Diferencia entre revisiones de «Flujo de Poiseuille (Grupo 27-A)»

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La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:  
 
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Por lo que:
 
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: <math>ru=(x,x,x)</math>
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: <math>|ru\times rv|=(x,x,x)</math>
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'''CÁLCULO DEL CAUDAL'''  
 
'''CÁLCULO DEL CAUDAL'''  
  
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<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{0}^{0} \int_{0}^{2}\vec{u}(\rho,\theta,z)d\rho dz=\int_{0}^{0} \int_{0}^{2}-(\frac{2\rho^3}{3}-\rho^2)\vec{e_z}=-2\frac{m^3}{s}</math></center>
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<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{0}^{\inf} \int_{0}^{2\pi}\vec{u}(\rho,\theta,z)\cdot |\vec{e_\theta}\times \vec{e_z}|du dv=\int_{0}^{\inf} \int_{0}^{2\pi}-(\frac{2\rho^3}{3}-\rho^2)\vec{e_z}(\vec{e_\rho})=0\frac{m^3}{s}</math></center>
  
  

Revisión del 11:48 5 dic 2022

Trabajo realizado por estudiantes
Título Flujo de Poiseuille (Grupo 27-A)
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2022-23
Autores Pablo Díaz Paz-Albo
Gonzalo de la Flor Fernández
Jeremy García Herrera
Juan Carlos Santos Expósito
Emilio Villegas Maroto
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura
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1 CAMPO DE VELOCIDADES

Para la representación del campo se han tomado los siguientes valores:

[math]p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1[/math]

Sustituyendo en la expresión del campo obtenemos:

[math]\vec{u}(\rho,\theta,z)=-(\frac{2\rho^3}{3}-\rho^2)\vec{e_z}[/math]

1.1 CÁLCULO DE LA VELOCIDAD MÁXIMA DEL FLUIDO

Los puntos de velocidad máxima se obtienen igualando a 0, la primera derivada parcial del campo:

[math]\vec{u}(\rho,\theta,z)=-(\frac{2\rho^3}{3}-\rho^2)\vec{e_z}[/math]

donde:

[math] \frac{\partial \vec{u}} {\partial \rho}=2\rho(\rho-2)\vec{e_z} [/math]
[math] \frac{\partial \vec{u} }{\partial \theta}=0 [/math]
[math] \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=0 [/math]

Si igualamos a 0, [math] 2\rho(\rho-2)=0[/math] obtenemos que los puntos donde se produce la máxima velocidad son [math] \rho =0 \ {y} \ \rho = 2 [/math]

2 ROTACIONAL

Para la realización del cálculo del rotacional del campo, utilizaremos la siguiente fórmula:

[math]\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e_\rho} & \rho \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial \rho} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_\rho & \rho u_\theta & u_z \end{vmatrix}[/math]

Sustituyendo en la fórmula:

[math]\nabla\times\vec u= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec{e_\rho} & \rho \vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial \rho} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & -(\frac{\rho^3}{3}-\frac{\rho^2}{2})\frac{\cdot(p_1-p_2)}{μ} \end{vmatrix}[/math]

Obtenemos que [math]\nabla\times\vec{u}=(\frac{4\rho^2}{3}-\frac{3\rho}{2})\frac{(p_1-p_2)}{μ}\vec{e_\theta}[/math], y dando los siguientes valores:

[math]p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1[/math]

Tenemos que [math]\nabla\times\vec u=(\frac{8\rho^2}{3}-3\rho)\vec{e_\theta}[/math]

3 CAUDAL

El caudal es el volumen de un fluido que pasa a través de la tubería estudiada por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

[math]\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}[/math]

donde [math]\vec{v}[/math] es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

[math]\vec{u}(\rho,\theta,z)=-(\frac{2\rho^3}{3}-\rho^2)\vec{e_z}[/math]
,

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

[math]p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1[/math]

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:

[math]\rho= 15 [/math]
[math]\theta=u[/math][math][0,2\pi][/math]
[math]z=v [/math] [math][0,\inf][/math]

Por lo que:

[math]ru=(0,1,0)[/math]
[math]rv=(0,0,1)[/math]
[math]|ru\times rv|=(1,0,0)[/math]

CÁLCULO DEL CAUDAL

[math]\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{0}^{\inf} \int_{0}^{2\pi}\vec{u}(\rho,\theta,z)\cdot |\vec{e_\theta}\times \vec{e_z}|du dv=\int_{0}^{\inf} \int_{0}^{2\pi}-(\frac{2\rho^3}{3}-\rho^2)\vec{e_z}(\vec{e_\rho})=0\frac{m^3}{s}[/math]
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