Diferencia entre revisiones de «Tubos Concéntricos»

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El cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas es relativamente sencillo y se describe de la siguiente manera:
 
El cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas es relativamente sencillo y se describe de la siguiente manera:
 
<center><math> \Delta\vec{u} = \Delta (u_1\vec{\imath} + u_2\vec{\jmath} + u_3\vec{k}) = \Delta u_1\vec{\imath} + \Delta u_2\vec{\jmath} + \Delta u_3\vec{k} </math></center>
 
<center><math> \Delta\vec{u} = \Delta (u_1\vec{\imath} + u_2\vec{\jmath} + u_3\vec{k}) = \Delta u_1\vec{\imath} + \Delta u_2\vec{\jmath} + \Delta u_3\vec{k} </math></center>
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Sin embargo, en este caso nos encontramos en coordenadas cilíndricas, lo cual complica los cálculos. Para calcular el laplaciano vectorial podemos escribir el campo en la base cartesiana pero las componentes se pueden quedar en coordenadas cilíndricas y realizar el laplaciano en dichas coordenadas:
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Sin embargo, en este caso nos encontramos en coordenadas cilíndricas, lo cual complica los cálculos. Para calcular el laplaciano vectorial podemos escribir el campo en la base cartesiana pero las componentes se pueden quedar en coordenadas cilíndricas y realizar el laplaciano en dichas coordenadas. Sabemos que:
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<center><math> \Delta\vec{u} = \nabla(\nabla\cdot\vec{u}) - \nabla\times(\nabla\times\vec{u}) </math></center>
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<center><math> \vec{e}_\theta = -sen\theta\vec{\imath} + cos\theta\vec{\jmath} </math></center>
 
Sin embargo, es más sencillo mediante la fórmula del laplaciano vectorial en coordenadas cilíndricas, la cual es la siguiente:
 
Sin embargo, es más sencillo mediante la fórmula del laplaciano vectorial en coordenadas cilíndricas, la cual es la siguiente:
 
<center><math> \Delta\vec{u} = \vec{e}_\rho\left ( \Delta u_\rho - \frac{u_\rho}{\rho^2} - \frac{2}{\rho^2}\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} \right ) + \vec{e}_\theta \left ( \Delta u_\theta - \frac{u_\theta}{\rho^2} + \frac{2}{\rho^2}\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right ) + \vec{e}_z \Delta u_z </math></center>
 
<center><math> \Delta\vec{u} = \vec{e}_\rho\left ( \Delta u_\rho - \frac{u_\rho}{\rho^2} - \frac{2}{\rho^2}\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} \right ) + \vec{e}_\theta \left ( \Delta u_\theta - \frac{u_\theta}{\rho^2} + \frac{2}{\rho^2}\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right ) + \vec{e}_z \Delta u_z </math></center>

Revisión del 14:30 6 dic 2022

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos de manera que el exterior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la circunferencia [math] \rho = 2 [/math] y el interior sobre la circunferencia [math] \rho = 1 [/math]. La velocidad angular del cilindro exterior es [math] \omega \gt 0 [/math].

1 Representación de la sección transversal

2 Cálculo de Velocidades

La velocidad de las partículas del fluido viene dada por [math] \vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\vec{e}_\theta [/math] y su presión p es constante. Sabemos que [math] (\vec{u},p) [/math] satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria.

2.1 Interpretación física del problema

La ecuación de Navier-Stokes que satisface nuestro fluido es la siguiente:

[math] \frac{\partial\vec{u}}{\partial t} + (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu\Delta\vec{u} [/math]

Donde p es la presión y [math] \mu [/math] es la viscosidad del fluido.


Ahora bien, conocemos lo siguiente:

  1. Que es estacionario, por lo cual el diferencial de densidad en función del tiempo es igual a cero.
  2. Que su presión es constante, por lo que el campo de presiones, [math] \nabla p [/math], es cero.
  3. Que debemos despreciar el segundo término, [math] (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} [/math], que es la parte convectiva, por lo que podemos suponer que la viscosidad es mucho mayor.


