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Si tratamos de reducir la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente conclusión:
 
Si tratamos de reducir la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente conclusión:
  
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<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
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<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
 
Este paso es sencillo de comprobar, ya que si hacemos la derivada del segundo sumando, inmediatamente resulta en la expresión anterior:
 
Este paso es sencillo de comprobar, ya que si hacemos la derivada del segundo sumando, inmediatamente resulta en la expresión anterior:
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>
 
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Revisión del 23:48 2 dic 2022

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos de manera que el exterior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular cilindro exterior es ω > 0

1 Dibujo de la sección trasversal

En primer lugar, con el fin de visualizar el flujo, cortamos los dos cilindros con el plano [math]x_3=0[/math], de forma que resulta la siguiente sección trasversal.

centro


Para hallar esta figura, hemos ejecutado en MatLab el siguiente programa. 

h=30;                      % definicion del intervalo
 u=linspace(1,2,h);         % pertenencia del parametro u [1,2]
 v=linspace(0,2*pi,2*h);    % pertenencia del parametro  v [0,2*pi]
 [U,V]=meshgrid(u,v);        % Matrices de coordenadas de U y V
 figure(1)
 X=U.*cos(V);                % parametrizacion
 Y=U.*sin(V);
 mesh(X,Y,0*X);               % Dibujo de la matriz
 axis([-3,3,-3,3])           % Selección de los ejes del dibujo
 view(2)                     % Elección de perspectiva


2 Cálculo de la velocidad de las partículas

2.1 Definición del campo de velocidades

Conocemos por la física del problema, que la velocidad de las partículas viene dada por [math]\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} [/math], además de que su presión (p) es constante. Por otro lado, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

[math](\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} [/math]

2.2 Cálculo del gradiente de la presión y de la parte convectiva

Al ser la presión constante, su gradiente es nulo: ∇p=0; y si despreciamos la parte convectiva [math](\vec{u} · ∇)\vec{u}=0 [/math] tendremos:

[math]µ∆\vec{u} =\vec{0}[/math]

Siendo µ el coeficiente de viscosidad del fluido y [math]∆\vec{u}[/math] el laplaciano vectorial del campo de velocidades.

2.3 Cálculo del laplaciano vectorial del capo de velocidades

El cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas es relativamente sencillo de calcular, ya que:

[math]∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}[/math]

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilindricas, resulta más sencillo calcularlo con la siguiente fórmula:

[math]\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})[/math]

2.3.1 Gradiente de la divergencia

En el primer sumando, aparece el gradiente de la divergencia, luego, en primer lugar, calculamos la divergencia. A modo de hipótesis, la divergencia ha de ser nula, ya que el fluido es incompresible.

[math] ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 [/math]

Por lo tanto, se confirma la hiótesis, y tenemos la certeza de que se trata de un fluido incompresible. Además de esto:

[math] ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} [/math]

, lo que concluye que el primer término en el calculo del laplaciano es nulo.

2.3.2 Rotacional del campo de velocidades

[math](\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}[/math]

2.3.3 Rotacional del rotacional del campo de velocidades

Una vez hallado el rotacional del campo de velocidades, seguimos el procedimiento calculando el rotacional del vector hallado:

[math]\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = [\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}[/math]

2.3.4 Calculo final de Laplaciano vectorial

Una vez hallados todos los sumandos, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

[math]\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})[/math]
[math]\Delta\vec{u} = \vec{0} - [\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}[/math]
[math]\Delta\vec{u} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}[/math]

2.4 Calculo final de la ecuación de Navier-Stocks

Conocidas ya todas los partes de la ecuación inicial, procedemos a resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

[math](\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} [/math]
[math]µ∆\vec{u} = \vec{0}[/math]
[math]∆\vec{u} = \vec{0}[/math]
[math][-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} [/math]

2.4.1 Obtención de una ecuación diferencial

Si tratamos de reducir la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente conclusión:

[math] [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} [/math]

Este paso es sencillo de comprobar, ya que si hacemos la derivada del segundo sumando, inmediatamente resulta en la expresión anterior:

