando:

Con el siguiente código podemos obtener su representación gráfica:

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1) 
t=1+((Z.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
pcolor(Y,Z,t);
shading flat
grid on
axis([0,8,-1,2]);
colorbar
figure(2)
contour(Y,Z,t,10,'k'); 
grid on
axis([0,8,-1,2]);
figure(3)
contour(Y,Z,t,10,'k'); 
grid on
axis([0,1,0,1]);

Campo de temperaturas del fluido

Curvas de nivel

Curvas de nivel ampliado

La temperatura es máxima donde observamos colores más calidos como el amarillo o azul claro, mientras que la temperatura es menor en los puntos con colores más oscuros, como el azul oscuro.

9 Gradiente de la temperatura.

El campo escalar de la temperatura es

e igual que en el apartado anterior, lo pasamos a coordenadas cilíndricas

El gradiente sería:

Para representar gráficamente al gradiente, utilizamos el siguiente programa

y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1)
gt=1+((Z.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
[ZY,ZZ]=gradient(gt);
hold on
quiver(Y,Z,YY,ZZ)
contour(Y,Z,gt,'k');
axis([0,8,-1,2]);
shading flat
grid on
hold off
figure (2)
gt=1+((Z.^2).*exp(-((Y.^2)+(Z.^2)-1/2).^2));
[ZY,ZZ]=gradient(gt);
hold on
quiver(Y,Z,ZY,ZZ)
contour(Y,Z,gt,'k');
axis([0,1,0,1]);
shading flat
grid on
hold off

Obteniendo las siguientes gráficas.

Gradiente ortogonal a las curvas de nivel.

Gradiente ortogonal a las curvas de nivel.

10 Cálculo del caudal.

El caudal es el volumen de agua que atraviesa una superficie en un determinado tiempo. En nuestro para calcularlo vamos a suponer una profundidad del canal de un metro. Se calcula mediante una integral de superficie, que integra el campo de velocidades