Teniendo todo esto en cuenta, la ecuación de Navier-Stokes queda de la siguiente manera:

[math] \mu\Delta\vec{u} = \vec{0} \Longrightarrow \Delta\vec{u} = \vec{0} [/math]

2.2 Cálculo del laplaciano vectorial del campo de velocidades

El cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas es relativamente sencillo y se describe de la siguiente manera:

[math] \Delta\vec{u} = \Delta (u_1\vec{\imath} + u_2\vec{\jmath} + u_3\vec{k}) = \Delta u_1\vec{\imath} + \Delta u_2\vec{\jmath} + \Delta u_3\vec{k} [/math]

Sin embargo, en este caso nos encontramos en coordenadas cilíndricas, lo cual complica los cálculos. Para calcular el laplaciano vectorial podemos escribir el campo en la base cartesiana pero las componentes se pueden quedar en coordenadas cilíndricas y realizar el laplaciano en dichas coordenadas. Sabemos que:

[math] \vec{e}_\theta = -sen\theta\vec{\imath} + cos\theta\vec{\jmath} [/math]

Sin embargo, es más sencillo mediante la fórmula del laplaciano vectorial en coordenadas cilíndricas, la cual es la siguiente:

[math] \Delta\vec{u} = \vec{e}_\rho\left ( \Delta u_\rho - \frac{u_\rho}{\rho^2} - \frac{2}{\rho^2}\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta} \right ) + \vec{e}_\theta \left ( \Delta u_\theta - \frac{u_\theta}{\rho^2} + \frac{2}{\rho^2}\frac{\partial u_\rho}{\partial\theta} \right ) + \vec{e}_z \Delta u_z [/math]

A priori, esta puede parecer más tediosa de calcular; sin embargo, una vez despreciados los términos que son igual a cero, queda de la siguiente manera:

[math] \Delta\vec{u} = \vec{e}_\theta \left ( \Delta u_\theta - \frac{u_\theta}{\rho^2} \right ) [/math]

Procedemos a calcular [math] \Delta u_\theta [/math]:

[math] \Delta u_\theta = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial u_\theta}{\partial\rho} \right ) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 u_\theta}{\partial\theta^2} + \frac{\partial^2 u_\theta}{\partial z^2} \Longrightarrow \Delta u_\theta = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho} \right ) [/math]

Por lo que:

[math] \Delta\vec{u} = \left [ \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho} \right ) -\frac{f(\rho)}{\rho^2} \right ] \cdot\vec{e}_\theta = \vec{0} [/math]

2.3 Obtención de la ecuación diferencial

Igualamos cada componente del vector a cero, obteniendo así una ecuación diferencial:

[math] \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho} \right ) -\frac{f(\rho)}{\rho^2} = 0 \Longrightarrow \frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho} \right ) -\frac{f(\rho)}{\rho} = 0 [/math]

2.4 Comprobaciones

El enunciado exige que comprobemos si la ecuación diferencial satisface ciertas condiciones:

  • Comprobar que [math] f(\rho) [/math] satisface la siguiente ecuación diferencial:
[math] \frac{\partial}{\partial\rho}(\rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho}) = \frac{f(\rho)}{\rho} [/math]

Nos damos cuenta de que esta ecuación es igual a la que hemos obtenido nosotros, por lo que podemos afirmar que satisface la ecuación diferencial.