[math]\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})[/math]

Luego, reordenamos para conseguir una ecuación diferencial de segundo orden

[math]\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 [/math]
[math]\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) [/math]

2.4.2 Comprobación de una solución conocida

Tras despejar y reordenar los términos, resulta una compleja ecuación diferencial de la cual conocemos una solución:

[math]f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} [/math]

Para comprobar que esta solución es valida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

[math]\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} [/math]
[math]\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}[/math]

Una vez halladas dichas derivadas, las introducimos en la ecuación y verificamos que:

[math] \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} [/math]

2.4.3 Búsqueda de las constantes "a" y "b"

Por ultimo, para hallar el campo de velocidades concreto, tenemos que imponer las condiciones que conocemos, ya que al resolver la ecuación diferencial de segundo orden han aparecido dos constantes desconocidas.

Condición 1: Si [math]ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\vec{0} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow a+b=0 [/math]

Condición 2: Si [math]ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}=\omega [/math]

Una vez impuestas estas dos condiciones, resulta un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas donde

[math] a = \frac{2}{3}\omega [/math]
[math] b = -\frac{2}{3}\omega[/math]

3 Graficación del campo de velocidades

Suponiendo que tanto la velocidad angular "ω" como el módulo de viscosidad "µ" son unitarios, dibujamos el campo de velocidades.

centro

Para dibujar dicho gráfico, hemos introducido este código en el programa MatLab 

w=1;                                      % Velocidad angular dada
 a=2/3*w;                                  % Definicion del parámetro a en función de la velocidad angular
 b=-a;                                     % Definicion del parámetro b en función de la velocidad angular
 n=30;                                     % Longitud de los intervalos
 u=linspace(1,2,n);                        % Definicioón del parametro u (rho)
 v=linspace(0,2*pi,n);                     % Definición del parametro v (theta)
 [U,V] = meshgrid(u,v);                    % Matriz de los parámetros
 x = U.*cos(V);                            % Coordenada x (cartesiana)
 y = U.*sin(V);                            % Coordenada y (cartesiana)
 fx = -sin(V)*((a)*U+b*(1./U));            % Campo vectorial en la dirección de x
 fy = cos(V)*((a)*U+b*(1./U));             % Campo vectorial en la dirección de y
 quiver(x,y,fx,fy);                        % Dibujo del campo vectorial


4 Graficación de las lineas de corriente

Procedemos a dibujar las líneas de corriente del campo [math]\vec{u} [/math], es decir las líneas que son tangentes a [math]\vec{u} [/math] en cada punto. Para ello, calculamos el vector [math]\vec{v} = \vec{e_z} \times \vec{u} [/math].

[math] \vec{v} = \vec{e_z} \times f(ρ)\vec{e_θ} =(\frac{2}{3}ρ- \frac{2}{3ρ})( \vec{e_z} \times \vec{e_θ}) = ( \frac{2}{3ρ}-\frac{2}{3}ρ)\vec{e_ρ} [/math]

Una vez hallado el vector [math]\vec{v} [/math], hallamos su potencial escalar, que representa la función de corriente de [math]\vec{u} [/math], es decir, hallamos la función ψ que cumpla [math]∇ψ = \vec{v}[/math]

[math] ∇ψ = \vec{v} = (\frac{2}{3ρ} - \frac{2ρ}{3}) \vec{e_ρ} [/math]
[math] ∇ψ = \frac{\partial ψ}{\partial ρ} \vec{e_ρ} + \frac{1}{ρ}\frac{\partial ψ}{\partial θ} \vec{e_θ} + \frac{\partial ψ}{\partial z}\vec{e_z} = (\frac{2}{3ρ} - \frac{2ρ}{3}) \vec{e_ρ}[/math]
[math]\frac{\partial ψ}{\partial ρ} = \frac{2}{3ρ} - \frac{2ρ}{3}[/math]
[math]ψ=\int (\frac{2}{3ρ}-\frac{2ρ}{3}) \partial ρ [/math]
[math]ψ=\frac{2}{3}(ln(ρ)-\frac{ρ^2}{2}) \partial ρ [/math]
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