Diferencia entre revisiones de «Flujo de Couette (Grupo 26A)»
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== Cálculo de la velocidad de las partículas == | == Cálculo de la velocidad de las partículas == | ||
| + | === Definición del campo de velocidades === | ||
Conocemos por la física del problema, que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, además de que su presión (p) es constante. Por otro lado, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria: | Conocemos por la física del problema, que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, además de que su presión (p) es constante. Por otro lado, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria: | ||
<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center> | <center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center> | ||
| + | ===Calculo del gradiente de la presión y de la parte convectiva=== | ||
Al ser la presión constante, su gradiente es nulo: ∇p=0; y si despreciamos la parte convectiva <math>(\vec{u} · ∇)\vec{u}=0 </math> tendremos: | Al ser la presión constante, su gradiente es nulo: ∇p=0; y si despreciamos la parte convectiva <math>(\vec{u} · ∇)\vec{u}=0 </math> tendremos: | ||
<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center> | <center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center> | ||
| − | Siendo µ el coeficiente de viscosidad del fluido y <math>∆\vec{u}</math> el laplaciano vectorial del campo de velocidades. El laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas es relativamente sencillo de calcular, ya que: | + | Siendo µ el coeficiente de viscosidad del fluido y <math>∆\vec{u}</math> el laplaciano vectorial del campo de velocidades. |
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| + | ===Calculo del laplaciano vectorial del capo de velocidades=== | ||
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| + | El cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas es relativamente sencillo de calcular, ya que: | ||
<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center> | <center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center> | ||
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<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center> | <center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center> | ||
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| + | ====Gradiente de la divergencia==== | ||
En el primer sumando, aparece el gradiente de la divergencia, luego, en primer lugar, calculamos la divergencia. A modo de hipótesis, la divergencia ha de ser nula, ya que el fluido es incompresible. | En el primer sumando, aparece el gradiente de la divergencia, luego, en primer lugar, calculamos la divergencia. A modo de hipótesis, la divergencia ha de ser nula, ya que el fluido es incompresible. | ||
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, lo que concluye que el primer término en el calculo del laplaciano es nulo. | , lo que concluye que el primer término en el calculo del laplaciano es nulo. | ||
| + | ====Rotacional del campo de velocidades==== | ||
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center> | <center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center> | ||
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| + | ====Rotacional del rotacional del campo de velocidades==== | ||
Una vez hallado el rotacional del campo de velocidades, seguimos el procedimiento calculando el rotacional del vector hallado: | Una vez hallado el rotacional del campo de velocidades, seguimos el procedimiento calculando el rotacional del vector hallado: | ||
<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}ρ\frac{ \partial [\frac{f(ρ)}{ρ}+ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) }{\partial ρ}\vec{e_θ} = [\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center> | <center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}ρ\frac{ \partial [\frac{f(ρ)}{ρ}+ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) }{\partial ρ}\vec{e_θ} = [\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center> | ||
| + | ====Calculo final del laplaciano==== | ||
Conocidos ya todos los sumandos del laplaciano vectorial del campo de velocidades, podemos resolver la ecuación inicial: | Conocidos ya todos los sumandos del laplaciano vectorial del campo de velocidades, podemos resolver la ecuación inicial: | ||
Revisión del 00:55 28 nov 2022
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Flujo de Couette. Grupo 26-A |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2022-23 |
| Autores | Héctor Sánchez Sánchez, Estela Serrano Briz, Ana Alejandra Rodríguez Falla, Ignacio Garrido Brito, Paula Ábalos Esteban |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos de manera que el exterior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular cilindro exterior es ω > 0
Contenido
1 Dibujo de la sección trasversal
En primer lugar, con el fin de visualizar el flujo, cortamos los dos cilindros con el plano [math]x_3=0[/math], de forma que resulta la siguiente sección trasversal.
Para hallar esta figura, hemos ejecutado en MatLab el siguiente programa.
h=0.1; % definicion del intervalo
u=1:h:2; % pertenencia del parametro u [1,2]
v=0:h*pi/10:2*pi+h*pi/10; % pertenencia del parametro v [0,2*pi]
[U,V]=meshgrid(u,v); % Matrices de coordenadas de U y V
figure(1)
X=U.*cos(V); % parametrizacion
Y=U.*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la matriz
axis([-3,3,-3,3]) % Selección de los ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
2 Cálculo de la velocidad de las partículas
2.1 Definición del campo de velocidades
Conocemos por la física del problema, que la velocidad de las partículas viene dada por [math]\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} [/math], además de que su presión (p) es constante. Por otro lado, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
2.2 Calculo del gradiente de la presión y de la parte convectiva
Al ser la presión constante, su gradiente es nulo: ∇p=0; y si despreciamos la parte convectiva [math](\vec{u} · ∇)\vec{u}=0 [/math] tendremos:
Siendo µ el coeficiente de viscosidad del fluido y [math]∆\vec{u}[/math] el laplaciano vectorial del campo de velocidades.
2.3 Calculo del laplaciano vectorial del capo de velocidades
El cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas es relativamente sencillo de calcular, ya que:
Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilindricas, resulta más sencillo calcularlo con la siguiente fórmula:
2.3.1 Gradiente de la divergencia
En el primer sumando, aparece el gradiente de la divergencia, luego, en primer lugar, calculamos la divergencia. A modo de hipótesis, la divergencia ha de ser nula, ya que el fluido es incompresible.
Por lo tanto, se confirma la hiótesis, y tenemos la certeza de que se trata de un fluido incompresible. Además de esto:
, lo que concluye que el primer término en el calculo del laplaciano es nulo.
2.3.2 Rotacional del campo de velocidades
2.3.3 Rotacional del rotacional del campo de velocidades
Una vez hallado el rotacional del campo de velocidades, seguimos el procedimiento calculando el rotacional del vector hallado:
2.3.4 Calculo final del laplaciano
Conocidos ya todos los sumandos del laplaciano vectorial del campo de velocidades, podemos resolver la ecuación inicial:
Tras despejar y reordenar los términos, resulta una compleja ecuación diferencial de la cual conocemos una solución:
Para comprobar que esta solución es valida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.
Una vez halladas dichas derivadas, las introducimos en la ecuación y verificamos que:
Por ultimo, para hallar el campo de velocidades concreto, tenemos que imponer las condiciones que conocemos, ya que al resolver la ecuación diferencial de segundo orden han aparecido dos constantes desconocidas.
Condición 1: Si [math]ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\vec{0} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow a+b=0 [/math]
Condición 2: Si [math]ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}=\omega [/math]
Una vez impuestas estas dos condiciones, resulta un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas donde