  • Comprobar que [math] f(\rho) [/math] es solución, siendo [math] f(\rho) [/math]:
[math] f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} [/math]

Calculamos [math] f'(\rho) [/math] y [math] f''(\rho) [/math]:

[math] f'(\rho) = a - \frac{b}{\rho^2} [/math]
[math] f''(\rho) = \frac{2b}{\rho^3} [/math]

Sustituimos en nuestra ecuación diferencial:

[math] -\frac{f(\rho)}{\rho^2} + \frac{f'(\rho)}{\rho} + f''(\rho) = 0 \Longrightarrow -\frac{a}{\rho} - \frac{b}{\rho^3} + \frac{a}{\rho} - \frac{b}{\rho^3} + \frac{2b}{\rho^3} = 0 [/math]

Simplificando resulta [math] 0 = 0 [/math], por lo que [math] f(\rho) [/math] es solución.

2.5 Determinación de a y b en función de la velocidad

Se nos pide determinar a y b de manera que la velocidad en la frontera del fluido coincida con la de los cilindros interior y exterior. De esta manera, podemos determinar que:

[math] f(1) = 0 \Longrightarrow a + b = 0 [/math]
[math] f(2) = w\cdot\rho \Longrightarrow 2a + \frac{b}{2} = 2w [/math]

Resolvemos el sistema, resultando:

[math] a = \frac{4w}{3} [/math]
[math] b = -\frac{4w}{3} [/math]

2.6 Comprobación de la condición de incompresibilidad

Se nos pide que comprobemos la condición de incompresibilidad, es decir, que el agua siempre ocupa el mismo volumen, la cual es:

[math] \nabla\cdot\vec{u} = 0 [/math]

La divergencia de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas viene dada por la siguiente expresión:

[math] \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\} [/math]

Operamos:

[math] \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(0) + \frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho)) + \frac{\partial}{\partial z}(0)\right\} \Longrightarrow \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho}(0 + 0 + 0) \Longrightarrow \nabla\cdot\vec{u} = 0 [/math]

Se cumple la condición de incompresibilidad.

3 Representación del campo de velocidades

Suponiendo que, [math] \omega = 1 [/math] y [math] \mu = 1 [/math]:

[math] a = \frac{4}{3} [/math] y [math] b = -\frac{4}{3} [/math]

Sustituimos en la función:

[math] f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) [/math]

De manera que nuestro campo es:

[math] \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right )\cdot\vec{e}_\theta [/math]

Representamos:

4 Representación de las líneas de corriente del campo

Para ello, necesitamos calcular el campo [math] \vec{v} [/math] que en cada punto es ortogonal a [math] \vec{u} [/math].

[math] \vec{v} = \vec{k}\times\vec{u} \Longrightarrow \vec{v} = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) (\vec{e}_z\times\vec{e}_\theta) \Longrightarrow \vec{v} = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) (-\vec{e}_\rho) \Longrightarrow \vec{v} = -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right )\cdot\vec{e}_\rho [/math]

4.1 Comprobación de irrotacionalidad de [math] \vec{v} [/math]

Comprobamos que, como dice el enunciado, el campo [math] \vec{v} [/math] es irrotacional debido a que la divergencia de [math] \vec{u} [/math] es nula, cosa que ya hemos calculado con anterioridad.

[math] \nabla\times\vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) & 0 & 0 \end{vmatrix} \Longrightarrow \nabla\times\vec{u} = \vec{0} [/math]

Se comprueba la irrotacionalidad de [math] \vec{v} [/math].

4.2 Cálculo de [math] \psi [/math]

Conocemos que:

[math] \vec{v} = \nabla\psi \Longrightarrow -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right )\cdot\vec{e}_\rho = \frac{\partial\psi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta + \frac{\partial\psi}{\partial z}\vec{e}_z [/math]

Despejamos [math] \psi [/math]:

[math] \frac{\partial\psi}{\partial\rho} = -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) \Longrightarrow \psi = \int -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) \partial\rho [/math]

Calculamos la integral:

[math] \psi = \frac{4}{3} \left ( ln(\rho) - \frac{\rho^2}{2} \right ) [/math]

4.3 Representación de las líneas de corriente de [math] \vec{u} [/math]

5 Cálculo de la velocidad de fluido máxima

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