Diferencia entre revisiones de «Flujo de Poiseuille (Grupo 27-A)»

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Tenemos que <math>\nabla\times\vec u=(\frac{8\rho^2}{3}-3\rho)\vec{e_\theta}</math>
 
Tenemos que <math>\nabla\times\vec u=(\frac{8\rho^2}{3}-3\rho)\vec{e_\theta}</math>
  
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== CAMPO DE TEMPERATURAS==
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La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:
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Como se observa, la expresión del campo está en coordenadas porlares. Teniendo en cuenta que las relación para pasar de coordenadas polares a cartesianas es:
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: <math>x=ρcosθ</math>
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Pero como nosotros estamos en los ejes <math>\{\vec{j} {,} \vec{k} \}</math>, usaremos:
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: <math>y=ρcosθ</math>
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: <math>z=ρsenθ</math>
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Podemos expresar el campo en coordenadas cartesianas, que es el sistema en el cual estamos trabajando, resultando:
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<font color="32 CD 32">''' REPRESENTACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS '''</font>
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El campo de temperaturas es un campo escalar que representa la distribución espacial de la temperatura asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas como ya se a expuesto viene dado por la expresión  <math> T(y{,}z)=1+(y^2+z^2-1/2) e^{-((z-1)^2)}</math>, por lo tanto no depende del tiempo, se dice que es estacionario, sino exclusivamente de las componentes espaciales <math>(y{,}z)</math>
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Para la representación se ha implementado el siguiente código en Octave:
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==CAUDAL==
 
==CAUDAL==
 
El caudal es el volumen de un fluido que pasa a través de la tubería estudiada por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:
 
El caudal es el volumen de un fluido que pasa a través de la tubería estudiada por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

Revisión del 15:52 5 dic 2022

Trabajo realizado por estudiantes
Título Flujo de Poiseuille (Grupo 27-A)
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2022-23
Autores Pablo Díaz Paz-Albo
Gonzalo de la Flor Fernández
Jeremy García Herrera
Juan Carlos Santos Expósito
Emilio Villegas Maroto
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura
Warning.png Este artículo está en versión beta. El autor de este artículo no lo ha terminado todavía, por favor no lo edites hasta que elimine este mensaje.


1 CAMPO DE VELOCIDADES

Para la representación del campo se han tomado los siguientes valores:

[math]p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1[/math]

Sustituyendo en la expresión del campo obtenemos:

[math]\vec{u}(\rho,\theta,z)=-(\frac{2\rho^3}{3}-\rho^2)\vec{e_z}[/math]

1.1 CÁLCULO DE LA VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO

Los puntos de velocidad máxima se obtienen igualando a 0, la primera derivada parcial del campo:

[math]\vec{u}(\rho,\theta,z)=-(\frac{2\rho^3}{3}-\rho^2)\vec{e_z}[/math]

donde:

[math] \frac{\partial \vec{u}} {\partial \rho}=2\rho(\rho-2)\vec{e_z} [/math]
[math] \frac{\partial \vec{u} }{\partial \theta}=0 [/math]
[math] \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=0 [/math]

Si igualamos a 0, [math] 2\rho(\rho-2)=0[/math] obtenemos que los puntos donde se produce la máxima velocidad son [math] \rho =0 \ {y} \ \rho = 2 [/math]

2 ROTACIONAL

Para la realización del cálculo del rotacional del campo, utilizaremos la siguiente fórmula:

[math]\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e_\rho} & \rho \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial \rho} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix}[/math]

Sustituyendo en la fórmula:

[math]\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e_\rho} & \rho \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial \rho} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & -(\frac{\rho^3}{3}-\frac{\rho^2}{2})\frac{\cdot(p_1-p_2)}{μ} \end{vmatrix}[/math]

Obtenemos que [math]\nabla\times\vec{u}=(\frac{4\rho^2}{3}-\frac{3\rho}{2})\frac{(p_1-p_2)}{μ}\vec{e_\theta}[/math], y dando los siguientes valores:

[math]p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1[/math]

Tenemos que [math]\nabla\times\vec u=(\frac{8\rho^2}{3}-3\rho)\vec{e_\theta}[/math]

3 CAMPO DE TEMPERATURAS

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:

[math] T(ρ{,}θ{,}z)=1+(ρ-1/2)^2 e^{-(z-1)^2}[/math]

Como se observa, la expresión del campo está en coordenadas porlares. Teniendo en cuenta que las relación para pasar de coordenadas polares a cartesianas es:

[math]x=ρcosθ[/math]
[math]y=ρsenθ[/math]

Pero como nosotros estamos en los ejes [math]\{\vec{j} {,} \vec{k} \}[/math], usaremos:

[math]y=ρcosθ[/math]
[math]z=ρsenθ[/math]

Podemos expresar el campo en coordenadas cartesianas, que es el sistema en el cual estamos trabajando, resultando:

[math] T(y{,}z)=1+(y^2+z^2-1/2) e^{-(z-1)}[/math]


REPRESENTACIÓN DEL CAMPO DE TEMPERATURAS

El campo de temperaturas es un campo escalar que representa la distribución espacial de la temperatura asociando un valor a cada punto del espacio. Depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas como ya se a expuesto viene dado por la expresión [math] T(y{,}z)=1+(y^2+z^2-1/2) e^{-((z-1)^2)}[/math], por lo tanto no depende del tiempo, se dice que es estacionario, sino exclusivamente de las componentes espaciales [math](y{,}z)[/math]

Para la representación se ha implementado el siguiente código en Octave: 

y=0:0.05:8;
 z=-2:0.05:10;
 [Y,Z]=meshgrid(y,z);
 figure (1) 
 p=1+(((Y.^2+Z.^2-(1/2)).^2).*exp(-((Z-1).^2)));
 pcolor(Y,Z,p);
 shading flat
 grid on
 axis([0,8,-1,10]);
colorbar 
figure(2)
contour(Y,Z,p,10,'k'); 
grid on
axis([0,8,-1,10]);

4 CAUDAL

El caudal es el volumen de un fluido que pasa a través de la tubería estudiada por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

[math]\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}[/math]

donde [math]\vec{v}[/math] es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

[math]\vec{u}(\rho,\theta,z)=-(\frac{2\rho^3}{3}-\rho^2)\vec{e_z}[/math]
,

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

[math]p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1[/math]

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:

[math]\rho= 15 [/math]
[math]\theta=u[/math][math][0,2\pi][/math]
[math]z=v [/math] [math][0,\inf][/math]

Por lo que:

[math]ru=(0,1,0)[/math]
[math]rv=(0,0,1)[/math]
[math]|ru\times rv|=(1,0,0)[/math]

CÁLCULO DEL CAUDAL

[math]\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{0}^{\inf} \int_{0}^{2\pi}\vec{u}(\rho,\theta,z)\cdot |\vec{e_\theta}\times \vec{e_z}|du dv=\int_{0}^{\inf} \int_{0}^{2\pi}-(\frac{2\rho^3}{3}-\rho^2)\vec{e_z}(\vec{e_\rho})=0\frac{m^3}{s}[/math]
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