Diferencia entre revisiones de «Grupo A7. Flujo de Couette.»
(→Ecuación de Navier-Stokes estacionaria.) |
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==Ecuación de Navier-Stokes estacionaria.== | ==Ecuación de Navier-Stokes estacionaria.== | ||
| − | En este apartado, partimos de que sabemos que <math>(vec{u},p)</math>, satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, siendo <math> \vec{u} \ (y,z)=f(z)\vec{j}</math>, | + | La ecuación de Navier-Stokes, <center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> <br /></center> |
| + | donde, <math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} </math> , <math>\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}</math>, | ||
| + | <math>\vec{u}=u_i\vec{e_i}</math> | ||
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| + | describe el movimiento de un fluido viscoso. Esta ecuacion gobierna en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos. Entre sus múltiples aplicaciones podemos encontar predecir el clima, las corrientes oceánicas o el flujo de agua en una tubería o en un reactor. | ||
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| + | En este apartado, partimos de que sabemos que <math>(\vec{u},p)</math>, satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, siendo <math> \vec{u} \ (y,z)=f(z)\vec{j}</math>, el campo vectorial velocidad de las partículas del fluido, <math>p(x,y,z)=p1+(p2-p1)(y-1)</math>, el campo de presión y <math>μ</math> es la viscosidad del fluido. Queremos calcular la ecuación diferencial que satisfaga f(z), es decir calcular el campo de velocidades que satisface la ecuación de Navier-Stokes. | ||
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| + | Para resolverlo, vamos a resolver por separado cada término de la ecuación. | ||
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| + | <center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} </math></big></center> | ||
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| + | sustituyendo con nuestros datos quedaría | ||
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| + | <center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z)\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></big></center> | ||
Revisión del 20:50 8 dic 2022
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Flujo de Couette. Grupo 7-A. |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2022-23 |
| Autores | Pablo Antón García, Carlota Estepa Martínez, Patricia Rodríguez Dorta |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Flujo de Couette.
La finalidad de este trabajo es analizar el flujo de Couette, se denomina así al fluido laminar de un fluido viscoso en el espacio entre dos planos paralelos horizontales, en el que uno está en movimiento relativo con respecto a otro. En nuestro caso, vamos a estudiar un fluido incompresible sometido a campos escalares: presión y termperatura, y campos vectoriales: velocidad. El plano superior se mueve con velocidad constante [math]v\vec{j}[/math]. Durante todo el artículo vamos a trabajar en el plano con coordenadas cartesianas [math](y,z)[/math].
2 Mallado del fluido.
La representación gráfica de la superficie que ocupa el fluido en los puntos interiores del rectángulo de dimensiones [math][0,8]×[0,1][/math], y con ejes [math]y,z[/math] definidos en los intervalos [math][0,8]×[-1,2][/math], respectivamente, es la mostrada en la siguiente figura:
Para ello, hemos hecho uso de Matlab, implementando el siguiente código:
x=0:0.1:8;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,8,-1,2])
view(2)
La ecuación de Navier-Stokes,
donde, [math](\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} [/math] , [math]\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}[/math], [math]\vec{u}=u_i\vec{e_i}[/math]
describe el movimiento de un fluido viscoso. Esta ecuacion gobierna en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos. Entre sus múltiples aplicaciones podemos encontar predecir el clima, las corrientes oceánicas o el flujo de agua en una tubería o en un reactor.
En este apartado, partimos de que sabemos que [math](\vec{u},p)[/math], satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria, siendo [math] \vec{u} \ (y,z)=f(z)\vec{j}[/math], el campo vectorial velocidad de las partículas del fluido, [math]p(x,y,z)=p1+(p2-p1)(y-1)[/math], el campo de presión y [math]μ[/math] es la viscosidad del fluido. Queremos calcular la ecuación diferencial que satisfaga f(z), es decir calcular el campo de velocidades que satisface la ecuación de Navier-Stokes.
Para resolverlo, vamos a resolver por separado cada término de la ecuación.
En primer lugar tenemos:
sustituyendo con nuestros datos quedaría
